Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/25/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 10 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 1 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 10 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 1 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 5 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabelleachtzehn


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Basis} {} im $K^m$.

}{Eine \stichwort {Ordnungs} {}relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.

}{Eine \stichwort {Folge} {} in einer Menge $M$.

}{Der \stichwort {Polynomring} {} über einem Körper $K$ \zusatzklammer {einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen} {} {.}

}{Das \stichwort {Cauchy-Folgen-Modell} {} für die reellen Zahlen.

}{Ein \stichwort {Laplace-Raum} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.}{Der \stichwort {Satz über die Intervallschachtelung} {.}}{Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms
\mathl{F \in K[X]}{}.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{10}
{

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x & \, \, \, \, \, \, \, \, & + z & +4 w & = & -2 \\ 2 x & +2 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 7 \\ 4 x & +6 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 3 \\ x & +3 y & +5 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & -1 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} von
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 9 }{ 4 } } & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & { \frac{ 50 }{ 3 } } & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & - { \frac{ 5 }{ 3 } } & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 10^{7} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & { \frac{ 2 }{ 11 } } \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme, ob die durch die Relationstabelle %Daten für folgende Tabelle


\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\,$ }

\renewcommand{\leitzeileeins}{ $A$ }

\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $B$ }

\renewcommand{\leitzeiledrei}{ $C$ }

\renewcommand{\leitzeilevier}{ $D$ }

\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }

\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }

\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }

\renewcommand{\leitzeileacht}{ }

\renewcommand{\leitzeileneun}{ }

\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }

\renewcommand{\leitzeileelf}{ }

\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }


\renewcommand{\leitspaltenull}{ }

\renewcommand{\leitspalteeins}{ $A$ }

\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $B$ }

\renewcommand{\leitspaltedrei}{ $C$ }

\renewcommand{\leitspaltevier}{ $D$ }

\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }

\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }

\renewcommand{\leitspalteacht}{ }

\renewcommand{\leitspalteneun}{ }

\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }

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\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }



\renewcommand{\aeinsxeins}{ \, }

\renewcommand{\aeinsxzwei}{ \, }

\renewcommand{\aeinsxdrei}{ \, }

\renewcommand{\aeinsxvier}{ \, }

\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }

\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }

\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }

\renewcommand{\aeinsxacht}{ }

\renewcommand{\aeinsxneun}{ }

\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }

\renewcommand{\aeinsxelf}{ }

\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azweixeins}{ \, }

\renewcommand{\azweixzwei}{ \times }

\renewcommand{\azweixdrei}{ \, }

\renewcommand{\azweixvier}{ \times }

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\renewcommand{\azweixsechs}{ }

\renewcommand{\azweixsieben}{ }

\renewcommand{\azweixacht}{ }

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\renewcommand{\azweixzehn}{ }

\renewcommand{\azweixelf}{ }

\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreixeins}{ \, }

\renewcommand{\adreixzwei}{ \, }

\renewcommand{\adreixdrei}{ \times }

\renewcommand{\adreixvier}{ \, }

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\renewcommand{\adreixsechs}{ }

\renewcommand{\adreixsieben}{ }

\renewcommand{\adreixacht}{ }

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\renewcommand{\adreixzehn}{ }

\renewcommand{\adreixelf}{ }

\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierxeins}{ \, }

\renewcommand{\avierxzwei}{ \times }

\renewcommand{\avierxdrei}{ \, }

\renewcommand{\avierxvier}{ \times }

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\renewcommand{\avierxsechs}{ }

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\renewcommand{\avierxelf}{ }

\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfxneun}{ }

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\renewcommand{\afuenfxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }


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\renewcommand{\asechsxzwei}{ }

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\renewcommand{\asechsxsechs}{ }

\renewcommand{\asechsxsieben}{ }

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\renewcommand{\asechsxelf}{ }

\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }


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\renewcommand{\asiebenxelf}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aachtxeins}{ }

\renewcommand{\aachtxzwei}{ }

\renewcommand{\aachtxdrei}{ }

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\renewcommand{\aachtxacht}{ }

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\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }


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\renewcommand{\azehnxelf}{ }

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\renewcommand{\aelfxzehn}{ }

\renewcommand{\aelfxelf}{ }

\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }



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\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }

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\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }

\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }

\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }

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\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }

\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }

\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }

\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }

\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }



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\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }

\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }

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\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }

\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }

\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }


\tabelleleitvierxvier

beschriebene \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf der Menge
\mathl{\{A,B,C,D\}}{} \definitionsverweis {reflexiv}{}{,} \definitionsverweis {symmetrisch}{}{,} \definitionsverweis {transitiv}{}{,} \definitionsverweis {antisymmetrisch}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{

Es sei \maabb {p} {\Z} { \Z/(2) } {} und \maabb {q} {\Z} { \Z/(5) } {} die kanonischen Abbildungen in die \definitionsverweis {Restklassenringe}{}{} \mathkor {} {\Z/(2)} {bzw.} {\Z/(5)} {.} Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\Z } { \Z/(2) \times \Z/(5) } {x} { (p(x),q(x)) } {.} \aufzaehlungdrei{Berechne
\mathl{\varphi(113)}{.} }{Finde ein Urbild von
\mathl{(\overline{1}, \overline{0})}{} und eines von
\mathl{(\overline{0}, \overline{1})}{.} }{Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{10} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{6}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {Folgen}{}{} in $K$. Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen diesen Grenzwert $a$ konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge in einem \definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{} $K$. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n} - x_{n-1} } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $n \in \N_+$. Folgt daraus, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{10 (1+1+5+2+1)}
{

Es sei $M$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge $0,1$ oder $2$ besitzt \zusatzklammer {Periodenlänge $0$ bedeutet \definitionsverweis {Dezimalbruch}{}{}} {} {.} \aufzaehlungfuenf{Gehört
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 11 } }}{} zu $M$? }{Gehört
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 37 } }}{} zu $M$? }{Wie sieht man einem gekürzten Bruch
\mathl{a/b}{} an, ob er zu $M$ gehört oder nicht? }{Ist $M$ mit der Addition eine Untergruppe von $\R$? }{Ist $M$ mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von $\R$? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen \zusatzklammer {
\mathl{n \in \N_+}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_n }
{ =} {[a_n,b_n] }
{ \subseteq} {\R }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} derart an, dass
\mathl{b_n-a_n}{} eine Nullfolge ist, dass
\mathl{\bigcap_{n\in \N_+} I_n}{} aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} vorliegt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Löse die quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 3 x^2+ x+4 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über $\Z/(7)$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^3-4x +2 } {.} Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[1,2]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{1}
{

Skizziere den Graphen der Kosinusfunktion.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Eine faire Münze werde achtmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei \zusatzklammer {zumindest} {} {} sechsmal hintereinander Kopf geworfen wird?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Es seien
\mathl{p_1 , \ldots , p_k}{} verschiedene \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} und $n$ ihr Produkt. Wir betrachten den \definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{{ \{ 1 , \ldots , n \} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {Laplace-Dichte}{}{.} Es sei $E_i$ das Ereignis, das eine Zahl aus $M$ ein Vielfaches von $p_i$ ist. Zeige, dass die $E_i$ \definitionsverweis {vollständig unabhängig}{}{} sind.

}
{} {}