Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T1/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 3 4 3 1 3 2 2 3 5 3 5 4 4 3 1 3 3 3 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Basis im .
  2. Eine lineare Abbildung , wobei einen Körper bezeichnet.
  3. Elementare Zeilenumformungen an einer -Matrix über einem Körper .
  4. Eine invertierbare -Matrix über einem Körper .
  5. Eine Relation auf einer Menge .
  6. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in Variablen über einem Körper .
  2. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
  3. Der Satz über die Äquivalenzrelation zu einer Abbildung .


Aufgabe * (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

nur die triviale Lösung besitzt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

und

über .


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die drei Ebenen im , die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

Bestimme sämtliche Punkte .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine -Matrix und eine -Matrix und es seien

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ein Körper und sei eine lineare Abbildung. Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Es ist .
  2. Für jede Linearkombination in gilt


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe (1 Punkt)

Gartentoreverbindung.png

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig (durch Auflistung aller zugehörigen Paare) die Relation auf der Potenzmenge , die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf ist:


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem , die durch

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Seien und Mengen und sei eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

wenn

eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.