Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/24/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 1 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 2 }

\renewcommand{\asieben}{ 7 }

\renewcommand{\aacht}{ 1 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 12 }

\renewcommand{\aelf}{ 6 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 9 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {lineare Gleichung} {} zu einer Variablenmenge
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{} über einem Körper $K$.

}{Eine \stichwortpraemath {m \times n} {Matrix}{} über einem Körper $K$.

}{Die \stichwort {Transitivität} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.

}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x \in K$.

}{Eine \stichwort {irrationale} {} Zahl.

}{Eine \stichwort {diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte} {} auf einer endlichen Menge $M$. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Zu
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in K}{} nennt man
\mathdisp {a_1x_1 +a_2x_2 + \cdots + a_nx_n =0} { }
eine \zusatzklammer {homogene} {} {} lineare Gleichung in den Variablen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} über $K$. }{Unter einer $m \times n$-Matrix über $K$ versteht man ein Schema der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\ a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } & a_{ m 2 } & \ldots & a_{ m n } \end{pmatrix}} { , }
wobei
\mathl{a_{ij} \in K}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ \leq }{i }
{ \leq }{m }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ \leq }{j }
{ \leq }{n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Die Relation $R$ heißt transitiv, wenn aus
\mathl{xRy}{} und
\mathl{yRz}{} stets
\mathl{xRz}{} folgt. }{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,} gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Eine irrationale Zahl ist eine Zahl aus
\mathl{\R \setminus \Q}{.} }{Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf $M$ ist eine Abbildung \maabbeledisp {f} {M} { \R_{\geq 0} } {x} { f(x) } {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{x \in M} f(x) }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.}{Das \stichwort {Quetschkriterium} {} für Folgen in einem angeordneten Körper $K$.}{Die \stichwort {Formel für die totale Wahrscheinlichkeit} {.}}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1x_1 +a_2x_2 + \cdots + a_nx_n }
{ =} { c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine lineare Gleichung über $K$ in den Variablen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{.} Es sei $a_1 \neq 0$. Dann steht die Lösungsmenge $L$ der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum
\mathl{K^{n-1}}{,} und zwar über die Abbildungen \maabbeledisp {} {L} { K^{n-1} } { \left( x_1 , \, x_2 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \left( x_2 , \, \ldots , \, x_n \right) } {,} und \maabbeledisp {} {K^{n-1}} {L } { \left( x_2 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \left( \frac{1}{a_1} \left( c- a_2x_2 - \cdots - a_nx_n \right) , \, x_2 , \, \ldots , \, x_n \right) } {.}}{Es sei $K$ ein angeordneter Körper, und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei Folgen in $K$. Es gelte
\mathdisp {x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N} { }
und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen diesen Grenzwert $a$.}{Es sei $(M, P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { B_1 \uplus B_2 \uplus \ldots \uplus B_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis $E$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(E) }
{ =} { \sum_{ i = 1}^n P(B_i) \cdot P( E {{|}} B_i ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 2 x & +3 y & \, \, \, \, - z & + w & = & 2 \\ 2 x & \, \, \, \, - y & -2 z & + w & = & 0 \\ - x & + y & + z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & -2 \\ x & +2 y & +5 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }

}
{

Wir eliminieren zuerst die Variable $w$, indem wir die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix} & +4 y & + z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ - x & + y & + z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & -2 \\ x & +2 y & +5 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }
Nun eliminieren wir die Variable $x$, indem wir die zweite Gleichung mit der dritten Gleichung addieren. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix} & +4 y & + z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ & +3 y & +6 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 1 \, . \end{matrix}} { }
Mit
\mathl{-6I+II}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -21 y }
{ =} {-11 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { { \frac{ 11 }{ 21 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} { - { \frac{ 2 }{ 21 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x }
{ =} { { \frac{ 17 }{ 7 } } }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z }
{ =} { - { \frac{ 95 }{ 21 } } }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Inwiefern hat das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit dem Induktionsprinzip zu tun?

}
{Eliminationsverfahren/Induktionsprinzip/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 4 & 4 & 1 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix}} { . }

}
{

\matabellezweifuenf {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 4 & 4 & 1 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & -16 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & -16 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & -{ \frac{ 1 }{ 5 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 4 } } & - { \frac{ 1 }{ 16 } } & { \frac{ 1 }{ 80 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} -{ \frac{ 1 }{ 4 } } & -{ \frac{ 5 }{ 16 } } & - { \frac{ 1 }{ 26 } } \\ { \frac{ 1 }{ 4 } } & - { \frac{ 1 }{ 16 } } & { \frac{ 1 }{ 80 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix} } }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Biclique K 3 3.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Biclique K 3 3.svg } {} {Koko90} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Es sollen drei Häuser jeweils mit Leitungen an Wasser, Gas und Elektrizität angeschlossen werden. Beschreibe eine Möglichkeit, bei der es nur eine Überschneidung gibt.

}
{Wasser/Gas/Elektrizität/Eine Überschneidung/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe
\mathl{\Z/(n)}{.}

}
{

Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist der Restklassenring gleich $\Z$ selbst und kein Körper. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ 0 }\, }
{ = }{ \overline{ 1 }\, }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und $1$ ist keine Primzahl. Sei also von nun an
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn $n$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {rs }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit kleineren Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ <} {r,s }
{ <} {n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Im Restklassenring
\mathl{\Z/(n)}{} bedeutet dies, dass die Restklassen \mathkor {} {\overline{ r }\,} {und} {\overline{ s }\,} {} nicht $0$ sind, dass aber ihr Produkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ r }\, \overline{ s }\, }
{ =} {\overline{ rs }\, }
{ =} {\overline{ n }\, }
{ =} { 0 }
{ } { }
} {}{}{} ist. Das kann nach Lemma 23.12 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) in einem Körper nicht sein.

Sei nun $n$ eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von $0$ verschiedene Restklasse
\mathbed {\overline{ r }\,} {}
{0 < r < n} {}
{} {} {} {,} ein inverses Element besitzt. Da $n$ prim ist, sind \mathkor {} {r} {und} {n} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{.} Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen
\mathl{a,b}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ar+bn }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies führt im Restklassenring zur Identität
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \overline{ 1 }\, }
{ =} { \overline{ ar +bn }\, }
{ =} { \overline{ a }\, \overline{ r }\, + \overline{ b }\, \overline{ n }\, }
{ =} { \overline{ a }\, \overline{ r }\, }
{ } { }
} {} {}{,} die besagt, dass \mathkor {} {\overline{ r }\,} {und} {\overline{ a }\,} {} invers zueinander sind.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{

Bestimme, ob die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{10000000000000000000000000000}} { }
rational ist oder nicht.

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{10000000000000000000000000000} }
{ =} { \sqrt{10^{28} } }
{ =} { 10^{14} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine rationale Zahl.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+1+1+1)}
{

Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ die \definitionsverweis {Heron-Folge}{}{} zur Berechnung von $\sqrt{3}$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ die \definitionsverweis {Heron-Folge}{}{} zur Berechnung von $\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungvier{Berechne \mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {.} }{Berechne \mathkor {} {y_1} {und} {y_2} {.} }{Berechne \mathkor {} {x_0 \cdot y_0, \, x_1 \cdot y_1} {und} {x_2 \cdot y_2} {.} }{Konvergiert die \definitionsverweis {Produktfolge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z_n }
{ = }{x_n \cdot y_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} innerhalb der rationalen Zahlen? }

}
{

\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 }
{ =} { { \frac{ 1 + 3 }{ 2 } } }
{ =} { 2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2 }
{ =} { { \frac{ x_1 + { \frac{ 3 }{ x_1 } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 2 + { \frac{ 3 }{ 2 } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 7 }{ 4 } } }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_1 }
{ =} { { \frac{ 1 + { \frac{ 1 }{ 3 } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_2 }
{ =} { { \frac{ y_1 + { \frac{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }{ y_1 } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }{ { \frac{ 2 }{ 3 } } } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ { \frac{ 7 }{ 6 } } }{ 2 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { { \frac{ 7 }{ 12 } } }
{ } { }
{ } {}
{ } {}
}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_0 \cdot y_0 }
{ =} { 1 \cdot 1 }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 \cdot y_1 }
{ =} { 2 \cdot { \frac{ 2 }{ 3 } } }
{ =} { { \frac{ 4 }{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2 \cdot y_2 }
{ =} { { \frac{ 7 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 7 }{ 12 } } }
{ =} { { \frac{ 49 }{ 48 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Die Heron-Folge $x_n$ konvergiert in $\R$ gegen $\sqrt{3}$ und die Heron-Folge $y_n$ konvergiert in $\R$ gegen ${ \frac{ 1 }{ \sqrt{3 } }}$, daher konvergiert die Produktfolge
\mathl{x_n \cdot y_n}{} gegen $1$. Da dies zu $\Q$ gehört, konvergiert die Produktfolge auch in $\Q$. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{weiter}
{

Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall
\mathl{[0,1]}{} aus. Das Intervall wird in drei gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das dritte \zusatzklammer {Regel 1} {} {.} Das entstehende Intervall teilen wir in fünf gleichlange Teilintervalle ein und davon nehmen wir das vierte \zusatzklammer {Regel 2} {} {.} Jetzt wenden wir abwechselnd Regel 1 und Regel 2 an, immer bezogen auf das zuvor konstruierte Intervall. Dabei entsteht eine Folge von Intervallen
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {} \zusatzklammer {$I_0$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient} {} {.} \aufzaehlungsechs{Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird \zusatzklammer {also von $I_2$, nachdem einmal die Regel $1$ und einmal die Regel 2 angewendet wurde} {} {.} }{Wie kann man den Konstruktionsschritt, der durch die einmalige Hintereinanderausführung von Regel 1 und von Regel 2 gegeben ist, mit einer einzigen Regel ausdrücken? }{Bestimme ein Intervall der Form $[ { \frac{ a }{ 100 } } , { \frac{ a }{ 100 } }+ { \frac{ 1 }{ 100 } }]$ mit
\mathl{a \in \N}{,} das ganz in $I_2$ enthalten ist. }{Erstelle eine Formel, die die untere Intervallgrenze des Intervalls
\mathl{I_{2k}}{,}
\mathl{k \in \N}{,} ausdrückt. }{Es gibt genau eine rationale Zahl $c$, die in jedem Intervall $I_n$ enthalten ist. Bestimme $c$ als Bruch. }{Gibt es ein Ziffernsystem, in dem die rationale Zahl $c$ aus (5) eine Ziffernentwicklung mit Periodenlänge $1$ besitzt? }

}
{

\aufzaehlungfuenf{Das im ersten Schritt konstruierte Intervall ist
\mathl{[ { \frac{ 2 }{ 3 } } ,1]}{} \zusatzklammer {mit der Länge ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$} {} {.} Dessen Unterteilung in fünf gleichlange Teile ist durch
\mathdisp {[ { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ i }{ 15 } }, { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ i+1 }{ 15 } } ], \, i= 0,1,2,3,4} { , }
gegeben. Das vierte Teilintervall davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ 3 }{ 15 } }, { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ 4 }{ 15 } } ] }
{ =} { [ { \frac{ 10 }{ 15 } } + { \frac{ 3 }{ 15 } }, { \frac{ 10 }{ 15 } } + { \frac{ 4 }{ 15 } } ] }
{ =} { [ { \frac{ 13 }{ 15 } } , { \frac{ 14 }{ 15 } } ] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Teile das Vorgängerintervall in $15$ gleichlange Teile und nehme davon das $14.$-te Teilintervall. }{Bei der schriftlichen Division
\mathl{13:15}{} ergeben sich die Anfangsziffern
\mathl{0,86}{,} bei der schriftlichen Division
\mathl{14:15}{} ergeben sich die Anfangsziffern
\mathl{0,93}{.} Daher ist das Intervall
\mathl{[0,87\, ,\, 0, 88]}{} in $I_2$ enthalten \zusatzklammer {also
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{a }
{ = }{87 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} }{Die Länge des Intervalls
\mathl{I_{2k}}{} ist
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ 15 } } \right) }^k}{,} da ja in jedem Doppelschritt das Vorgängerintervall in $15$ Teile zerlegt wird und eins davon genommen wird. Es sei
\mathl{a_{2k}}{} die untere Intervallgrenze von $I_{2k}$. Dann besteht der rekursive Zusammenhang
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{2(k+1) } }
{ =} { a_{2k} + 13 \cdot { \left( { \frac{ 1 }{ 15 } } \right) }^{k+1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{2k} }
{ =} { 13 \cdot { \left( { \frac{ 1 }{ 15 } } + { \left( { \frac{ 1 }{ 15 } } \right) }^2 + \cdots + { \left( { \frac{ 1 }{ 15 } } \right) }^{k} \right) } }
{ =} { 13 \cdot { \left( \sum_{i = 1}^k { \left( { \frac{ 1 }{ 15 } } \right) }^{i} \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{\zusatzklammer {und gleichzeitig (6)} {} {} Es handelt sich um
\mathl{{ \frac{ 13 }{ 14 } }}{.} Wenn man nämlich im $15$-er System die Division
\mathl{13:14}{} durchführt, so erhält man zuerst eine $0$. Die Division mit Rest zur Berechnung der nächsten Ziffer ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 15 \cdot 13 }
{ =} { 13 \cdot 14 +13 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die erste Nachkommaziffer ist also $13$ und der Rest ist ebenfalls $13$. Damit wiederholt sich in der schriftlichen Division alles und es ergibt sich diejenige Zahl, bei der in der Ziffernentwicklung zur Basis $15$ \zusatzklammer {die Vorkammaziffern $0$ sind und} {} {} an jeder Nachkommastelle die Ziffer für $13$ steht. Insbesondere ist die Periodenlänge gleich $1$. Nach \zusatzklammer {dem analogen Resultat zur Basis $15$ zu} {} {} Lemma 28.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{2k} }
{ =} { \sum_{i = 1}^k 13 \cdot 15^{-i} }
{ \leq} { { \frac{ 13 }{ 14 } } }
{ <} { \sum_{i = 1}^k 13 \cdot 15^{-i} + 15^{-k} }
{ =} { a_{2k} + 15^{-k} }
} {}{}{,} was die Grenzen des Intervalls
\mathl{I_{2k}}{} sind. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{

Beweise die Aussage, dass eine reelle Zahl, die eine periodische Dezimalentwicklung besitzt, eine rationale Zahl ist.

}
{

Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl $x$ vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl $\neq 0$ noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form
\mathdisp {0,z_{m-1} z_{m-2} { \ldots } z_0 z_{m-1} z_{m-2} { \ldots } z_0 z_{m-1} z_{m-2} { \ldots } z_0 { \ldots }} { }
besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als
\mathdisp {{ \left( \sum_{i= 0}^{m-1} z_i 10^{i} \right) } \cdot 0, 00 { \ldots } 0 0 100 { \ldots } 0 0 100 { \ldots } 0 0 100 { \ldots } 0 0 1 { \ldots }} { }
auffassen, wobei die Einsen an der $m$-ten, $2m$-ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten also die Reihe
\mathdisp {\sum_{i = 1}^\infty { \left( { \frac{ 1 }{ 10^m } } \right) }^{i}} { . }
Nach Satz 47.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) konvergiert dies gegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 1- { \left( { \frac{ 1 }{ 10 } } \right) }^{ m } } } - 1 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \left( { \frac{ 99 { \cdots } 99 }{ 10^m } } \right) } } } - 1 }
{ =} { { \frac{ 10^m }{ 99 { \cdots } 99 } } -1 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 99 { \cdots } 99 } } }
{ } { }
} {}{}{,} wobei jeweils $m$ Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.

}
{

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $d$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ = }{0,1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Aussage offensichtlich richtig. Sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Sei $a$ eine Nullstelle von $P$ \zusatzklammer {falls $P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig} {} {,} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{Q(X-a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nach Lemma 50.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) und $Q$ hat den Grad
\mathl{d-1}{,} so dass wir auf $Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom $Q$ hat also maximal
\mathl{d-1}{} Nullstellen. Für
\mathl{b \in K}{} gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(b) }
{ = }{Q(b)(b-a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dies kann nur dann $0$ sein, wenn einer der Faktoren $0$ ist, so dass eine Nullstelle von $P$ gleich $a$ ist oder aber eine Nullstelle von $Q$ ist. Es gibt also maximal $d$ Nullstellen von $P$.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {x^u } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{

Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^u }
{ =} { { \left( e^{\ln x} \right) }^u }
{ =} { e^{u \ln x } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit kann man $f$ als die Hintereinanderschaltung der Funktionen
\mathl{x \mapsto \ln x}{,}
\mathl{y \mapsto u y}{} und
\mathl{z \mapsto e^z}{} auffassen. Diese Funktionen sind jeweils nach Satz 52.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)), Beispiel 51.2 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) und Satz 53.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) stetig. Aufgrund von Lemma 51.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)) ist dann die Hintereinanderschaltung ebenfalls stetig.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Ergänze die folgende Tabelle, in der Winkel in verschiedenen Maßeinheiten miteinander in Bezug gesetzt werden. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Vollkreis. %Daten für folgende Tabelle


\renewcommand{\leitzeilenull}{ }

\renewcommand{\leitzeileeins}{ Grad }

\renewcommand{\leitzeilezwei}{ Bogenmaß }

\renewcommand{\leitzeiledrei}{ Prozent }

\renewcommand{\leitzeilevier}{ }

\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }

\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }

\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }

\renewcommand{\leitzeileacht}{ }

\renewcommand{\leitzeileneun}{ }

\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }

\renewcommand{\leitzeileelf}{ }

\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }


\renewcommand{\leitspaltenull}{ }

\renewcommand{\leitspalteeins}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwei}{ }

\renewcommand{\leitspaltedrei}{ }

\renewcommand{\leitspaltevier}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }

\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }

\renewcommand{\leitspalteacht}{ }

\renewcommand{\leitspalteneun}{ }

\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }



\renewcommand{\aeinsxeins}{ \, }

\renewcommand{\aeinsxzwei}{ \, }

\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 100\,\% }

\renewcommand{\aeinsxvier}{ }

\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }

\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }

\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }

\renewcommand{\aeinsxacht}{ }

\renewcommand{\aeinsxneun}{ }

\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }

\renewcommand{\aeinsxelf}{ }

\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azweixeins}{ 270^{\circ} }

\renewcommand{\azweixzwei}{ \, }

\renewcommand{\azweixdrei}{ \, }

\renewcommand{\azweixvier}{ }

\renewcommand{\azweixfuenf}{ }

\renewcommand{\azweixsechs}{ }

\renewcommand{\azweixsieben}{ }

\renewcommand{\azweixacht}{ }

\renewcommand{\azweixneun}{ }

\renewcommand{\azweixzehn}{ }

\renewcommand{\azweixelf}{ }

\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreixeins}{ \, }

\renewcommand{\adreixzwei}{ { \frac{ \pi }{ 10 } } }

\renewcommand{\adreixdrei}{ \, }

\renewcommand{\adreixvier}{ }

\renewcommand{\adreixfuenf}{ }

\renewcommand{\adreixsechs}{ }

\renewcommand{\adreixsieben}{ }

\renewcommand{\adreixacht}{ }

\renewcommand{\adreixneun}{ }

\renewcommand{\adreixzehn}{ }

\renewcommand{\adreixelf}{ }

\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierxeins}{ 60^{\circ} }

\renewcommand{\avierxzwei}{ \, }

\renewcommand{\avierxdrei}{ \, }

\renewcommand{\avierxvier}{ }

\renewcommand{\avierxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierxsechs}{ }

\renewcommand{\avierxsieben}{ }

\renewcommand{\avierxacht}{ }

\renewcommand{\avierxneun}{ }

\renewcommand{\avierxzehn}{ }

\renewcommand{\avierxelf}{ }

\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfxeins}{ \, }

\renewcommand{\afuenfxzwei}{ \pi }

\renewcommand{\afuenfxdrei}{ \, }

\renewcommand{\afuenfxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechsxeins}{ \, }

\renewcommand{\asechsxzwei}{ \, }

\renewcommand{\asechsxdrei}{ 1\,\% }

\renewcommand{\asechsxvier}{ }

\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechsxsechs}{ }

\renewcommand{\asechsxsieben}{ }

\renewcommand{\asechsxacht}{ }

\renewcommand{\asechsxneun}{ }

\renewcommand{\asechsxzehn}{ }

\renewcommand{\asechsxelf}{ }

\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asiebenxeins}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }

\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }

\renewcommand{\asiebenxvier}{ }

\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }

\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }

\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }

\renewcommand{\asiebenxacht}{ }

\renewcommand{\asiebenxneun}{ }

\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }

\renewcommand{\asiebenxelf}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aachtxeins}{ }

\renewcommand{\aachtxzwei}{ }

\renewcommand{\aachtxdrei}{ }

\renewcommand{\aachtxvier}{ }

\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }

\renewcommand{\aachtxsechs}{ }

\renewcommand{\aachtxsieben}{ }

\renewcommand{\aachtxacht}{ }

\renewcommand{\aachtxneun}{ }

\renewcommand{\aachtxzehn}{ }

\renewcommand{\aachtxelf}{ }

\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aneunxeins}{ }

\renewcommand{\aneunxzwei}{ }

\renewcommand{\aneunxdrei}{ }

\renewcommand{\aneunxvier}{ }

\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }

\renewcommand{\aneunxsechs}{ }

\renewcommand{\aneunxsieben}{ }

\renewcommand{\aneunxacht}{ }

\renewcommand{\aneunxneun}{ }

\renewcommand{\aneunxzehn}{ }

\renewcommand{\aneunxelf}{ }

\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }


\renewcommand{\azehnxeins}{ }

\renewcommand{\azehnxzwei}{ }

\renewcommand{\azehnxdrei}{ }

\renewcommand{\azehnxvier}{ }

\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\azehnxsechs}{ }

\renewcommand{\azehnxsieben}{ }

\renewcommand{\azehnxacht}{ }

\renewcommand{\azehnxneun}{ }

\renewcommand{\azehnxzehn}{ }

\renewcommand{\azehnxelf}{ }

\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\aelfxeins}{ }

\renewcommand{\aelfxzwei}{ }

\renewcommand{\aelfxdrei}{ }

\renewcommand{\aelfxvier}{ }

\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\aelfxsechs}{ }

\renewcommand{\aelfxsieben}{ }

\renewcommand{\aelfxacht}{ }

\renewcommand{\aelfxneun}{ }

\renewcommand{\aelfxzehn}{ }

\renewcommand{\aelfxelf}{ }

\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }

\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }

\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }

\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }

\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }

\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }

\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }

\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }

\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }

\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }

\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }

\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }

\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }


\tabelleleitsechsxdrei

}
{

%Daten für folgende Tabelle


\renewcommand{\leitzeilenull}{ }

\renewcommand{\leitzeileeins}{ Grad }

\renewcommand{\leitzeilezwei}{ Bogenmaß }

\renewcommand{\leitzeiledrei}{ Prozent }

\renewcommand{\leitzeilevier}{ }

\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }

\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }

\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }

\renewcommand{\leitzeileacht}{ }

\renewcommand{\leitzeileneun}{ }

\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }

\renewcommand{\leitzeileelf}{ }

\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }


\renewcommand{\leitspaltenull}{ }

\renewcommand{\leitspalteeins}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwei}{ }

\renewcommand{\leitspaltedrei}{ }

\renewcommand{\leitspaltevier}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }

\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }

\renewcommand{\leitspalteacht}{ }

\renewcommand{\leitspalteneun}{ }

\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }



\renewcommand{\aeinsxeins}{ 360^{\circ} }

\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 2 \pi }

\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 100\,\% }

\renewcommand{\aeinsxvier}{ }

\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }

\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }

\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }

\renewcommand{\aeinsxacht}{ }

\renewcommand{\aeinsxneun}{ }

\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }

\renewcommand{\aeinsxelf}{ }

\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azweixeins}{ 270^{\circ} }

\renewcommand{\azweixzwei}{ { \frac{ 3 }{ 2 } } \pi }

\renewcommand{\azweixdrei}{ 75\,\% }

\renewcommand{\azweixvier}{ }

\renewcommand{\azweixfuenf}{ }

\renewcommand{\azweixsechs}{ }

\renewcommand{\azweixsieben}{ }

\renewcommand{\azweixacht}{ }

\renewcommand{\azweixneun}{ }

\renewcommand{\azweixzehn}{ }

\renewcommand{\azweixelf}{ }

\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreixeins}{ 18^{\circ} }

\renewcommand{\adreixzwei}{ { \frac{ \pi }{ 10 } } }

\renewcommand{\adreixdrei}{ 5\,\% }

\renewcommand{\adreixvier}{ }

\renewcommand{\adreixfuenf}{ }

\renewcommand{\adreixsechs}{ }

\renewcommand{\adreixsieben}{ }

\renewcommand{\adreixacht}{ }

\renewcommand{\adreixneun}{ }

\renewcommand{\adreixzehn}{ }

\renewcommand{\adreixelf}{ }

\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierxeins}{ 60^{\circ} }

\renewcommand{\avierxzwei}{ { \frac{ \pi }{ 3 } } }

\renewcommand{\avierxdrei}{ 16{,}\overline{6}\,\% \, }

\renewcommand{\avierxvier}{ }

\renewcommand{\avierxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierxsechs}{ }

\renewcommand{\avierxsieben}{ }

\renewcommand{\avierxacht}{ }

\renewcommand{\avierxneun}{ }

\renewcommand{\avierxzehn}{ }

\renewcommand{\avierxelf}{ }

\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfxeins}{ 180^{\circ} }

\renewcommand{\afuenfxzwei}{ \pi }

\renewcommand{\afuenfxdrei}{ 50\,\% }

\renewcommand{\afuenfxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechsxeins}{ 3{,}6^{\circ} }

\renewcommand{\asechsxzwei}{ { \frac{ \pi }{ 50 } } }

\renewcommand{\asechsxdrei}{ 1\,\% }

\renewcommand{\asechsxvier}{ }

\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechsxsechs}{ }

\renewcommand{\asechsxsieben}{ }

\renewcommand{\asechsxacht}{ }

\renewcommand{\asechsxneun}{ }

\renewcommand{\asechsxzehn}{ }

\renewcommand{\asechsxelf}{ }

\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asiebenxeins}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }

\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }

\renewcommand{\asiebenxvier}{ }

\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }

\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }

\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }

\renewcommand{\asiebenxacht}{ }

\renewcommand{\asiebenxneun}{ }

\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }

\renewcommand{\asiebenxelf}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aachtxeins}{ }

\renewcommand{\aachtxzwei}{ }

\renewcommand{\aachtxdrei}{ }

\renewcommand{\aachtxvier}{ }

\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }

\renewcommand{\aachtxsechs}{ }

\renewcommand{\aachtxsieben}{ }

\renewcommand{\aachtxacht}{ }

\renewcommand{\aachtxneun}{ }

\renewcommand{\aachtxzehn}{ }

\renewcommand{\aachtxelf}{ }

\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aneunxeins}{ }

\renewcommand{\aneunxzwei}{ }

\renewcommand{\aneunxdrei}{ }

\renewcommand{\aneunxvier}{ }

\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }

\renewcommand{\aneunxsechs}{ }

\renewcommand{\aneunxsieben}{ }

\renewcommand{\aneunxacht}{ }

\renewcommand{\aneunxneun}{ }

\renewcommand{\aneunxzehn}{ }

\renewcommand{\aneunxelf}{ }

\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }


\renewcommand{\azehnxeins}{ }

\renewcommand{\azehnxzwei}{ }

\renewcommand{\azehnxdrei}{ }

\renewcommand{\azehnxvier}{ }

\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\azehnxsechs}{ }

\renewcommand{\azehnxsieben}{ }

\renewcommand{\azehnxacht}{ }

\renewcommand{\azehnxneun}{ }

\renewcommand{\azehnxzehn}{ }

\renewcommand{\azehnxelf}{ }

\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\aelfxeins}{ }

\renewcommand{\aelfxzwei}{ }

\renewcommand{\aelfxdrei}{ }

\renewcommand{\aelfxvier}{ }

\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\aelfxsechs}{ }

\renewcommand{\aelfxsieben}{ }

\renewcommand{\aelfxacht}{ }

\renewcommand{\aelfxneun}{ }

\renewcommand{\aelfxzehn}{ }

\renewcommand{\aelfxelf}{ }

\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }

\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }

\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }

\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }

\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }

\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }

\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }

\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }

\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }

\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }

\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }

\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }

\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }


\tabelleleitsechsxdrei

}





\inputaufgabepunkteloesung
{9 (2+1+2+4)}
{

Beim Skat gibt es $32$ Karten, darunter $4$ Buben, und jeder Spieler bekommt $10$ Karten. \aufzaehlungvier{Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler alle $4$ Buben bekommt. }{Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass einer der drei Spieler alle $4$ Buben bekommt. }{Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler (genau) $2$ Buben bekommt. }{Spieler $A$ hat zwei Buben bekommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler $B$ ebenfalls zwei Buben hat? }

}
{

\aufzaehlungvier{Die Anzahl der möglichen \anfuehrung{Hände}{,} die Spieler $A$ bekommen kann, beträgt
\mathl{\binom { 32 } { 10}}{.} Die Anzahl der Hände, die alle vier Buben umfassen, sind
\mathl{\binom { 28 } { 6}}{.} Daher ist die Wahrscheinlichkeit, alle Buben zu bekommen, gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \binom { 28 } { 6} }{ \binom { 32 } { 10} } } }
{ =} { { \frac{ \,\, { \frac{ 28 \cdot 27 \cdots 23 }{ 6 \cdot 5 \cdots 1 } } \,\, }{ \,\, { \frac{ 32 \cdot 31 \cdots 23 }{ 10 \cdot 9 \cdots 1 } }\,\, } } }
{ =} { { \frac{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 } } }
{ =} {{ \frac{ 3 \cdot 7 }{ 4 \cdot 31 \cdot 29 } } }
{ =} {{ \frac{ 21 }{ 3596 } } }
} {}{}{.} }{Die drei Ereignisse sind disjunkt, daher ist die Wahrscheinlichkeit das Dreifache der Einzelwahrscheinlichkeiten, also gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3 \cdot { \frac{ 21 }{ 3596 } } }
{ =} {{ \frac{ 63 }{ 3596 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler $A$ zwei Buben bekommt, beträgt \zusatzklammer {Welche zwei Buben? Welche acht anderen Karten?} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \binom { 4 } { 2} \cdot \binom { 28 } { 8} }{ \binom { 32 } { 10} } } }
{ =} { { \frac{ \,\, 6 \cdot { \frac{ 28 \cdot 27 \cdots 21 }{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdots 1 } } \,\, }{ \,\, { \frac{ 32 \cdot 31 \cdots 23 }{ 10 \cdot 9 \cdots 1 } }\,\, } } }
{ =} { { \frac{ \,\, 6 \cdot { \frac{ 22 \cdot 21 }{ 1 } } \,\, }{ \,\, { \frac{ 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 }{ 10 \cdot 9 } }\,\, } } }
{ =} { { \frac{ 10 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 22 \cdot 21 }{ 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 } } }
{ =} { { \frac{ 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 21 }{ 8 \cdot 31 \cdot 29 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 2079 }{ 7192 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} }{Es geht um die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Spieler $B$ zwei Buben bekommt unter der Bedingung, dass Spieler $A$ zwei Buben bekommt. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass sowohl Spieler $A$ als auch Spieler $B$ zwei Buben bekommt, muss man sich zunächst klar machen, dass es
\mathl{\binom { 32 } { 10} \cdot \binom { 22 } { 10}}{} Möglichkeiten gibt, je zehn Karten auf zwei Spieler zu verteilen. Es gibt
\mathl{\binom { 4 } { 2}}{} Möglichkeiten, die Buben in zwei Hälften aufzuteilen, und es gibt
\mathl{\binom { 28 } { 8} \cdot \binom { 20 } { 8}}{} Möglichkeiten, die Nichtbuben auf diese zwei Spieler aufzuteilen. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \binom { 4 } { 2} \cdot \binom { 28 } { 8} \cdot \binom { 20 } { 8} }{ \binom { 32 } { 10}\cdot \binom { 22 } { 10} } } }
{ =} { { \frac{ \,\, 6 \cdot { \frac{ 28 \cdot 27 \cdots 21 }{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdots 1 } } \cdot { \frac{ 20 \cdot 19 \cdots 13 }{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdots 1 } } \,\, }{ \,\, { \frac{ 32 \cdot 31 \cdots 23 }{ 10 \cdot 9 \cdots 1 } } \cdot { \frac{ 22 \cdot 21 \cdots 13 }{ 10 \cdot 9 \cdots 1 } }\,\, } } }
{ =} { { \frac{ \,\, 6 \cdot { \frac{ 22 \cdot 21 }{ 1 } } \,\, }{ \,\, { \frac{ 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 }{ 10 \cdot 9 } } \cdot { \frac{ 22 \cdot 21 }{ 10 \cdot 9 } }\,\, } } }
{ =} { { \frac{ 6 \cdot 10^2 \cdot 9^2 }{ 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 } } }
{ =} { { \frac{ 5 \cdot 9^2 }{ 8 \cdot 31 \cdot 29 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 405 }{ 7192 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Somit ist die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ { \frac{ 405 }{ 7192 } } }{ { \frac{ 2079 }{ 7192 } } } } }
{ =} { { \frac{ 405 }{ 2079 } } }
{ =} { { \frac{ 15 }{ 77 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}