Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 54

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.




Übungsaufgaben

Aufgabe *

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.


Aufgabe

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises , wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.


Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte und verläuft.


Aufgabe *

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen und .


Aufgabe

Beschreibe die obere Hälfte des Einheitskreises und die untere Hälfte des Einheitskreises als den Graphen einer Funktion.


Aufgabe *

Es sei

die Standardparabel und der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .

  1. Skizziere und .
  2. Erstelle eine Gleichung für .
  3. Bestimme die Schnittpunkte
  4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von nach .
  5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.


Aufgabe

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

für die Körper , , und .


Aufgabe

Skizziere die trigonometrischen Dreiecke zu den Winkeln

  1. ,
  2. ,
  3. .


Aufgabe

Begründe die Abschätzung

für .


Aufgabe *

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)

b)

c)


Aufgabe

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.


===[[Spiegel/Minimale Höhe/Aufgabe |Aufgabe]] ===

Wie hoch muss ein Spiegel mindestens sein, damit man sich in ihm vollständig sehen kann (ohne sich zu verrenken)?


Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe

Zeige, dass die Folge

nicht konvergiert.


Aufgabe *

Zu einem Startwert sei eine Folge rekursiv durch

definiert. Entscheide, ob konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Mit einem Ausdruck der Form meint man .

Aufgabe *

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe *

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu (man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte).





Aufgabe

Skizziere die Funktion


Aufgabe

Zeige, dass die durch

definierte Funktion

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?


Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch im Sinne der folgenden Definition.


Eine Funktion

heißt periodisch mit Periode , wenn für alle die Gleichheit
gilt.


Aufgabe

Es sei

eine periodische Funktion und

eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung nicht periodisch sein muss.


Aufgabe

Es seien

periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.


Die nächsten Aufgaben verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.


Eine Funktion

heißt gerade, wenn für alle die Gleichheit

gilt.

Eine Funktion

heißt ungerade, wenn für alle die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Es sei eine Funktion. Woran erkennt man am Graphen von , ob eine gerade Funktion ist?


Aufgabe

Es sei eine Funktion. Woran erkennt man am Graphen von , ob eine ungerade Funktion ist?


Aufgabe

Zeige, dass der Betrag

eine gerade Funktion ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Funktion

eine ungerade Funktion ist.


Aufgabe

Es sei ein Polynom. Zeige, dass genau dann eine gerade Funktion definiert, wenn für alle ungeraden Indizes ist.


Aufgabe

Es sei ein Polynom. Zeige, dass genau dann eine ungerade Funktion definiert, wenn für alle geraden Indizes ist.


Aufgabe

Erstelle die Drehmatrizen zu den Winkeln


Aufgabe

Es sei

die Menge aller Drehmatrizen mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung.

  1. Zeige, dass eine Gruppe ist.
  2. Zeige, dass die Abbildung

    ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.

  3. Zeige, dass der Kern der Abbildung ist.
  4. Zeige die Gruppenisomorphie


Aufgabe

Beweise die Formel

aus den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen.


Aufgabe

Berechne

Was fällt dabei auf und wie kann man es erklären?


Aufgabe *

Es sei

  1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von .
  2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ?


Aufgabe

Bestimme die „Ableitung“ der Sinusreihe unter der (in diesem Fall richtigen) Annahme, dass man bei einer unendlichen Summe von Funktionen gliedweise ableiten darf.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises , wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen und .


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass man jede stetige Funktion

als

mit einer stetigen geraden Funktion und einer stetigen ungeraden Funktion schreiben kann.



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