Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/24/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 7 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 12 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 9 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Eine
\stichwort {lineare Gleichung} {}
zu einer Variablenmenge
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{} über einem Körper $K$.
}{Eine \stichwortpraemath {m \times n} {Matrix}{} über einem Körper $K$.
}{Die \stichwort {Transitivität} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.
}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x \in K$.
}{Eine \stichwort {irrationale} {} Zahl.
}{Eine \stichwort {diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte} {} auf einer endlichen Menge $M$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Zu
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in K}{} nennt man
\mathdisp {a_1x_1 +a_2x_2 + \cdots + a_nx_n =0} { }
eine
\zusatzklammer {homogene} {} {}
lineare Gleichung in den Variablen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} über $K$.
}{Unter einer
$m \times n$-Matrix
über $K$ versteht man ein Schema der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\
a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } & a_{ m 2 } & \ldots & a_{ m n } \end{pmatrix}} { , }
wobei
\mathl{a_{ij} \in K}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{i
}
{ \leq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{j
}
{ \leq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Die Relation $R$ heißt transitiv, wenn aus
\mathl{xRy}{} und
\mathl{yRz}{} stets
\mathl{xRz}{} folgt.
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Eine irrationale Zahl ist eine Zahl aus
\mathl{\R \setminus \Q}{.}
}{Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf $M$ ist eine Abbildung
\maabbeledisp {f} {M} { \R_{\geq 0}
} {x} { f(x)
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{x \in M} f(x)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Lösungsraum bei einer linearen Gleichung.}{Das \stichwort {Quetschkriterium} {} für Folgen in einem angeordneten Körper $K$.}{Die \stichwort {Formel für die totale Wahrscheinlichkeit} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1x_1 +a_2x_2 + \cdots + a_nx_n
}
{ =} { c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine lineare Gleichung über $K$ in den Variablen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{.} Es sei $a_1 \neq 0$. Dann steht die Lösungsmenge $L$ der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum
\mathl{K^{n-1}}{,} und zwar über die Abbildungen
\maabbeledisp {} {L} { K^{n-1}
} { \left( x_1 , \, x_2 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \left( x_2 , \, \ldots , \, x_n \right)
} {,}
und
\maabbeledisp {} {K^{n-1}} {L
} { \left( x_2 , \, \ldots , \, x_n \right) } { \left( \frac{1}{a_1} \left( c- a_2x_2 - \cdots - a_nx_n \right) , \, x_2 , \, \ldots , \, x_n \right)
} {.}}{Es sei $K$ ein angeordneter Körper, und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
drei Folgen in $K$. Es gelte
\mathdisp {x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N} { }
und
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen diesen Grenzwert $a$.}{Es sei $(M, P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { B_1 \uplus B_2 \uplus \ldots \uplus B_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis $E$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(E)
}
{ =} { \sum_{ i = 1}^n P(B_i) \cdot P( E {{|}} B_i )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 2 x &
+3 y &
\, \, \, \, - z &
+ w & = & 2 \\ 2 x &
\, \, \, \, - y &
-2 z &
+ w & = & 0 \\ - x &
+ y &
+ z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -2 \\ x &
+2 y &
+5 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }
}
{
Wir eliminieren zuerst die Variable $w$, indem wir die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
&
+4 y &
+ z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\
- x &
+ y &
+ z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -2 \\
x &
+2 y &
+5 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, .
\end{matrix}} { }
Nun eliminieren wir die Variable $x$, indem wir die zweite Gleichung mit der dritten Gleichung addieren. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
&
+4 y &
+ z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\
&
+3 y &
+6 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 1 \, .
\end{matrix}} { }
Mit
\mathl{-6I+II}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -21 y
}
{ =} {-11
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 11 }{ 21 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { - { \frac{ 2 }{ 21 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { { \frac{ 17 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { - { \frac{ 95 }{ 21 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Inwiefern hat das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit dem Induktionsprinzip zu tun?
}
{Eliminationsverfahren/Induktionsprinzip/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 4 & 4 & 1 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix}} { . }
}
{
\matabellezweifuenf {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 4 & 4 & 1 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & -16 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & -16 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & -{ \frac{ 1 }{ 5 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 4 } } & - { \frac{ 1 }{ 16 } } & { \frac{ 1 }{ 80 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} -{ \frac{ 1 }{ 4 } } & { \frac{ 5 }{ 16 } } & -{ \frac{ 1 }{ 16 } } \\ { \frac{ 1 }{ 4 } } & - { \frac{ 1 }{ 16 } } & { \frac{ 1 }{ 80 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } \end{pmatrix}
} }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Biclique K 3 3.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Biclique K 3 3.svg } {} {Koko90} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Es sollen drei Häuser jeweils mit Leitungen an Wasser, Gas und Elektrizität angeschlossen werden. Beschreibe eine Möglichkeit, bei der es nur eine Überschneidung gibt.
}
{Wasser/Gas/Elektrizität/Eine Überschneidung/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe
\mathl{\Z/(n)}{.}
}
{
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Restklassenring gleich $\Z$ selbst und kein Körper. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ 0 }\,
}
{ = }{ \overline{ 1 }\,
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und $1$ ist keine Primzahl. Sei also von nun an
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn $n$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {rs
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit kleineren Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ <} {r,s
}
{ <} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im Restklassenring
\mathl{\Z/(n)}{} bedeutet dies, dass die Restklassen
\mathkor {} {\overline{ r }\,} {und} {\overline{ s }\,} {}
nicht $0$ sind, dass aber ihr Produkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ r }\, \overline{ s }\,
}
{ =} { \overline{ rs }\,
}
{ =} { \overline{ n }\,
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Das kann nach
Lemma 23.12 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
in einem Körper nicht sein.
Sei nun $n$ eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von $0$ verschiedene Restklasse
\mathbed {\overline{ r }\,} {}
{0 < r < n} {}
{} {} {} {,}
ein inverses Element besitzt. Da $n$ prim ist, sind
\mathkor {} {r} {und} {n} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
Nach
dem Lemma von Bezout
gibt es ganze Zahlen
\mathl{a,b}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ar+bn
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies führt im Restklassenring zur Identität
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \overline{ 1 }\,
}
{ =} { \overline{ ar +bn }\,
}
{ =} { \overline{ a }\, \overline{ r }\, + \overline{ b }\, \overline{ n }\,
}
{ =} { \overline{ a }\, \overline{ r }\,
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
die besagt, dass
\mathkor {} {\overline{ r }\,} {und} {\overline{ a }\,} {}
invers zueinander sind.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme, ob die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{10000000000000000000000000000}} { }
rational ist oder nicht.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{10000000000000000000000000000}
}
{ =} { \sqrt{10^{28} }
}
{ =} { 10^{14}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine rationale Zahl.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{3}$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Berechne
\mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {.}
}{Berechne
\mathkor {} {y_1} {und} {y_2} {.}
}{Berechne
\mathkor {} {x_0 \cdot y_0, \, x_1 \cdot y_1} {und} {x_2 \cdot y_2} {.}
}{Konvergiert die
\definitionsverweis {Produktfolge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z_n
}
{ = }{x_n \cdot y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
innerhalb der rationalen Zahlen?
}
}
{
\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} { { \frac{ 1 + 3 }{ 2 } }
}
{ =} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ =} { { \frac{ x_1 + { \frac{ 3 }{ x_1 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 + { \frac{ 3 }{ 2 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 4 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_1
}
{ =} { { \frac{ 1 + { \frac{ 1 }{ 3 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_2
}
{ =} { { \frac{ y_1 + { \frac{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }{ y_1 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }{ { \frac{ 2 }{ 3 } } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 7 }{ 6 } } }{ 2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { { \frac{ 7 }{ 12 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_0 \cdot y_0
}
{ =} { 1 \cdot 1
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 \cdot y_1
}
{ =} { 2 \cdot { \frac{ 2 }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2 \cdot y_2
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 7 }{ 12 } }
}
{ =} { { \frac{ 49 }{ 48 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Heron-Folge $x_n$ konvergiert in $\R$ gegen $\sqrt{3}$ und die Heron-Folge $y_n$ konvergiert in $\R$ gegen ${ \frac{ 1 }{ \sqrt{3 } }}$, daher konvergiert die Produktfolge
\mathl{x_n \cdot y_n}{} gegen $1$. Da dies zu $\Q$ gehört, konvergiert die Produktfolge auch in $\Q$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{weiter}
{
Wir beschreiben eine Konstruktion von ineinander enthaltenen Intervallen, und gehen vom Einheitsintervall
\mathl{[0,1]}{} aus. Das Intervall wird in drei gleichlange Teilintervalle zerlegt und davon nehmen wir das dritte
\zusatzklammer {Regel 1} {} {.}
Das entstehende Intervall teilen wir in fünf gleichlange Teilintervalle ein und davon nehmen wir das vierte
\zusatzklammer {Regel 2} {} {.}
Jetzt wenden wir abwechselnd Regel 1 und Regel 2 an, immer bezogen auf das zuvor konstruierte Intervall. Dabei entsteht eine Folge von Intervallen
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {}
\zusatzklammer {$I_0$ ist das Einheitsintervall, das als Startintervall dient} {} {.}
\aufzaehlungsechs{Bestimme die Intervallgrenzen des Intervalls, das im zweiten Schritt konstruiert wird
\zusatzklammer {also von $I_2$, nachdem einmal die Regel $1$ und einmal die Regel 2 angewendet wurde} {} {.}
}{Wie kann man den Konstruktionsschritt, der durch die einmalige Hintereinanderausführung von Regel 1 und von Regel 2 gegeben ist, mit einer einzigen Regel ausdrücken?
}{Bestimme ein Intervall der Form $[ { \frac{ a }{ 100 } } , { \frac{ a }{ 100 } }+ { \frac{ 1 }{ 100 } }]$ mit
\mathl{a \in \N}{,} das ganz in $I_2$ enthalten ist.
}{Erstelle eine Formel, die die untere Intervallgrenze des Intervalls
\mathl{I_{2k}}{,}
\mathl{k \in \N}{,} ausdrückt.
}{Es gibt genau eine rationale Zahl $c$, die in jedem Intervall $I_n$ enthalten ist. Bestimme $c$ als Bruch.
}{Gibt es ein Ziffernsystem, in dem die rationale Zahl $c$ aus (5) eine Ziffernentwicklung mit Periodenlänge $1$ besitzt?
}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Das im ersten Schritt konstruierte Intervall ist
\mathl{[ { \frac{ 2 }{ 3 } } ,1]}{}
\zusatzklammer {mit der Länge ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$} {} {.}
Dessen Unterteilung in fünf gleichlange Teile ist durch
\mathdisp {[ { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ i }{ 15 } }, { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ i+1 }{ 15 } } ], \, i= 0,1,2,3,4} { , }
gegeben. Das vierte Teilintervall davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ 3 }{ 15 } }, { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ 4 }{ 15 } } ]
}
{ =} { [ { \frac{ 10 }{ 15 } } + { \frac{ 3 }{ 15 } }, { \frac{ 10 }{ 15 } } + { \frac{ 4 }{ 15 } } ]
}
{ =} { [ { \frac{ 13 }{ 15 } } , { \frac{ 14 }{ 15 } } ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Teile das Vorgängerintervall in $15$ gleichlange Teile und nehme davon das $14.$-te Teilintervall.
}{Bei der schriftlichen Division
\mathl{13:15}{} ergeben sich die Anfangsziffern
\mathl{0,86}{,} bei der schriftlichen Division
\mathl{14:15}{} ergeben sich die Anfangsziffern
\mathl{0,93}{.} Daher ist das Intervall
\mathl{[0,87\, ,\, 0, 88]}{} in $I_2$ enthalten
\zusatzklammer {also
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{a
}
{ = }{87
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{Die Länge des Intervalls
\mathl{I_{2k}}{} ist
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ 15 } } \right) }^k}{,} da ja in jedem Doppelschritt das Vorgängerintervall in $15$ Teile zerlegt wird und eins davon genommen wird. Es sei
\mathl{a_{2k}}{} die untere Intervallgrenze von $I_{2k}$. Dann besteht der rekursive Zusammenhang
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{2(k+1) }
}
{ =} { a_{2k} + 13 \cdot { \left( { \frac{ 1 }{ 15 } } \right) }^{k+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{2k}
}
{ =} { 13 \cdot { \left( { \frac{ 1 }{ 15 } } + { \left( { \frac{ 1 }{ 15 } } \right) }^2 + \cdots + { \left( { \frac{ 1 }{ 15 } } \right) }^{k} \right) }
}
{ =} { 13 \cdot { \left( \sum_{i = 1}^k { \left( { \frac{ 1 }{ 15 } } \right) }^{i} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{\zusatzklammer {und gleichzeitig (6)} {} {}
Es handelt sich um
\mathl{{ \frac{ 13 }{ 14 } }}{.} Wenn man nämlich im $15$-er System die Division
\mathl{13:14}{} durchführt, so erhält man zuerst eine $0$. Die Division mit Rest zur Berechnung der nächsten Ziffer ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 15 \cdot 13
}
{ =} { 13 \cdot 14 +13
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die erste Nachkommaziffer ist also $13$ und der Rest ist ebenfalls $13$. Damit wiederholt sich in der schriftlichen Division alles und es ergibt sich diejenige Zahl, bei der in der Ziffernentwicklung zur Basis $15$
\zusatzklammer {die Vorkammaziffern $0$ sind und} {} {}
an jeder Nachkommastelle die Ziffer für $13$ steht. Insbesondere ist die Periodenlänge gleich $1$. Nach
\zusatzklammer {dem analogen Resultat zur Basis $15$ zu} {} {}
Lemma 28.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{2k}
}
{ =} { \sum_{i = 1}^k 13 \cdot 15^{-i}
}
{ \leq} { { \frac{ 13 }{ 14 } }
}
{ <} { \sum_{i = 1}^k 13 \cdot 15^{-i} + 15^{-k}
}
{ =} { a_{2k} + 15^{-k}
}
}
{}{}{,}
was die Grenzen des Intervalls
\mathl{I_{2k}}{} sind.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Beweise die Aussage, dass eine reelle Zahl, die eine periodische Dezimalentwicklung besitzt, eine rationale Zahl ist.
}
{
Es liege eine periodische Ziffernentwicklung für die reelle Zahl $x$ vor. Da sich die Eigenschaft, eine rationale Zahl zu sein, weder bei Multiplikation mit einer rationalen Zahl $\neq 0$ noch bei Addition mit einer rationalen Zahl ändert, können wir sofort annehmen, dass die Ziffernentwicklung die Form
\mathdisp {0,z_{m-1} z_{m-2} { \ldots } z_0 z_{m-1} z_{m-2} { \ldots } z_0 z_{m-1} z_{m-2} { \ldots } z_0 { \ldots }} { }
besitzt. Die dadurch definierte Zahl können wir als
\mathdisp {{ \left( \sum_{i= 0}^{m-1} z_i 10^{i} \right) } \cdot 0, 00 { \ldots } 0 0 100 { \ldots } 0 0 100 { \ldots } 0 0 100 { \ldots } 0 0 1 { \ldots }} { }
auffassen, wobei die Einsen an der $m$-ten, $2m$-ten u.s.w. Stelle stehen. Wir müssen uns also nur noch um periodische Ziffernentwicklungen von dieser speziellen Art kümmern. Wir betrachten also die Reihe
\mathdisp {\sum_{i = 1}^\infty { \left( { \frac{ 1 }{ 10^m } } \right) }^{i}} { . }
Nach
Satz 47.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
konvergiert dies gegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 1- { \left( { \frac{ 1 }{ 10 } } \right) }^{ m } } } - 1
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \left( { \frac{ 99 { \cdots } 99 }{ 10^m } } \right) } } } - 1
}
{ =} { { \frac{ 10^m }{ 99 { \cdots } 99 } } -1
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 99 { \cdots } 99 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei jeweils $m$ Neunen vorkommen. Diese Zahl ist also rational.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $d$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ = }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei $a$ eine Nullstelle von $P$
\zusatzklammer {falls $P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig} {} {.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ Q(X-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 50.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
und $Q$ hat den Grad
\mathl{d-1}{,} so dass wir auf $Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom $Q$ hat also maximal
\mathl{d-1}{} Nullstellen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(b)
}
{ = }{ Q(b)(b-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies kann nach
Lemma 23.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (5)
nur dann $0$ sein, wenn einer der Faktoren $0$ ist, so dass eine Nullstelle von $P$ gleich $a$ ist oder aber eine Nullstelle von $Q$ ist. Es gibt also maximal $d$ Nullstellen von $P$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {x^u
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^u
}
{ =} { { \left( e^{\ln x} \right) }^u
}
{ =} { e^{u \ln x }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit kann man $f$ als die Hintereinanderschaltung der Funktionen
\mathl{x \mapsto \ln x}{,}
\mathl{y \mapsto u y}{} und
\mathl{z \mapsto e^z}{} auffassen. Diese Funktionen sind jeweils nach
Satz 52.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)),
Beispiel 51.2 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
und
Satz 53.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
stetig. Aufgrund von
[[Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt|Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt/Faktreferenznummer (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))]]
ist dann die Hintereinanderschaltung ebenfalls stetig.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Ergänze die folgende Tabelle, in der Winkel in verschiedenen Maßeinheiten miteinander in Bezug gesetzt werden. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Vollkreis. %Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ Grad }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ Bogenmaß }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ Prozent }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ \, }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ \, }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 100\,\% }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ 270^{\circ} }
\renewcommand{\azweixzwei}{ \, }
\renewcommand{\azweixdrei}{ \, }
\renewcommand{\azweixvier}{ }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ \, }
\renewcommand{\adreixzwei}{ { \frac{ \pi }{ 10 } } }
\renewcommand{\adreixdrei}{ \, }
\renewcommand{\adreixvier}{ }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ 60^{\circ} }
\renewcommand{\avierxzwei}{ \, }
\renewcommand{\avierxdrei}{ \, }
\renewcommand{\avierxvier}{ }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ \, }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ \pi }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ \, }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ \, }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ \, }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ 1\,\% }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitsechsxdrei
}
{
%Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ Grad }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ Bogenmaß }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ Prozent }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ 360^{\circ} }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ 2 \pi }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 100\,\% }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ 270^{\circ} }
\renewcommand{\azweixzwei}{ { \frac{ 3 }{ 2 } } \pi }
\renewcommand{\azweixdrei}{ 75\,\% }
\renewcommand{\azweixvier}{ }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ 18^{\circ} }
\renewcommand{\adreixzwei}{ { \frac{ \pi }{ 10 } } }
\renewcommand{\adreixdrei}{ 5\,\% }
\renewcommand{\adreixvier}{ }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ 60^{\circ} }
\renewcommand{\avierxzwei}{ { \frac{ \pi }{ 3 } } }
\renewcommand{\avierxdrei}{ 16{,}\overline{6}\,\% \, }
\renewcommand{\avierxvier}{ }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ 180^{\circ} }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ \pi }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ 50\,\% }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ 3{,}6^{\circ} }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ { \frac{ \pi }{ 50 } } }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ 1\,\% }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitsechsxdrei
}
\inputaufgabepunkteloesung
{9 (2+1+2+4)}
{
Beim Skat gibt es $32$ Karten, darunter $4$ Buben, und jeder Spieler bekommt $10$ Karten. \aufzaehlungvier{Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler alle $4$ Buben bekommt. }{Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass einer der drei Spieler alle $4$ Buben bekommt. }{Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Spieler (genau) $2$ Buben bekommt. }{Spieler $A$ hat zwei Buben bekommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler $B$ ebenfalls zwei Buben hat? }
}
{
\aufzaehlungvier{Die Anzahl der möglichen \anfuehrung{Hände}{,} die Spieler $A$ bekommen kann, beträgt
\mathl{\binom { 32 } { 10 }}{.} Die Anzahl der Hände, die alle vier Buben umfassen, sind
\mathl{\binom { 28 } { 6 }}{.} Daher ist die Wahrscheinlichkeit, alle Buben zu bekommen, gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \binom { 28 } { 6 } }{ \binom { 32 } { 10 } } }
}
{ =} { { \frac{ \,\, { \frac{ 28 \cdot 27 \cdots 23 }{ 6 \cdot 5 \cdots 1 } } \,\, }{ \,\, { \frac{ 32 \cdot 31 \cdots 23 }{ 10 \cdot 9 \cdots 1 } }\,\, } }
}
{ =} { { \frac{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 } }
}
{ =} {{ \frac{ 3 \cdot 7 }{ 4 \cdot 31 \cdot 29 } }
}
{ =} {{ \frac{ 21 }{ 3596 } }
}
}
{}{}{.}
}{Die drei Ereignisse sind disjunkt, daher ist die Wahrscheinlichkeit das Dreifache der Einzelwahrscheinlichkeiten, also gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3 \cdot { \frac{ 21 }{ 3596 } }
}
{ =} {{ \frac{ 63 }{ 3596 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler $A$ zwei Buben bekommt, beträgt
\zusatzklammer {Welche zwei Buben? Welche acht anderen Karten?} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \binom { 4 } { 2 } \cdot \binom { 28 } { 8 } }{ \binom { 32 } { 10 } } }
}
{ =} { { \frac{ \,\, 6 \cdot { \frac{ 28 \cdot 27 \cdots 21 }{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdots 1 } } \,\, }{ \,\, { \frac{ 32 \cdot 31 \cdots 23 }{ 10 \cdot 9 \cdots 1 } }\,\, } }
}
{ =} { { \frac{ \,\, 6 \cdot { \frac{ 22 \cdot 21 }{ 1 } } \,\, }{ \,\, { \frac{ 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 }{ 10 \cdot 9 } }\,\, } }
}
{ =} { { \frac{ 10 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 22 \cdot 21 }{ 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 } }
}
{ =} { { \frac{ 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 21 }{ 8 \cdot 31 \cdot 29 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 2079 }{ 7192 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}{Es geht um die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Spieler $B$ zwei Buben bekommt unter der Bedingung, dass Spieler $A$ zwei Buben bekommt. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass sowohl Spieler $A$ als auch Spieler $B$ zwei Buben bekommt, muss man sich zunächst klar machen, dass es
\mathl{\binom { 32 } { 10 } \cdot \binom { 22 } { 10 }}{} Möglichkeiten gibt, je zehn Karten auf zwei Spieler zu verteilen. Es gibt
\mathl{\binom { 4 } { 2 }}{} Möglichkeiten, die Buben in zwei Hälften aufzuteilen, und es gibt
\mathl{\binom { 28 } { 8 } \cdot \binom { 20 } { 8 }}{} Möglichkeiten, die Nichtbuben auf diese zwei Spieler aufzuteilen. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \binom { 4 } { 2 } \cdot \binom { 28 } { 8 } \cdot \binom { 20 } { 8 } }{ \binom { 32 } { 10 }\cdot \binom { 22 } { 10 } } }
}
{ =} { { \frac{ \,\, 6 \cdot { \frac{ 28 \cdot 27 \cdots 21 }{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdots 1 } } \cdot { \frac{ 20 \cdot 19 \cdots 13 }{ 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdots 1 } } \,\, }{ \,\, { \frac{ 32 \cdot 31 \cdots 23 }{ 10 \cdot 9 \cdots 1 } } \cdot { \frac{ 22 \cdot 21 \cdots 13 }{ 10 \cdot 9 \cdots 1 } }\,\, } }
}
{ =} { { \frac{ \,\, 6 \cdot { \frac{ 22 \cdot 21 }{ 1 } } \,\, }{ \,\, { \frac{ 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 }{ 10 \cdot 9 } } \cdot { \frac{ 22 \cdot 21 }{ 10 \cdot 9 } }\,\, } }
}
{ =} { { \frac{ 6 \cdot 10^2 \cdot 9^2 }{ 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 } }
}
{ =} { { \frac{ 5 \cdot 9^2 }{ 8 \cdot 31 \cdot 29 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 405 }{ 7192 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Somit ist die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ { \frac{ 405 }{ 7192 } } }{ { \frac{ 2079 }{ 7192 } } } }
}
{ =} { { \frac{ 405 }{ 2079 } }
}
{ =} { { \frac{ 15 }{ 77 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}