Kurs:Invariantentheorie/100/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	${}\sum$
Punkte	6	0	0	6	0	0	0	0	3	0	3	0	3	3	0	0	6	2	6	0	0	0	38

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$\psi \colon K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(x,y)\longmapsto \left(x^{2}+y^{2},\,x^{3}+y^{3}\right).$

a) Beschreibe eine Faktorisierung

${}\psi =\varphi \circ \theta \,,$

wobei

$\theta \colon K^{2}\longrightarrow K^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy),$

ist.

b) Ist

${}S=K[x^{2}+y^{2},x^{3}+y^{3}]\subseteq K[x,y]=R\,$

eine ganze Ringerweiterung?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre, endlich erzeugte ${}K$- Algebren. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ${}K$- Algebrahomomorphismus und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal in ${}S$ mit  ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {n}})={\mathfrak {m}}$.  Die Abbildung induziere einen Isomorphismus ${}R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{\mathfrak {n}}$. Zeige, dass es dann auch ein ${}f\in R$, ${}f\not \in {\mathfrak {m}}$, derart gibt, dass ${}R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung ${}\varphi$, welche nicht?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei  ${}H\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein (in der Standardgraduierung) homogenes Polynom vom Grad ${}e$. Zeige die Beziehung

${}eH=X_{1}{\frac {\partial H}{\partial X_{1}}}+\cdots +X_{n}{\frac {\partial H}{\partial X_{n}}}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}\zeta$ eine primitive neunte Einheitswurzel in einem Körper ${}L$. Zeige, dass die Elemente

$\zeta +\zeta ^{8},\,\,\zeta ^{2}+\zeta ^{7}\,{\text{ und }}\,\zeta ^{4}+\zeta ^{5}$

die Nullstellen des Polynoms ${}X^{3}-3X+1$ sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei  ${}\zeta \neq 1$  eine ${}n$-te Einheitswurzel in einem Körper ${}K$. Zeige

${}\zeta ^{n-1}+\zeta ^{n-2}+\cdots +\zeta +1=0\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 (2+1+3) Punkte)

Wir betrachten die ${}{\mathbb {C} }$- rationale Operation der additiven Gruppe

${}G={\left({\mathbb {C} },0,+\right)}\,$

auf ${}{\mathbb {C} }^{2}$ durch

${}z\bullet {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&z\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+zy\\y\end{pmatrix}}\,$

und die zugehörige Operation auf dem Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X,Y]$.

1. Bestimme die Bahnen der Operation. Skizziere die (reelle) Situation.
2. Welche Untergruppen treten als Isotropiegruppen auf?
3. Bestimme den Invariantenring ${}{\mathbb {C} }[X,Y]^{G}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass der ${}\mathbb {R} ^{n}$ kontrahierbar ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,L\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,N\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$- Moduln ${}L,M,N$. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

$0\longrightarrow {N}^{*}\longrightarrow {M}^{*}\longrightarrow {L}^{*}$

der dualen Moduln führt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)