Kurs:Invariantentheorie/3/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	${}\sum$
Punkte	3	3	8	5	3	7	6	4	4	4	8	9	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Bahn zu einer Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$.
2. Die alternierende Gruppe ${}A_{n}$.
3. Ein noetherscher Ring ${}R$.
4. Die Hilbert-Reihe zu einer linearen Operation einer endlichen Gruppe ${}G$ auf einem Polynomring  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. 
5. Ein affines Gruppenschema.
6. Eine ${}K$-rationale Darstellung einer affin-algebraischen Gruppe ${}G$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Invariantenringe zu einem Normalteiler  ${}H\subseteq G$. 
2. Der Hilbertsche Basissatz.
3. Die Formel von Molien.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Hauptsatz über symmetrische Polynome.

Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Untergruppe  ${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R}$  mit der zugehörigen Operation, also

$\mathbb {Z} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(n,x)\longmapsto n+x.$

Es sei

${}C=\operatorname {C} ^{0}\,(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.$

a) Beschreibe die zugehörige Operation von ${}\mathbb {Z}$ auf ${}C$ (von rechts).

b) Was ist ${}(x^{2}-3x+5)\bullet 4$ (${}\bullet$ sei die Operation aus (a)).

c) Wir nennt man die ${}\mathbb {Z}$- invarianten Funktionen aus ${}C$? Was sind typsche Beispiele dafür (man denke an Analysis 1)?

d) Zeige, dass es außer den Konstanten keine invarianten Polynome gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf den Mengen ${}M$ und ${}N$ operiere. Wir betrachten die Operation der Gruppe ${}G$ auf der Abbildungsmenge ${}\operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}$, wobei ein Gruppenelement ${}\sigma$ durch

${}\sigma \bullet \varphi =\sigma \circ \varphi \circ \sigma ^{-1}\,$

wirkt. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann ${}G$- verträglich ist, wenn ${}\varphi$ ein Fixpunkt der Operation ist.

Aufgabe * (7 (3+2+2) Punkte)

a) Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei sei. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe mit der zugehörigen Charaktergruppe ${}G$. Es sei

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{r}\longrightarrow D$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit der zugehörigen Graduierung auf ${}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$ und der zugehörigen Operation von ${}G$ auf ${}K^{r}$. Es sei  ${}P=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{r}\right)\in K^{r}$  ein fixierter Punkt. Es sei  ${}I={\left\{i\mid x_{i}\neq 0\right\}}$  und sei ${}E$ die von den ${}\delta (e_{i})=\operatorname {Grad} \,(X_{i})$, ${}i\in I$, erzeugte Untergruppe von ${}D$.

1. Bestimme ${}I$ und ${}E$ für den Nullpunkt ${}\left(0,\,\ldots ,\,0\right)$.
2. Bestimme ${}I$ und ${}E$ für den Einspunkt ${}\left(1,\,\ldots ,\,1\right)$.
3. Zeige, dass die Isotropiegruppe im Punkt ${}P$ der Operation gleich

   ${\left\{g\in G\mid g{|}_{E}=1\right\}}$

   ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Primvermeidung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R[M\times N]\cong R[M]\otimes _{R}R[N]\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine endliche Gruppe ${}G$ über jedem Körper ${}K$ eine lineare Gruppe ist.

Aufgabe * (8 (1+1+2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die Permutationsmatrix

${}M={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}\,$

über ${}\mathbb {R}$.

a) Bestimme das charakteristische Polynom ${}\chi _{M}$ von ${}M$.

b) Bestimme die Faktorzerlegung von ${}\chi _{M}$. Was sind die Eigenwerte von ${}M$?

c) Bestimme die Eigenräume zu den Eigenwerten von ${}M$.

d) Bestimme die direkte Summenzerlegung von ${}\mathbb {R} ^{4}$ in ${}M$- invariante Untervektorräume, die der Faktorzerlegung von ${}\chi _{M}$ entspricht.

e) Bestimme zu einer Basis, die sich aus Basen der einzelnen invarianten Untervektorräume zusammensetzt, die beschreibende Matrix.

Aufgabe * (9 (3+4+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}\neq 2$. Wir betrachten die Operation der allgemeinen linearen Gruppe  ${}G=\operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}$  auf dem Vektorraum der ${}2\times 2$- Matrizen  ${}V=\operatorname {Mat} _{2\times 2}(K)$  durch Konjugation, also

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}\times \operatorname {Mat} _{2\times 2}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2\times 2}(K),\,(g,M)\longmapsto gMg^{-1}.$

a) Beschreibe die Operation explizit.

b) Bestimme den Untervektorraum ${}V^{G}$. Verwende den Satz über die Jordansche Normalform!

c) Beschreibe die invariante Projektion

$V\longrightarrow V^{G}.$