Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T3/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Punkte 3 3 5 1 2 2 3 4 3 3 2 3 5 3 4 3 3 2 2 3 3 2 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Basis im .
  2. Eine lineare Abbildung , wobei einen Körper bezeichnet.
  3. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  4. Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  5. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  6. Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .


Lösung

  1. Die Vektoren im heißen eine Basis des , wenn man jeden Vektor eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann.
  2. Die Abbildung heißt linear, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
    1. für alle .
    2. für alle und .
  3. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).
    1. .
    2. Aus folgt .
    3. Aus und folgt .
  4. Eine Teilmenge heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element aus aus dieser Klasse gibt.
  5. Man nennt

    die Quotientenmenge von .

  6. Eine Folge in heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
  2. Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe in einer kommutativen Gruppe .
  3. Der Satz über die Intervallschachtelung.


Lösung

  1. Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems

    über einem Körper ist ein Untervektorraum des

    (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
  2. Es sei eine kommutative Gruppe, eine Untergruppe und die Quotientenmenge zur durch definierten Äquivalenzrelation auf mit der kanonischen Projektion
    Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf derart, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.
  3. Es sei , , eine Intervallschachtelung in . Dann besteht der Durchschnitt
    aus genau einem Punkt .


Aufgabe (5 (3+1+1) Punkte)

In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür €. Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür €. Veronika kauft drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen und zahlt dafür einen Euro.

  1. Kann man daraus die Preise rekonstruieren?
  2. Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise volle positive Centbeträge sind?
  3. Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise positive Vielfache von Zehn-Cent-Beträgen sind?


Lösung

  1. Es sei der Preis für den Schokoriegel, der Preis für die Packung Brausepulver, der Preis für eine saure Zunge. Die drei Einkäufe führen zu den drei Gleichungen

    Die Gleichung ergibt

    Dies stimmt mit der dritten Gleichung überein, daher ist das Gleichungssystem äquivalent zum System

    mit zwei Gleichungen. Dabei führt jede Vorgabe von zu einer Lösung und die Preise sind nicht ermittelbar.

  2. Es gibt die Lösungen (in Cent) und , die Lösungen sind also auch unter der zusätzlichen Bedingung nicht eindeutig.
  3. Bei haben wir die Lösung . Bei ist

    also kein Vielfaches der . Bei ist

    und die zweite Gleichung kann nicht unter der gegebenen Nebenbedingung erfüllt werden. Es gibt also nur eine Lösung.


Aufgabe (1 Punkt)

Inwiefern hat das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit dem Induktionsprinzip zu tun?


Lösung Eliminationsverfahren/Induktionsprinzip/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

  1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
  2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
  3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
  4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.


Lösung

  1. 4Geraden3Schnittpunkte.png








  2. 4GeradenKeinSchnittpunkt.png








  3. 4Geraden1Schnittpunkt.png








  4. 4Geraden6Schnittpunkte.png









Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix von

die Angaben sind dabei als gemischte Brüche zu verstehen und das Ergebnis soll ebenso angegeben werden.


Lösung

Die inverse Matrix ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine -Matrix und eine -Matrix und es seien

die zugehörigen linearen Abbildungen. Zeige, dass das Matrixprodukt die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.


Lösung

Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der Standardbasis des nachweisen. Es ist

Dabei sind die Koeffizienten

gerade die Einträge in der Produktmatrix .


Aufgabe (4 (0.5+0.5+1+1+1) Punkte)

Arctic food web.svg

Wir betrachten die Relation im nebenstehenden Diagramm, wobei eine Pfeil bedeutet, dass von gefressen wird.

  1. Was frisst ein Polarbear?
  2. Von wem wird ein Capelin gefressen?
  3. Welche Tiere stehen an der Spitze der Nahrungskette?
  4. Ist die Relation transitiv?
  5. Ist die Relation antisymmetrisch?


Lösung

  1. Ein Polarbear frisst Arctic cod, Ringed seal und Harbour seal.
  2. Capelin wird von Harbour seal und Harp seal gefressen.
  3. Polar bear, Killer whale und Arctic birds stehen an der Spitze der Nahrungskette, da von ihnen kein Pfeil ausgeht.
  4. Die Relation ist nicht transitiv, da beispielsweise ein Pfeil von Arctic cod nach Ringed seal und ein Pfeil von Ringed seal nach Killer whale geht, aber kein direkter Pfeil von Arctic cod nach Killer whale.
  5. Die Relation ist antisymmetrisch, da die Voraussetzung, dass zwei Objekte durch Pfeil und gegenläufigen Pfeil verbunden sind, überhaupt nicht vorkommt, und damit die in der Antisymmetrie geforderte Implikation automatisch erfüllt ist, da der Vordersatz stets falsch ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig (durch Auflistung aller zugehörigen Paare) die Relation auf der Potenzmenge , die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.


Lösung

Die Potenzmenge besteht aus den Elementen

Eine vollständige Auflistung aller Teilmengenbeziehungen ist


Aufgabe (3 Punkte)

Seien und Mengen und sei eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

wenn

eine Äquivalenzrelation auf definiert wird.


Lösung

Da der Funktionswert eindeutig bestimmt und die Gleichheit reflexiv ist, gilt offenbar . Wenn ist, so bedeutet das und wegen der Symmetrie der Gleichheit folgt , was wiederum bedeutet. Wenn und ist, so bedeutet dies einerseits und andererseits . Wegen der Transitivität der Gleichheit folgt , was bedeutet.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die auf durch

festgelegte Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Lösung

Die Reflexivität und die Symmetrie ergeben sich unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis der Transitivität seien und . Dies bedeutet bzw. . Somit ist

Wegen ergibt die Kürzungsregel in die Gleichheit

also .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu in .


Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

Somit ist

Daher ist

das inverse Element zu in .


Aufgabe (5 Punkte)

Vergleiche


Lösung

Wir fragen uns, ob

ist. Dies ist, da das Quadrieren von positiven Zahlen eine Äquivalenzumformung für die Größenbeziehung ist, äquivalent zu

Dies ist durch Subtraktion mit äquivalent zu

Durch Quadrieren ist dies äquivalent zu

Dies ist äquivalent zu

Quadrieren liefert

was stimmt. Also ist


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.


Lösung

 Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte , , gibt. Dann ist . Wir betrachten . Wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit

und wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit

Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für . Sei mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Für kann man die Folge (durch Erweiterung mit ) als

schreiben. Folgen vom Typ und sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen und der Nenner gegen , so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen konvergiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die Nachkommastelle in der (kanonischen) Dezimalentwicklung eine ist. Welche Eigenschaften eines Ideals erfüllt diese Menge, welche nicht?


Lösung

  1. Die gehört dazu, da die Dezimalentwicklung der an jeder Stelle eine besitzt.
  2. Die Additivitätseigenschaft ist nicht erfüllt, wir betrachten den Dezimalbruch mit siebzehn Nachkommanullen, die achtzehnte Nachkommaziffer ist eine . Diese Zahl gehört zu , wenn man sie aber mit sich selbst addiert, so erhält man an der siebzehnten Nachkommastelle eine , so dass die Summe aus zwei Elementen aus nicht zu gehören muss.
  3. Die Zahl aus Teil (2) gehört zu , aber gehört nicht zu . Das bedeutet, dass nicht unter der Multiplikation mit beliebigen reellen Zahlen abgeschlossen ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Setze in das Polynom die Zahl ein.


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Lösung

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

führt auf

und führt auf

also

und somit

Das gesuchte Polynom ist also


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist


Lösung

Unter der Bedingung

ist


Aufgabe (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?


Lösung

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

Es ist und und . Da als Polynomfunktion stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein mit .