Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/30/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	2	0	2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	10

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung erstellen

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung erstellen

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

Lösung

Es seien

{}c_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,

mit ${}a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z}$ , ${}b_{i}\neq 0$ , sämtliche Koeffizienten (einschließlich der inhomogenen Seite), die in mindestens einer Gleichung des linearen Gleichungssystems vorkommen. Dies sind nur endlich viele Zahlen. Es sei ${}b$ ein gemeinsames Vielfaches all dieser Nenner ${}b_{i}$ . Wir multiplizieren alle Gleichungen des Systems mit ${}b$ . Dadurch entsteht ein äquivalentes Gleichungssystem, wobei alle Koeffizienten ganzzahlig werden.

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (2 Punkte)

Zeige mit Hilfe der Potenzgesetze und der irrationalen Zahl ${}{\sqrt {2}}$ , dass es irrationale positive Zahlen ${}x,y$ gibt mit der Eigenschaft, dass ${}x^{y}$ rational ist.

Lösung

Wir betrachten zuerst ${}{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ . Falls diese Zahl rational ist, so sind wir fertig. Andernfalls ist ${}{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ irrational. In diesem Fall ist nach den Potenzgesetzen