Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Es sei ein
Körper
und
eine
lineare Gleichung
über in den Variablen
. Es sei
.
Dann steht die Lösungsmenge der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum
, und zwar über die Abbildungen
und
Es sei ein
Körper und
ein
(inhomogenes)
lineares Gleichungssystem über
in den Variablen
. Es sei
eine Variable, die in mindestens einer Gleichung
mit einem von
verschiedenen Koeffizienten
vorkommt.
Dann lässt sich jede von verschiedene
Gleichung
durch eine Gleichung
ersetzen, in der
nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem
, das aus
und den Gleichungen
besteht,
äquivalent
zum Ausgangssystem
ist.
Jedes
(inhomogene)
lineare Gleichungssystem über einem Körper
lässt sich durch die in Lemma 32.3 beschriebenen elementaren Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform
überführen, bei dem alle Startkoeffizienten von
verschieden sind.
Dabei ist
(bei
)
die letzte Zeile überflüssig oder aber
(bei
)
das System besitzt keine Lösung.
Durch Variablenumbenennungen erhält man ein äquivalentes System der Form
mit Diagonalelementen
.
Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper in Dreiecksgestalt
mit
gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente
alle ungleich
seien.
Dann stehen die Lösungen in Bijektion zu den Tupeln
.
D.h. die hinteren
Einträge sind frei wählbar und legen eine eindeutige Lösung fest, und jede Lösung wird dabei erfasst.
Es seien Vektoren im
. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- Die Vektoren bilden ein
Erzeugendensystem
des
.
- Für jeden Standardvektor
gibt es eine Darstellung als Linearkombination
-
- Für jedes
ist das lineare Gleichungssystem
lösbar.
-
Es seien Vektoren im
. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- Die Vektoren bilden eine
Basis
des
.
- Die Vektoren bilden ein
Erzeugendensystem
des
, und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der
ist die triviale Darstellung
-
- Für jedes
besitzt das lineare Gleichungssystem
eine eindeutige Lösung.
-
Es sei ein
Körper und
ein
homogenes lineares Gleichungssystem
über .
Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
Untervektorraum
des
(mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
Es sei ein
Körper und
ein
inhomogenes lineares Gleichungssystem
über .
Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
(affiner)
Unterraum
des
. Dabei kann man jede Lösung
als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.
Es sei ein
Körper
und sei
eine lineare Gleichung in zwei Variablen über mit
.
Dann ist die Lösungsmenge eine
Gerade
in . Als Richtungsvektor kann man den Vektor
nehmen.
Es sei ein
Körper
und sei
eine lineare Gleichung in drei Variablen über mit
.
Dann ist die Lösungsmenge eine
Ebene
im . Wenn
ist, so kann man als Richtungsvektoren die beiden Vektoren
und
nehmen.
Es sei ein
Körper
und sei
eine lineare Abbildung.
Dann ist genau dann
injektiv,
wenn
ist.
Es sei ein Körper und
.
Es seien
,
,
Elemente in
.
Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
mit
wobei den
-ten Standardvektor bezeichnet.
Es sei eine
-
Matrix
und
eine
-Matrix und es seien
die zugehörigen linearen Abbildungen.
Dann beschreibt das
Matrixprodukt
die
Hintereinanderschaltung
der beiden linearen Abbildungen.
Es sei ein
Körper
und sei
eine
lineare Abbildung
mit zugehöriger Matrix
.
Dann ist genau dann
bijektiv,
wenn
invertierbar
ist.
Es sei ein
Körper und
eine
-
Matrix
mit Einträgen in
. Dann hat die
Multiplikation
mit den
-
Elementarmatrizen von links mit
folgende Wirkung.
Vertauschen der
-ten und der
-ten Zeile von
.
Multiplikation der
-ten Zeile von
mit
.
Addition des
-fachen der
-ten Zeile von
zur
-ten Zeile (
).
Es seien
und
Mengen und sei
eine
Abbildung.
Dann wird durch die Festlegung
wenn
eine
Äquivalenzrelation
auf definiert.
Es sei eine Menge und
eine
Äquivalenzrelation
auf
mit der
Quotientenmenge
. Es sei
eine Abbildung mit
für alle
mit
.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung
mit
.
Das Äquivalenzklassenmodell von ist mit der Addition
der Multiplikation
dem Nullelement , dem Einselement
und der durch
falls
definierten Ordnung
ein angeordneter Ring.
Das Äquivalenzklassenmodell von ist mit der Addition
der Multiplikation
dem Nullelement , dem Einselement
und der durch
falls
definierten Ordnung
ein angeordneter Körper.
Es sei eine
kommutative Gruppe,
eine
Untergruppe
und
die
Quotientenmenge
zur durch
definierten
Äquivalenzrelation
auf
mit der
kanonischen Projektion
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf derart, dass
ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Es sei ein
kommutativer Ring,
ein
Ideal
und
die
Quotientenmenge
zur durch
definierten
Äquivalenzrelation
auf
mit der
kanonischen Projektion
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf derart, dass
ein
Ringhomomorphismus
ist.
Es sei
.
Der
Restklassenring
ist genau dann ein
Körper,
wenn eine
Primzahl
ist.
Es sei ein
angeordneter Körper
und es sei
.
Ferner sei
.
Dann gibt es höchstens ein
mit
Es sei
die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl
. Es sei
eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten
ein Vielfaches von
sind.
Dann gibt es keine rationale Zahl mit der Eigenschaft
d.h. innerhalb der rationalen Zahlen besitzt keine
-te Wurzel.
Es sei ein
angeordneter Körper
und
.
Es sei
ein positiver Startwert und
die zugehörige
Heron-Folge. Dann gelten folgende Aussagen.
- Für
ist
und
-
- Die Heron-Folge ist ab dem ersten Glied fallend.
- Es ist
für
.
-
- Für die Intervalllängen
gilt die Beziehung
und bei
gilt insbesondere
-
Es sei ein
angeordneter Körper
und sei
eine
Folge
in
.
Dann besitzt maximal einen Grenzwert.
Es sei ein angeordneter Körper. Wenn eine
Folge
in
konvergent ist,
so ist sie auch beschränkt.
Es sei ein angeordneter Körper und es seien
und
konvergente Folgen
in
. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Folge
ist konvergent und es gilt
-
- Die Folge
ist konvergent und es gilt
-
- Für
gilt
-
- Es sei
und
für alle
. Dann ist
ebenfalls konvergent mit
-
- Es sei
und
für alle
. Dann ist
ebenfalls konvergent mit
-
Es sei ein angeordneter Körper und es seien
und
drei
Folgen
in
. Es gelte
und
und
konvergieren
beide gegen den gleichen Grenzwert
.
Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert
.
Eine Dezimalbruchfolge
archimedisch angeordneten Körper
ist eine Cauchy-Folge.
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei
eine
wachsende,
nach oben beschränkte Folge.
Dann ist eine
Cauchy-Folge.
Es sei ein
angeordneter Körper
und es sei
eine
Cauchy-Folge
in
. Dann gibt es die drei folgenden Alternativen.
- Die Folge ist eine Nullfolge.
- Es gibt eine positive Zahl
derart, dass ab einem gewissen
die Abschätzung
für alle
gilt.
-
- Es gibt eine positive Zahl
derart, dass ab einem gewissen
die Abschätzung
für alle
gilt.
-
Es sei eine
Cauchy-Folge
in einem
angeordneten Körper
mit der Eigenschaft, dass es ein
und ein
derart gibt, dass für alle
die Abschätzung
gilt.
Dann ist auch die durch
(für hinreichend groß)
gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.
Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein vollständiger, archimedisch angeordneter Körper.
Es gibt genau einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, die reellen Zahlen.
Genauer: Wenn zwei vollständige archimedisch angeordnete Körper
und
vorliegen, so gibt es einen eindeutig bestimmten
bijektiven Ringhomomorphismus
Eine
beschränkte
und
monotone
Folge in
konvergiert.
Für alle
reellen Zahlen
mit
konvergiert
die Reihe
und es gilt
Eine reelle Zahl ist
genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.
Es sei
,
,
eine
Intervallschachtelung in
.
Dann besteht der Durchschnitt
.
Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.
In den
reellen Zahlen
ist jeder
Dedekindsche Schnitt
ein Punktschnitt, d.h. es gibt ein
mit
Zu jeder nichtnegativen
reellen Zahl
und jedem
gibt es eine eindeutige nichtnegative reelle Zahl mit
Die Intervalle
,
,
mit den Grenzen
definieren eine Intervallschachtelung.
Der
Polynomring
über einem
Körper
ist ein kommutativer Ring.
Es sei
eine reelle quadratische Gleichung.
Dann gilt folgendes Lösungsverhalten.
- Bei
gibt es keine reelle Lösung.
-
- Bei
gibt es die eine Lösung
-
- Bei
gibt es die beiden Lösungen
-
Es sei eine quadratische Gleichung in der Form
gegeben und es seien
und
die Lösungen.
Dann gilt
und
Es sei ein
Körper und sei
der Polynomring über
. Es seien
Polynome mit
.
Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome
mit
Es sei ein
Körper und sei
der Polynomring über
. Es sei
ein Polynom und
.
Dann ist genau dann eine
Nullstelle
von
, wenn
ein Vielfaches des linearen Polynoms
ist.
Es sei ein
Körper und sei
der Polynomring über
. Es sei
ein Polynom
(
)
vom
Grad
.
Dann besitzt maximal
Nullstellen.
Es sei ein
Körper
und es seien
verschiedene Elemente
und
Elemente
gegeben.
Dann gibt es ein eindeutiges Polynom
vom Grad
derart, dass
für alle
ist.
Es sei
eine Teilmenge,
eine
Funktion
und
. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
ist stetig im Punkt
.
- Für jede
konvergente Folge
in
mit
ist auch die Bildfolge
konvergent mit dem Grenzwert
.
Es sei
und seien
stetige Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen
stetig. Für eine Teilmenge
,
auf der
keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion
stetig.
Polynomfunktionen
sind stetig.
Es seien
reelle Zahlen
und sei
eine
stetige Funktion. Es sei
eine reelle Zahl zwischen
und
.
Dann gibt es ein
mit
.
Es sei
ein
Intervall
und
eine stetige, streng wachsende Funktion.
Dann ist das Bild
ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung
ist ebenfalls stetig.
Es sei
. Für
ungerade ist
die Potenzfunktion
stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion
ist streng wachsend und stetig.
Für gerade ist die Potenzfunktion
stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion
ist streng wachsend und stetig.
Es sei eine
positive
reelle Zahl. Dann besitzt die
Exponentialfunktion
folgende Eigenschaften.
- Es ist
für alle
.
- Es ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
und
ist
.
- Für
ist
streng wachsend.
- Für
ist
streng fallend.
- Es ist
für alle
.
- Für
ist
.
Es sei eine
positive
reelle Zahl. Dann ist die
Exponentialfunktion
stetig.
Es sei
eine
positive
reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion
ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.
Für die
Exponentialfunktion
zur Basis gilt die Darstellung
Die Funktionen
und
besitzen für
folgende Eigenschaften.
- Es gilt
für alle
.
-
- Es ist
-
- Es ist
und
.
Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in folgende Periodizitätseigenschaften.
- Es ist
und
für alle
.
- Es ist
und
für alle
.
- Es ist
und
für alle
.
- Es ist
,
,
,
und
.
- Es ist
,
,
,
und
.
Die reelle Sinusfunktion
induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion
und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion
Für die trigonometrischen Funktionen
und
gelten die Additionstheoreme
und
Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte und
annehmen kann und bei dem der Wert
die Wahrscheinlichkeit
besitzt.
Dann ist die Verteilung auf , die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der
-fachen
(unabhängigen)
Hintereinaderausführung des Experimentes
-fach das Ereignis
eintritt, durch die
Binomialverteilung
zur Stichprobenlänge
und zur Erfolgswahrscheinlichkeit
gegeben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem -fachen Münzwurf genau
-fach Kopf fällt,
beträgt
Zu jedem
konvergiert die Folge
gegen .
Das bedeutet, dass die relative Häufigkeit bei einem -fach wiederholten
Bernoulli-Experiment
zur Wahrscheinlichkeit
bei
hinreichend groß mit beliebig hoher Wahrscheinlichkeit im Intervall
liegt.
Es seien
endliche Wahrscheinlichkeitsräume
und
der
Produktraum.
Es seien Ereignisse
,
,...,
gegeben und es seien
die zugehörigen Zylindermengen im Produktraum, also
Dann sind die Ereignisse
vollständig unabhängig.
Es sei ein
endlicher Wahrscheinlichkeitsraum
und
eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen.
Dann ist für jedes Ereignis
Es sei ein
endlicher Wahrscheinlichkeitsraum
und
eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen.
Dann ist für jedes Ereignis mit positiver Wahrscheinlichkeit