Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 24

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Ordne die folgenden rationalen Zahlen gemäß ihrer Größe.




Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen und größer ist:


Aufgabe

Man gebe fünf rationale Zahlen an, die (echt) zwischen und liegen.


Aufgabe

Warum braucht man in der Definition 24.1 die Bedingung, dass beide Nenner positiv sind?


Das folgende Konzept reicht historisch weiter zurück als das der rationalen Zahlen.


Zwei Strecken und heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von sind.


Aufgabe

Zeige, dass zwei Strecken und genau dann kommensurabel sind, wenn es eine Strecke mit der Eigenschaft gibt, dass von beiden Strecken ein ganzzahliges Vielfaches ist.


Aufgabe

Es sei ein rationale Zahl auf dem Zahlenstrahl. Zeige, dass zu einem weiteren Punkt genau dann kommensurabel ist, wenn ebenfalls rational ist.


Aufgabe *

Unterteile die Strecke von nach rechnerisch in drei gleichlange Strecken.


Aufgabe *

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?


Aufgabe *

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Aufgabe *

Zwei Fahrradfahrer, und , fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer macht pro Minute Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern. Fahrer braucht für eine Pedaldrehung Sekunden, hat eine Übersetzung von zu und Reifen mit einem Radius von Zentimetern.

Wer fährt schneller?


Im Stern-Brocot-Baum ergeben sich die gekürzten positiven Brüche, indem man zwei je in der -Richtung benachbarte Brüche „falsch“ addiert, nämlich rechnet, und in die nächste Zeile dazwischen platziert. An der Links-Rechtsausrichtung kann man die Größenverhältnisse ablesen.

Aufgabe

Gabi Hochster hat die Addition und die Multiplikation der rationalen Zahlen verstanden und möchte jetzt die Operation verstehen, bei der man

setzt. Sie beschränkt sich auf positive . Überprüfe ihre Behauptungen:

  1. Bei

    gilt

    Dies kann man algebraisch und geometrisch beweisen.

  2. Die Verknüpfung ist für rationale Zahlen nicht wohldefiniert.
  3. Wenn man für rationale Zahlen stets ihre teilerfremde Darstellung nimmt, so ist die Verknüpfung wohldefiniert.
  4. Die Verknüpfung ist kommutativ.
  5. Die Verknüpfung ist nicht assoziativ.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element positiv ist.

Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.

Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass auch das inverse Element negativ ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für das inverse Element gilt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass für die inversen Elemente gilt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und seien positive Elemente. Zeige, dass zu äquivalent ist.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und , . Zeige, dass es dann Elemente mit gibt.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass die in Aufgabe 23.31 eingeführte Abbildung

injektiv ist.


Aufgabe

Zeige die Abschätzung

für .


Aufgabe *

Bestimme die ganzzahligen Lösungen der Ungleichung


Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

in einem angeordneten Körper (dabei seien beliebige Elemente in ).

  1. .
  2. genau dann, wenn ist.
  3. genau dann, wenn oder ist.
  4. .
  5. .
  6. Für ist .
  7. Es ist (Dreiecksungleichung für den Betrag).


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für die Identität

gilt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Man untersuche die Verknüpfung

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass für jedes die Ungleichung erfüllt ist. Für welche gilt Gleichheit?


Aufgabe

Zeige die Abschätzung

für .


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und mit . Zeige, dass für alle die Abschätzung

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Größergleichrelation auf den rationalen Zahlen eine totale Ordnung ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige die Abschätzung


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper. Betrachte die in Aufgabe 23.31 konstruierte Zuordnung .

a) Zeige, dass diese Zuordnung injektiv ist.

b) Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer Zuordnung fortsetzen kann, und zwar derart, dass die Verknüpfungen in mit den Verknüpfungen in übereinstimmen und die Ordnung auf mit der Ordnung auf übereinstimmt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und seien Elemente. Zeige, dass dann

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Ergänze den Stern-Brocot-Baum um eine weitere Zeile.






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