Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Liste der Hauptsätze

???: Lösungsraum bei einer linearen Gleichung

Es sei ${}K$ ein Körper und

${}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$

eine lineare Gleichung über ${}K$ in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$. Es sei ${}a_{1}\neq 0$.

Dann steht die Lösungsmenge ${}L$ der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum ${}K^{n-1}$, und zwar über die Abbildungen

$L\longrightarrow K^{n-1},\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$

und

$K^{n-1}\longrightarrow L,\,\left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left({\frac {1}{a_{1}}}{\left(c-a_{2}x_{2}-\cdots -a_{n}x_{n}\right)},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right).$

 

???: Eliminationslemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}S$ ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über ${}K$ in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$. Es sei ${}x$ eine Variable, die in mindestens einer Gleichung ${}G$ mit einem von ${}0$ verschiedenen Koeffizienten ${}a$ vorkommt.

Dann lässt sich jede von ${}G$ verschiedene Gleichung ${}H$ durch eine Gleichung ${}H'$ ersetzen, in der ${}x$ nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem ${}S'$, das aus ${}G$ und den Gleichungen ${}H'$ besteht, äquivalent zum Ausgangssystem ${}S$ ist.

 

???: Elimination auf Dreiecksgestalt

Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper ${}K$

lässt sich durch die in Lemma 32.3 beschriebenen elementaren Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform

${\begin{matrix}b_{1s_{1}}x_{s_{1}}&+b_{1s_{1}+1}x_{s_{1}+1}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+b_{1n}x_{n}&=&d_{1}\\0&\ldots &0&b_{2s_{2}}x_{s_{2}}&\ldots &\ldots &\ldots &+b_{2n}x_{n}&=&d_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &\ldots &\ldots &0&b_{m{s_{m}}}x_{s_{m}}&\ldots &+b_{mn}x_{n}&=&d_{m}\\(0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0&=&d_{m+1})\end{matrix}}$

überführen, bei dem alle Startkoeffizienten ${}b_{1s_{1}},b_{2s_{2}},\ldots ,b_{ms_{m}}$ von ${}0$ verschieden sind.

Dabei ist (bei ${}d_{m+1}=0$) die letzte Zeile überflüssig oder aber (bei ${}d_{m+1}\neq 0$) das System besitzt keine Lösung.

Durch Variablenumbenennungen erhält man ein äquivalentes System der Form

${\begin{matrix}c_{11}y_{1}&+c_{12}y_{2}&\ldots &+c_{1m}y_{m}&+c_{1m+1}y_{m+1}&\ldots &+c_{1n}y_{n}&=&d_{1}\\0&c_{22}y_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+c_{2n}y_{n}&=&d_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&c_{mm}y_{m}&+c_{mm+1}y_{m+1}&\ldots &+c_{mn}y_{n}&=&d_{m}\\(0&\ldots &\ldots &0&0&\ldots &0&=&d_{m+1})\end{matrix}}$

mit Diagonalelementen ${}c_{ii}\neq 0$.

 

???: Lösungsmenge zu linearem Gleichungssystem in Dreiecksgestalt

Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper ${}K$ in Dreiecksgestalt

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\ldots &+a_{1m}x_{m}&\ldots &+a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\0&a_{22}x_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &+a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&a_{mm}x_{m}&\ldots &+a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\\\end{matrix}}$

mit ${}m\leq n$ gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente ${}a_{ii}$ alle ungleich ${}0$ seien.

Dann stehen die Lösungen ${}(x_{1},\ldots ,x_{m},x_{m+1},\ldots ,x_{n})$ in Bijektion zu den Tupeln ${}(x_{m+1},\ldots ,x_{n})\in K^{n-m}$. D.h. die hinteren ${}n-m$ Einträge sind frei wählbar und legen eine eindeutige Lösung fest, und jede Lösung wird dabei erfasst.

 

???: Charakterisierungssatz für Erzeugendensysteme im ${}K^{n}$

Es seien ${}v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im ${}K^{m}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$.
2. Für jeden Standardvektor ${}e_{i}$ gibt es eine Darstellung als Linearkombination

   ${}e_{i}=\sum s_{j}v_{j}\,.$

3. Für jedes ${}w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\in K^{m}$ ist das lineare Gleichungssystem

   ${}s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\,$

   lösbar.

 

???: Charakterisierungssatz für Basen im ${}K^{m}$

Es seien ${}v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im ${}K^{m}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Die Vektoren bilden eine Basis des ${}K^{m}$.
2. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$, und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der ${}v_{j}$ ist die triviale Darstellung

   ${}0=0\cdot v_{1}+\cdots +0\cdot v_{n}\,.$

3. Für jedes ${}w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}=K^{m}$ besitzt das lineare Gleichungssystem

   ${}s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\,$

   eine eindeutige Lösung.

 

???: Lösungsmenge zu homogenem linearen Gleichungssystem

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$.

Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

 

???: Lösungsmenge zu inhomogenem linearen Gleichungssystem

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$.

Dann ist die Menge ${}S$ aller Lösungen des Gleichungssystems ein (affiner) Unterraum des ${}K^{n}$. Dabei kann man jede Lösung ${}P\in S$ als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.

 

???: Punktrichtungsform für lineare Gleichung in zwei Variablen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}ax+by=c\,$

eine lineare Gleichung in zwei Variablen über ${}K$ mit ${}(a,b)\neq 0$.

Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade in ${}K^{2}$. Als Richtungsvektor kann man den Vektor ${}{\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}}$ nehmen.

 

???: Punktrichtungsform für lineare Gleichung in drei Variablen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}ax+by+cz=d\,$

eine lineare Gleichung in drei Variablen über ${}K$ mit ${}(a,b,c)\neq 0$.

Dann ist die Lösungsmenge eine Ebene im ${}K^{3}$. Wenn ${}a\neq 0$ ist, so kann man als Richtungsvektoren die beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}b\\-a\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}c\\0\\-a\end{pmatrix}}$ nehmen.