Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T2/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 4 2 3 1 7 3 3 2 2 4 3 3 3 3 4 3 4 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  2. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  3. Ein Ringhomomorphismus

    zwischen Ringen und .

  4. Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
  5. Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .
  6. Die Eulersche Zahl.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe in einer kommutativen Gruppe .
  2. Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper .
  3. Der Satz über die Intervallschachtelung.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei

eine surjektive Abbildung. Wie viele Abbildungen

mit

gibt es?


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die auf durch

festgelegte Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung , welche nicht?


Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring .


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu in .


Aufgabe * (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper .


Aufgabe * (2 Punkte)

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und seien rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung

gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Element in einem angeordneten Körper und sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Sei , , und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Zeige

für alle .


Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper, es sei eine Nullfolge in und eine beschränkte Folge in . Zeige, dass dann auch die Produktfolge eine Nullfolge ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

gegeben ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Erläutere, wie man Lücken auf der Zahlengeraden erkennen und auffüllen kann.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.