Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/23/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 0 }
\renewcommand{\afuenf}{ 8 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 8 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 59 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Diagonalmatrix} {.}
}{Der \stichwort {Kern} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}
}{Eine \stichwort {Äquivalenzrelation} {} $\sim$ auf einer Menge $M$.
}{Eine \stichwort {Cauchy-Folge} {} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in einem angeordneten Körper $K$.
}{Die
\stichwort {Stetigkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in \R}{.}
}{Ein \stichwort {endlicher Wahrscheinlichkeitsraum} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Basen im
\mathl{K^m}{.}}{Der \stichwort {Satz über die Eindeutigkeit des Limes} {} in einem angeordneten Körper $K$.}{Der
\stichwort {Satz über die Interpolation durch Polynome} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
\aufzaehlungvier{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Austria States Cities.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Austria States Cities.png } {} {Gevin} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Die Karte zeigt Österreich mit seinen Bundesländern und den zugehörigen Hauptstädten
\zusatzklammer {die Hauptstadt des Bundeslandes Wien ist Wien, Tirol ist ein Bundesland} {} {.}
Es sei $M$ die Menge der Bundesländer und sei $R$ die Relation auf $M$, die die Angrenzungsbeziehung
\zusatzklammer {Nachbarschaftsbeziehung} {} {}
beschreibt. Dabei legen wir fest, dass ein Land auch zu sich selbst benachbart ist.
\aufzaehlungdrei{Welche Eigenschaften einer
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
erfüllt diese Relation?
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu Kärnten.
}{Gibt es eine Kette $x_1,x_2 , \ldots , x_n$ in $M$ mit
\mathl{x_iRx_{i+1}}{} für alle $i$, bei der jedes Bundesland genau einmal vorkommt?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (4+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Finde den kleinsten Exponenten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Potenzierung
\maabbeledisp {} { \Z/(10) } {\Z/(10)
} {x} {x^n
} {,}
die Identität ist.
} {Was bedeutet dies für die Endziffer im Zehnersystem beim Potenzieren von natürlichen Zahlen?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass die reelle Zahl
\mathl{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{} eine Nullstelle des Polynoms
\mathl{X^4-20X^ 2+16}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
in $K$. Zeige, dass die Produktfolge
\mathl{{ \left( x_n \cdot y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n \cdot y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
In $\Q$ sei eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegeben, deren Anfangsglieder durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1
}
{ = }{ 0,7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_2
}
{ = }{ 0,73
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_3
}
{ = }{ 0,734
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sind. Muss die Folge in $\Q$ konvergieren? Muss die Folge in $\R$ konvergieren? Kann die Folge in $\Q$ konvergieren? Kann die Folge in $\R$ konvergieren?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {f=a+bX+cX^2} { }
mit $a,b,c \in \R$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-2) =3,\, f(0) = 2,\, f(1) = 4} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 + { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine reelle Lösung im Intervall
\mathl{[1,2]}{} besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $b$ eine \definitionsverweis {positive}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R } {\R } {x} {b^x } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y-3x+1
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$ durch den Mittelpunkt $(-2,3)$ und den Radius $4$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (2+2+4)}
{
Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine $1$
\zusatzklammer {alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken} {} {.}
Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man aus zwei benachbarten Zahlen der Zeile das
\definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{}
bildet und dieses in der nächsten Zeile unterhalb der beiden Zahlen hinschreibt.
\aufzaehlungdrei{Bestimme die ersten fünf Zeilen
\zusatzklammer {also Zeile $0$ bis Zeile $4$} {} {.}
}{Begründe induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich $1$ ist.
}{Zeige, dass in der $n$-ten Zeile die Zahlen
\mathl{B_{ { \frac{ 1 }{ 2 } },n } (k)}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{0,1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der
\definitionsverweis {Binomialverteilung}{}{}
stehen.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Man beschreibe eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten addiert werden, und eine typische Situation, in der Wahrscheinlichkeiten multipliziert werden.
}
{} {}