Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es sei ein
Körper
und
eine
lineare Gleichung
über in den Variablen
. Es sei
.
Dann steht die Lösungsmenge der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum
, und zwar über die Abbildungen
und
Es sei ein
Körper und
ein
(inhomogenes)
lineares Gleichungssystem über
in den Variablen
. Es sei
eine Variable, die in mindestens einer Gleichung
mit einem von
verschiedenen Koeffizienten
vorkommt.
Dann lässt sich jede von verschiedene
Gleichung
durch eine Gleichung
ersetzen, in der
nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem
, das aus
und den Gleichungen
besteht,
äquivalent
zum Ausgangssystem
ist.
Jedes
(inhomogene)
lineare Gleichungssystem über einem Körper
lässt sich durch die in Lemma 32.3 beschriebenen elementaren Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform
überführen, bei dem alle Startkoeffizienten von
verschieden sind.
Dabei ist
(bei
)
die letzte Zeile überflüssig oder aber
(bei
)
das System besitzt keine Lösung.
Durch Variablenumbenennungen erhält man ein äquivalentes System der Form
mit Diagonalelementen
.
Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper in Dreiecksgestalt
mit
gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente
alle ungleich
seien.
Dann stehen die Lösungen in Bijektion zu den Tupeln
.
D.h. die hinteren
Einträge sind frei wählbar und legen eine eindeutige Lösung fest, und jede Lösung wird dabei erfasst.
Es seien Vektoren im
. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- Die Vektoren bilden ein
Erzeugendensystem
des
.
- Für jeden Standardvektor
gibt es eine Darstellung als Linearkombination
-
- Für jedes
ist das lineare Gleichungssystem
lösbar.
-
Es seien Vektoren im
. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- Die Vektoren bilden eine
Basis
des
.
- Die Vektoren bilden ein
Erzeugendensystem
des
, und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der
ist die triviale Darstellung
-
- Für jedes
besitzt das lineare Gleichungssystem
eine eindeutige Lösung.
-
Es sei ein
Körper und
ein
homogenes lineares Gleichungssystem
über .
Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
Untervektorraum
des
(mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
Es sei ein
Körper und
ein
inhomogenes lineares Gleichungssystem
über .
Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
(affiner)
Unterraum
des
. Dabei kann man jede Lösung
als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.
Es sei ein
Körper
und sei
eine lineare Gleichung in zwei Variablen über mit
.
Dann ist die Lösungsmenge eine
Gerade
in . Als Richtungsvektor kann man den Vektor
nehmen.
Es sei ein
Körper
und sei
eine lineare Gleichung in drei Variablen über mit
.
Dann ist die Lösungsmenge eine
Ebene
im . Wenn
ist, so kann man als Richtungsvektoren die beiden Vektoren
und
nehmen.