Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Liste der Hauptsätze
Es sei ein Körper und
eine lineare Gleichung über in den Variablen . Es sei .
Dann steht die Lösungsmenge der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum , und zwar über die Abbildungen
und
Es sei ein Körper und ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über in den Variablen . Es sei eine Variable, die in mindestens einer Gleichung mit einem von verschiedenen Koeffizienten vorkommt.
Dann lässt sich jede von verschiedene Gleichung durch eine Gleichung ersetzen, in der nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem , das aus und den Gleichungen besteht, äquivalent zum Ausgangssystem ist.
Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper
lässt sich durch die in Lemma 32.3 beschriebenen elementaren Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform
überführen, bei dem alle Startkoeffizienten von verschieden sind.
Dabei ist (bei ) die letzte Zeile überflüssig oder aber (bei ) das System besitzt keine Lösung.
Durch Variablenumbenennungen erhält man ein äquivalentes System der Form
mit Diagonalelementen .
Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper in Dreiecksgestalt
mit gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente alle ungleich seien.
Dann stehen die Lösungen in Bijektion zu den Tupeln . D.h. die hinteren Einträge sind frei wählbar und legen eine eindeutige Lösung fest, und jede Lösung wird dabei erfasst.
Es seien Vektoren im . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des .
- Für jeden Standardvektor gibt es eine Darstellung als
Linearkombination
- Für jedes
ist das lineare Gleichungssystem
lösbar.
Es seien Vektoren im . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- Die Vektoren bilden eine Basis des .
- Die Vektoren bilden ein
Erzeugendensystem
des , und die einzige Darstellung des Nullvektors als
Linearkombination
der ist die triviale Darstellung
- Für jedes
besitzt das lineare Gleichungssystem
eine eindeutige Lösung.
Es sei ein Körper und
ein homogenes lineares Gleichungssystem über .
Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
Es sei ein Körper und
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über .
Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein (affiner) Unterraum des . Dabei kann man jede Lösung als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.
Es sei ein Körper und sei
eine lineare Gleichung in zwei Variablen über mit .
Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade in . Als Richtungsvektor kann man den Vektor nehmen.
Es sei ein Körper und sei
eine lineare Gleichung in drei Variablen über mit .
Dann ist die Lösungsmenge eine Ebene im . Wenn ist, so kann man als Richtungsvektoren die beiden Vektoren und nehmen.