Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/5/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	3	2	4	3	3	4	3	4	2	3	7	4	3	6	63

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}m$ bzw. ${}n$ Elementen und sei

$f\colon M\longrightarrow N$

eine surjektive Abbildung. Wie viele Abbildungen

$s\colon N\longrightarrow M$

mit

${}f\circ s=\operatorname {Id} _{N}\,$

gibt es?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

${\left({\frac {2}{5}}-{\frac {3}{7}}{\sqrt {3}}\right)}\cdot {\left({\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\right)}.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Rekursionsvorschrift

${}x'=2^{-1}\cdot {\left(x+{\frac {c}{x}}\right)}\,$

des Heron-Verfahrens in ${}\mathbb {Z} /(7)$ für  ${}c=3$.  Zeige, dass für sämtliche Startglieder die entstehende Folge ab einer bestimmten Stelle nicht mehr definiert ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ sei durch einen Anfangswert  ${}x_{0}\in K_{+}$  und durch die Rekursionsvorschrift

${}x_{n+1}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Summenfolge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Aufgabe . ändern

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ ein Ring mit  ${}0\neq 1$  und

$\varphi \colon K\longrightarrow R$

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$1{,}{\overline {4211}}$

gegeben ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt ${}c$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für das Polynom

${}P=7X^{11}-3X^{8}+{\frac {3}{2}}X^{6}-X+5\,$

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu ${}X^{5}$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man finde ein reelles Polynom ${}f$ vom Grad ${}\leq 2$, für welches

$f(1)=10,\,f(-2)=1,\,f(3)=16$

gilt.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt  ${}x\in \mathbb {R}$. 

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

$2^{\frac {9}{10}}$

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Standardparabel.

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Lucy Sonnenschein und ihre kleine Schwester Veronika befinden sich auf der Zahlengeraden im Punkt ${}0$. Beide führen unabhängig voneinander fünf Sprünge aus, wobei die Sprünge von Lucy mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei Einheiten nach rechts oder nach links und die Sprünge von Veronika mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine Einheit nach links oder nach rechts gehen.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy sich zum Schluss in der Position ${}6$ befindet?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Veronika sich zum Schluss in einer Position befindet, die vom Nullpunkt den Abstand ${}5$ besitzt?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy und Veronika sich zum Schluss in der gleichen Position befinden?