Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Liste der Hauptsätze

???: Lösungsraum bei einer linearen Gleichung

Es sei ${}K$ ein Körper und

{}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,

eine lineare Gleichung über ${}K$ in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ . Es sei ${}a_{1}\neq 0$ .

Dann steht die Lösungsmenge ${}L$ der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum ${}K^{n-1}$ , und zwar über die Abbildungen

$L\longrightarrow K^{n-1},\,\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right),$

und

$K^{n-1}\longrightarrow L,\,\left(x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left({\frac {1}{a_{1}}}{\left(c-a_{2}x_{2}-\cdots -a_{n}x_{n}\right)},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right).$

???: Eliminationslemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}S$ ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über ${}K$ in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ . Es sei ${}x$ eine Variable, die in mindestens einer Gleichung ${}G$ mit einem von ${}0$ verschiedenen Koeffizienten ${}a$ vorkommt.

Dann lässt sich jede von ${}G$ verschiedene Gleichung ${}H$ durch eine Gleichung ${}H'$ ersetzen, in der ${}x$ nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem ${}S'$ , das aus ${}G$ und den Gleichungen ${}H'$ besteht, äquivalent zum Ausgangssystem ${}S$ ist.

???: Elimination auf Dreiecksgestalt

Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper ${}K$

lässt sich durch die in Lemma 32.3 beschriebenen elementaren Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform

${\begin{matrix}b_{1s_{1}}x_{s_{1}}&+b_{1s_{1}+1}x_{s_{1}+1}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+b_{1n}x_{n}&=&d_{1}\\0&\ldots &0&b_{2s_{2}}x_{s_{2}}&\ldots &\ldots &\ldots &+b_{2n}x_{n}&=&d_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &\ldots &\ldots &0&b_{m{s_{m}}}x_{s_{m}}&\ldots &+b_{mn}x_{n}&=&d_{m}\\(0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0&=&d_{m+1})\end{matrix}}$

überführen, bei dem alle Startkoeffizienten ${}b_{1s_{1}},b_{2s_{2}},\ldots ,b_{ms_{m}}$ von ${}0$ verschieden sind.

Dabei ist (bei ${}d_{m+1}=0$ ) die letzte Zeile überflüssig oder aber (bei ${}d_{m+1}\neq 0$ ) das System besitzt keine Lösung.

Durch Variablenumbenennungen erhält man ein äquivalentes System der Form

{\begin{matrix}c_{11}y_{1}&+c_{12}y_{2}&\ldots &+c_{1m}y_{m}&+c_{1m+1}y_{m+1}&\ldots &+c_{1n}y_{n}&=&d_{1}\\0&c_{22}y_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+c_{2n}y_{n}&=&d_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&c_{mm}y_{m}&+c_{mm+1}y_{m+1}&\ldots &+c_{mn}y_{n}&=&d_{m}\\(0&\ldots &\ldots &0&0&\ldots &0&=&d_{m+1})\end{matrix}}

mit Diagonalelementen ${}c_{ii}\neq 0$ .

???: Lösungsmenge zu linearem Gleichungssystem in Dreiecksgestalt

Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper ${}K$ in Dreiecksgestalt

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\ldots &+a_{1m}x_{m}&\ldots &+a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\0&a_{22}x_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &+a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&a_{mm}x_{m}&\ldots &+a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\\\end{matrix}}

mit ${}m\leq n$ gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente ${}a_{ii}$ alle ungleich ${}0$ seien.

Dann stehen die Lösungen ${}(x_{1},\ldots ,x_{m},x_{m+1},\ldots ,x_{n})$ in Bijektion zu den Tupeln ${}(x_{m+1},\ldots ,x_{n})\in K^{n-m}$ . D.h. die hinteren ${}n-m$ Einträge sind frei wählbar und legen eine eindeutige Lösung fest, und jede Lösung wird dabei erfasst.

???: Charakterisierungssatz für Erzeugendensysteme im

{}K^{n}

Es seien ${}v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im ${}K^{m}$ . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$ .

Für jeden Standardvektor ${}e_{i}$ gibt es eine Darstellung als Linearkombination
${}e_{i}=\sum s_{j}v_{j}\,.$

Für jedes ${}w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\in K^{m}$ ist das lineare Gleichungssystem
${}s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\,$

lösbar.

???: Charakterisierungssatz für Basen im

{}K^{m}

Es seien ${}v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im ${}K^{m}$ . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

Die Vektoren bilden eine Basis des ${}K^{m}$ .

Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$ , und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der ${}v_{j}$ ist die triviale Darstellung
${}0=0\cdot v_{1}+\cdots +0\cdot v_{n}\,.$

Für jedes ${}w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}=K^{m}$ besitzt das lineare Gleichungssystem
${}s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\,$

eine eindeutige Lösung.

???: Lösungsmenge zu homogenem linearen Gleichungssystem

Es sei ${}K$ ein Körper und

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$ .

Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

???: Lösungsmenge zu inhomogenem linearen Gleichungssystem

Es sei ${}K$ ein Körper und

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$ .

Dann ist die Menge ${}S$ aller Lösungen des Gleichungssystems ein (affiner) Unterraum des ${}K^{n}$ . Dabei kann man jede Lösung ${}P\in S$ als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.

???: Punktrichtungsform für lineare Gleichung in zwei Variablen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

{}ax+by=c\,

eine lineare Gleichung in zwei Variablen über ${}K$ mit ${}(a,b)\neq 0$ .

Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade in ${}K^{2}$ . Als Richtungsvektor kann man den Vektor ${}{\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}}$ nehmen.

???: Punktrichtungsform für lineare Gleichung in drei Variablen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

{}ax+by+cz=d\,

eine lineare Gleichung in drei Variablen über ${}K$ mit ${}(a,b,c)\neq 0$ .

Dann ist die Lösungsmenge eine Ebene im ${}K^{3}$ . Wenn ${}a\neq 0$ ist, so kann man als Richtungsvektoren die beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}b\\-a\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}c\\0\\-a\end{pmatrix}}$ nehmen.

???: Injektivitätskriterium

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.

???: Festlegungssatz für lineare Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n\in \mathbb {N}$ . Es seien ${}w_{i}$ , ${}i=1,\ldots ,n$ , Elemente in ${}K^{m}$ .

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

mit

$\varphi (e_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n,$

wobei ${}e_{i}$ den ${}i$ -ten Standardvektor bezeichnet.

???: Hintereinanderschaltung und Matrixprodukt

Es sei ${}B$ eine ${}n\times p$ - Matrix und ${}A$ eine ${}m\times n$ -Matrix und es seien

K^{p}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{m}

die zugehörigen linearen Abbildungen.

Dann beschreibt das Matrixprodukt ${}A\circ B$ die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen.

???: Bijektiv und invertierbar

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{n}$ eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix ${}M$ .

Dann ist ${}\varphi$ genau dann bijektiv, wenn ${}M$ invertierbar ist.

???: Zeilenumformungen und Elementarmatrizen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$ - Matrix mit Einträgen in ${}K$ . Dann hat die Multiplikation mit den ${}m\times m$ - Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung.

${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$ -ten und der ${}j$ -ten Zeile von ${}M$ .

${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$ -ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$ .

${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$ -fachen der ${}j$ -ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$ -ten Zeile ( $i\neq j$ ).

???: Äquivalenzrelation durch Abbildung

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung.

Dann wird durch die Festlegung

${}x\sim y\,,$

wenn

${}f(x)=f(y)\,,$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert.

???: Universelle Eigenschaft der Quotientenmenge

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ mit der Quotientenmenge ${}M/\sim$ . Es sei ${}\varphi \colon M\rightarrow W$ eine Abbildung mit ${}\varphi (x)=\varphi (y)$ für alle ${}x,y\in M$ mit ${}x\sim y$ .

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung ${}{\overline {\varphi }}\colon M/\sim \,\,\rightarrow W$ mit ${}\varphi ={\overline {\varphi }}\circ q$ .

???: Algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für

{}\mathbb {Z}

Das Äquivalenzklassenmodell von ${}\mathbb {Z}$ ist mit der Addition

{}[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]\,,

der Multiplikation

{}[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]\,,

dem Nullelement ${}[(0,0)]$ , dem Einselement ${}[(1,0)]$ und der durch

{}[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,

falls

{}a+d\geq b+c\,,

definierten Ordnung

ein angeordneter Ring.

???: Algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für

{}\mathbb {Q}

Das Äquivalenzklassenmodell von ${}\mathbb {Q}$ ist mit der Addition

{}[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+bc,bd)]\,,

der Multiplikation

{}[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac,bd)]\,,

dem Nullelement ${}[(0,1)]$ , dem Einselement ${}[(1,1)]$ und der durch

{}[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,

falls

{}ad\geq bc\,,

definierten Ordnung

ein angeordneter Körper.

???: Algebraische Struktur der Restklassengruppe

Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe und ${}G/H$ die Quotientenmenge zur durch ${}H$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}G$ mit der kanonischen Projektion

q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g].

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf ${}G/H$ derart, dass ${}q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

???: Algebraische Struktur der Restklassenringe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}R/{\mathfrak {a}}$ die Quotientenmenge zur durch ${}{\mathfrak {a}}$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}R$ mit der kanonischen Projektion

q\colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {a}},\,g\longmapsto [g].

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf ${}R/{\mathfrak {a}}$ derart, dass ${}q$ ein Ringhomomorphismus ist.

???: Restklassenkörper von

{}\mathbb {Z}

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ . Der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist genau dann ein Körper,

wenn ${}n$ eine Primzahl ist.

???: Wurzeln in angeordneten Körpern

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}a\in K_{\geq 0}$ . Ferner sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ .

Dann gibt es höchstens ein ${}x\in K_{\geq 0}$ mit

${}x^{n}=a\,.$

???: Wurzeln aus natürlichen Zahlen

Es sei ${}n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl ${}n$ . Es sei ${}k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ${}\alpha _{i}$ ein Vielfaches von ${}k$ sind. Dann gibt es keine rationale Zahl ${}q$ mit der Eigenschaft

{}n=q^{k}\,,

d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt ${}n$ keine ${}k$ -te Wurzel.

???: Eigenschaften der Heron-Folge

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}c\in K_{+}$ . Es sei ${}x_{0}$ ein positiver Startwert und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörige Heron-Folge. Dann gelten folgende Aussagen.

Für ${}n\geq 1$ ist
${}x_{n}^{2}\geq c\,$

und

${}{\left({\frac {c}{x_{n}}}\right)}^{2}\leq c\,.$

Die Heron-Folge ist ab dem ersten Glied fallend.

Es ist
${}[{\frac {c}{x_{n+1}}},x_{n+1}]\subseteq [{\frac {c}{x_{n}}},x_{n}]\,$

für ${}n\geq 1$ .

Für die Intervalllängen
${}\ell _{n}:=x_{n}-{\frac {c}{x_{n}}}\,$

gilt die Beziehung

${}\ell _{n+1}={\frac {1}{4x_{n+1}}}\ell _{n}^{2}\,$

und bei ${}c\geq 1$ gilt insbesondere

${}\ell _{n+1}\leq {\frac {1}{4}}\ell _{n}^{2}\,.$

???: Eindeutigkeit des Limes

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$ .

Dann besitzt ${}x_{n}$ maximal einen Grenzwert.

???: Konvergente Folge ist ...

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Wenn eine Folge in ${}K$ konvergent ist,

so ist sie auch beschränkt.

???: Rechenregeln für konvergente Folgen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Die Folge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt
${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

Die Folge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt
${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,.$

Für ${}c\in K$ gilt
${}\lim _{n\rightarrow \infty }cx_{n}=c{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\,.$

Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$

Es sei ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Dann ist ${}{\left({\frac {y_{n}}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit
${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {y_{n}}{x_{n}}}={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}}{x}}\,.$

???: Quetschkriterium

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$ . Es gelte

x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}

und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$ .

Dann konvergiert auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$ .

???: Dezimalbruchfolge und Cauchy-Folge

Eine Dezimalbruchfolge

{}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,

in einem

archimedisch angeordneten Körper ${}K$

ist eine Cauchy-Folge.

???: Wachsende nach oben beschränkte Folge ...

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine wachsende, nach oben beschränkte Folge.

Dann ist ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge.

???: Anordnung von Cauchy-Folgen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}K$ . Dann gibt es die drei folgenden Alternativen.

Die Folge ist eine Nullfolge.

Es gibt eine positive Zahl ${}\delta$ derart, dass ab einem gewissen ${}n_{0}$ die Abschätzung
${}x_{n}\geq \delta \,$

für alle ${}n\geq n_{0}$ gilt.

Es gibt eine positive Zahl ${}\delta$ derart, dass ab einem gewissen ${}n_{0}$ die Abschätzung
${}x_{n}\leq -\delta \,$

für alle ${}n\geq n_{0}$ gilt.

???: Inverse Folge zu Cauchy-Folge

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein ${}a>0$ und ein ${}n_{0}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

{}x_{n}\geq a\,

gilt.

Dann ist auch die durch (für ${}n$ hinreichend groß)

${}y_{n}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$

gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.

???: Eigenschaften des Cauchy-Folgen-Modells der reellen Zahlen

Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein vollständiger, archimedisch angeordneter Körper.

???: Isomorphiesatz für reelle Zahlen

Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen.

Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper ${}\mathbb {R} _{1}$ und ${}\mathbb {R} _{2}$ vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten bijektiven Ringhomomorphismus

\varphi \colon \mathbb {R} _{1}\longrightarrow \mathbb {R} _{2}.

???: Beschränkte monotone reelle Folge ...

Eine beschränkte und monotone Folge in ${}\mathbb {R}$

konvergiert.

???: Geometrische Reihe

Für alle reellen Zahlen ${}x$ mit ${}\vert {x}\vert <1$ konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ und es gilt

{}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}\,.

???: Rationale Zahlen und periodische Ziffernentwicklung

Eine reelle Zahl ist

genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.

???: Satz über die reelle Intervallschachtelung

Es sei ${}I_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , eine Intervallschachtelung in ${}\mathbb {R}$ .

Dann besteht der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$
aus genau einem Punkt

${}x\in \mathbb {R}$ .

Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.

???: Dedekindsche Schnitte in

{}\mathbb {R}

In den reellen Zahlen ist jeder Dedekindsche Schnitt ${}(A,B)$

ein Punktschnitt, d.h. es gibt ein ${}x\in \mathbb {R}$ mit

${}A={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q<x\right\}}\,.$

???: Existenz der Wurzeln

Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und jedem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$

gibt es eine eindeutige nichtnegative reelle Zahl ${}x$ mit

${}x^{k}=c\,.$

???: Intervallschachtelung für Eulersche Zahl

Die Intervalle ${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ , ${}n\geq 1$ , mit den Grenzen

$a_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}{\text{ und }}b_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n+1}$

definieren eine Intervallschachtelung.

???: Algebraische Struktur des Polynomringes

Der Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$

ist ein kommutativer Ring.

???: Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Es sei

{}aX^{2}+bX+c=0\,

eine reelle quadratische Gleichung.

Dann gilt folgendes Lösungsverhalten.

Bei
${}b^{2}-4ac<0\,$

gibt es keine reelle Lösung.

Bei
${}b^{2}-4ac=0\,$

gibt es die eine Lösung

${}x={\frac {-b}{2a}}\,$

Bei
${}b^{2}-4ac>0\,$

gibt es die beiden Lösungen

${}x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}-b}{2a}}\,.$

???: Satz von Vieta

Es sei eine quadratische Gleichung in der Form

{}x^{2}+px+q=0\,

gegeben und es seien ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ die Lösungen.

Dann gilt

${}x_{1}+x_{2}=-p\,$

und

${}x_{1}\cdot x_{2}=q\,.$

???: Division mit Rest (Polynomring)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es seien ${}P,T\in K[X]$ Polynome mit ${}T\neq 0$ .

Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

$P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

???: Linearer Faktor und Nullstelle eines Polynoms

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$ .

Dann ist ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ , wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

???: Anzahl von Nullstellen eines Polynoms

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom ( $\neq 0$ ) vom Grad ${}d$ .

Dann besitzt ${}P$ maximal ${}d$ Nullstellen.

???: Interpolationssatz für Polynome

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben.

Dann gibt es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P{\left(a_{i}\right)}=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

???: Folgenkriterium für Stetigkeit

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,

f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion und ${}x\in D$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$ .

Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}D$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$ .

???: Rechenregeln für stetige Funktionen

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ und seien

f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}

stetige Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen

$f+g\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)+g(x),$

$f-g\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)-g(x),$

$f\cdot g\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$

stetig. Für eine Teilmenge ${}U\subseteq D$ , auf der ${}g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

$f/g\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)/g(x),$

stetig.

???: Stetigkeit von Polynomen

Polynomfunktionen

P\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto P(x),

sind stetig.

???: Der Zwischenwertsatz

Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl zwischen ${}f(a)$ und ${}f(b)$ .

Dann gibt es ein ${}x\in [a,b]$ mit ${}f(x)=u$ .

???: Stetigkeit der Umkehrfunktion

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige, streng wachsende Funktion.

Dann ist das Bild

${}J:=f(I)\,$

ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung

$f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

ist ebenfalls stetig.

???: Wurzelfunktionen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Für ${}n$ ungerade ist

die Potenzfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{1/n},$

ist streng wachsend und stetig.

Für ${}n$ gerade ist die Potenzfunktion

\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{n},

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto x^{1/n},

ist streng wachsend und stetig.

???: Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},

folgende Eigenschaften.

Es ist ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$ .

Es ist ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$ .

Für ${}b>1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}>1$ .

Für ${}b<1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}<1$ .

Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.

Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.

Es ist ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$ .

Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$ .

???: Stetigkeit der reellen Exponentialfunktionen

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},

stetig.

???: Homomorphismuseigenschaft der reellen Exponentialfunktionen

Es sei ${}b\neq 1$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion

f\colon (\mathbb {R} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto b^{x},

ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.

???: Exponentialreihe

Für die Exponentialfunktion zur Basis ${}e$ gilt die Darstellung

${}e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}\,.$

???: Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen

Die Funktionen

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,

und

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,

besitzen für ${}x\in \mathbb {R}$ folgende Eigenschaften.

Es gilt
${}(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,$

für alle ${}x\in \mathbb {R}$ .

Es ist
${}-1\leq \cos x,\sin x\leq 1\,.$

Es ist ${}\cos \left(-x\right)=\cos x$ und ${}\sin \left(-x\right)=-\sin x$ .

???: Periodizitätseigenschaften von Sinus und Kosinus

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in ${}\mathbb {R}$ folgende Periodizitätseigenschaften.

Es ist ${}\cos \left(x+2\pi \right)=\cos x$ und ${}\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ .

Es ist ${}\cos \left(x+\pi \right)=-\cos x$ und ${}\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ .

Es ist ${}\cos \left(x+\pi /2\right)=-\sin x$ und ${}\sin \left(x+\pi /2\right)=\cos x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$ .

Es ist ${}\cos 0=1$ , ${}\cos \pi /2=0$ , ${}\cos \pi =-1$ , ${}\cos 3\pi /2=0$ und ${}\cos 2\pi =1$ .

Es ist ${}\sin 0=0$ , ${}\sin \pi /2=1$ , ${}\sin \pi =0$ , ${}\sin 3\pi /2=-1$ und ${}\sin 2\pi =0$ .

???: Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen

Die reelle Sinusfunktion

induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1],$

und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1].$

???: Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen

Für die trigonometrischen Funktionen

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,

und

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,

gelten die Additionstheoreme

${}\cos(x+y)=\cos x\cdot \cos y-\sin x\cdot \sin y\,$

und

${}\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y\,.$

???: Verteilung für das k-fache Eintreten

Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte ${}0$ und ${}1$ annehmen kann und bei dem der Wert ${}1$ die Wahrscheinlichkeit ${}p$ besitzt.

Dann ist die Verteilung auf ${}\{0,1,\ldots ,n\}$ , die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der ${}n$ -fachen (unabhängigen) Hintereinaderausführung des Experimentes ${}k$ -fach das Ereignis ${}1$ eintritt, durch die Binomialverteilung zur Stichprobenlänge ${}n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit ${}p$ gegeben.

???: Münzwurf und Binomialverteilung

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem ${}n$ -fachen Münzwurf genau ${}k$ -fach Kopf fällt,

beträgt

${}B_{{\frac {1}{2}},n}(k)={\frac {\binom {n}{k}}{2^{n}}}\,.$

???: Gesetz der großen Zahlen für den Münzwurf

Zu jedem ${}\alpha <{\frac {1}{2}}$

konvergiert die Folge

${\frac {1}{2^{n}}}{\left(\sum _{k=0}^{\lfloor \alpha n\rfloor }B_{{\frac {1}{2}},n}(k)\right)}$

gegen ${}0$ .

Das bedeutet, dass die relative Häufigkeit bei einem ${}n$ -fach wiederholten Bernoulli-Experiment zur Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{2}}$ bei ${}n$ hinreichend groß mit beliebig hoher Wahrscheinlichkeit im Intervall ${}[\alpha n,(1-\alpha )n]$ liegt.

???: Der Satz über die vollständige Unabhängigkeit im Produktraum.

Es seien ${}(M_{1},P_{1}),\ldots ,(M_{n},P_{n})$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume und

{}M=M_{1}\times \cdots \times M_{n}\,

der Produktraum. Es seien Ereignisse ${}E_{1}\subseteq M_{1}$ , ${}E_{2}\subseteq M_{2}$ ,..., ${}E_{n}\subseteq M_{n}$ gegeben und es seien ${}{\tilde {E_{i}}}$ die zugehörigen Zylindermengen im Produktraum, also