Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/23/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 5 }

\renewcommand{\afuenf}{ 8 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 6 }

\renewcommand{\aacht}{ 2 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 8 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Diagonalmatrix} {.}

}{Der \stichwort {Kern} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}

}{Eine \stichwort {Äquivalenzrelation} {} $\sim$ auf einer Menge $M$.

}{Eine \stichwort {Cauchy-Folge} {} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in einem angeordneten Körper $K$.

}{Die \stichwort {Stetigkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}

}{Ein \stichwort {endlicher Wahrscheinlichkeitsraum} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Basen im
\mathl{K^m}{.}}{Der \stichwort {Satz über die Eindeutigkeit des Limes} {} in einem angeordneten Körper $K$.}{Der \stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

\aufzaehlungvier{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+3+1)}
{

Zu je zwei Punkten in der Produktmenge $\Q^2$ gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert. \aufzaehlungdrei{Man gebe zu zwei Punkten \mathkor {} {(a_1,a_2)} {und} {(b_1,b_2)} {} die Koordinaten des Mittelpunktes an. }{Es seien in der Produktmenge $\Z^2$ fünf Punkte gegeben \zusatzklammer {jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten} {} {.} Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss. }{Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8}
{

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Austria States Cities.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Austria States Cities.png } {} {Gevin} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Die Karte zeigt Österreich mit seinen Bundesländern und den zugehörigen Hauptstädten \zusatzklammer {die Hauptstadt des Bundeslandes Wien ist Wien, Tirol ist ein Bundesland} {} {.} Es sei $M$ die Menge der Bundesländer und sei $R$ die Relation auf $M$, die die Angrenzungsbeziehung \zusatzklammer {Nachbarschaftsbeziehung} {} {} beschreibt. Dabei legen wir fest, dass ein Land auch zu sich selbst benachbart ist. \aufzaehlungdrei{Welche Eigenschaften einer \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} erfüllt diese Relation? }{Bestimme die \definitionsverweis {Faser}{}{} zu Kärnten. }{Gibt es eine Kette $x_1,x_2 , \ldots , x_n$ in $M$ mit
\mathl{x_iRx_{i+1}}{} für alle $i$, bei der jedes Bundesland genau einmal vorkommt? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (4+2)}
{

\aufzaehlungzwei {Finde den kleinsten Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die Potenzierung \maabbeledisp {} { \Z/(10) } {\Z/(10) } {x} {x^n } {,} die Identität ist. } {Was bedeutet dies für die Endziffer im Zehnersystem beim Potenzieren von natürlichen Zahlen? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Zeige, dass die reelle Zahl
\mathl{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{} eine Nullstelle des Polynoms
\mathl{X^4-20X^ 2+16}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{} in $K$. Zeige, dass die Produktfolge
\mathl{{ \left( x_n \cdot y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n \cdot y_n \right) } }
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

In $\Q$ sei eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegeben, deren Anfangsglieder durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1 }
{ = }{ 0,7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_2 }
{ = }{ 0,73 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_3 }
{ = }{ 0,734 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben sind. Muss die Folge in $\Q$ konvergieren? Muss die Folge in $\R$ konvergieren? Kann die Folge in $\Q$ konvergieren? Kann die Folge in $\R$ konvergieren?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in \R$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-2) =3,\, f(0) = 2,\, f(1) = 4} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 + { \frac{ 1 }{ x } } }
{ =} {3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine reelle Lösung im Intervall
\mathl{[1,2]}{} besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es sei $b$ eine \definitionsverweis {positive}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R } {\R } {x} {b^x } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y-3x+1 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $K$ durch den Mittelpunkt $(-2,3)$ und den Radius $4$ gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8 (2+2+4)}
{

Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine $1$ \zusatzklammer {alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken} {} {.} Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man aus zwei benachbarten Zahlen der Zeile das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} bildet und dieses in der nächsten Zeile unterhalb der beiden Zahlen hinschreibt. \aufzaehlungdrei{Bestimme die ersten fünf Zeilen \zusatzklammer {also Zeile $0$ bis Zeile $4$} {} {.} }{Begründe induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich $1$ ist. }{Zeige, dass in der $n$-ten Zeile die Zahlen
\mathl{B_{ { \frac{ 1 }{ 2 } },n } (k)}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ = }{0,1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} der \definitionsverweis {Binomialverteilung}{}{} stehen. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Man beschreibe eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten addiert werden, und eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden.

}
{} {}