Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/26/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	4	0	2	0	0	1	0	3	0	0	0	0	4	20

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. /Definition/Begriff
2. /Definition/Begriff
3. /Definition/Begriff
4. /Definition/Begriff
5. /Definition/Begriff
6. /Definition/Begriff

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

1. Wir betrachten das lineare Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$, das aus den beiden Gleichungen

   ${}{\frac {3}{7}}x+{\frac {4}{9}}y-{\frac {3}{15}}z={\frac {1}{35}}\,$

   und

   ${}-{\frac {5}{3}}x+{\frac {1}{4}}y-{\frac {6}{7}}z={\frac {11}{10}}\,$

   besteht. Bestimme ein lineares Gleichungssystem, das zu diesem System äquivalent ist und zusätzlich die Eigenschaft besitzt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

2. Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix von

${\begin{pmatrix}3{\frac {1}{4}}&0&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&0&0\\0&0&2{\frac {2}{7}}&0\\0&0&0&{\frac {3}{11}}\end{pmatrix}},$

die Angaben sind dabei als gemischte Brüche zu verstehen und das Ergebnis soll ebenso angegeben werden.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Welche Dezimalbruchfolgen der Form ${}0,z_{-1}z_{-2}z_{-3}\ldots$ mit ${}z_{i}\in \{0,\ldots ,9\}$ sind Nullfolgen in ${}\mathbb {R}$? Welche in ${}\mathbb {Q}$?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es seien ${}a,b$ positive reelle Zahlen und ${}m,n\in \mathbb {N}$. Zeige mit geeigneten Potenzgesetzen die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{mn}]{b}}\,.$

2. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{ab}}={\sqrt[{m}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}\,.$

3. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{b^{-1}}}={\left({\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{-1}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (4 Punkte)

„Nähe zwischen Zahlen“- Wie kann man das mathematisch präzisieren?