Kurs:Invariantentheorie/3/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	${}\sum$
Punkte	3	3	8	5	3	7	6	4	4	4	8	9	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Bahn zu einer Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$.
2. Die alternierende Gruppe ${}A_{n}$.
3. Ein noetherscher Ring ${}R$.
4. Die Hilbert-Reihe zu einer linearen Operation einer endlichen Gruppe ${}G$ auf einem Polynomring  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. 
5. Ein affines Gruppenschema.
6. Eine ${}K$-rationale Darstellung einer affin-algebraischen Gruppe ${}G$ über einem Körper ${}K$.

Lösung

1. Eine Bahn ist eine Teilmenge der Form

   ${\left\{gx\mid g\in G\right\}}.$

2. Die alternierende Gruppe ist

   ${}A_{n}:={\left\{\sigma \in S_{n}\mid \operatorname {sgn} (\sigma )=1\right\}}\,.$

3. Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
4. Die Hilbert-Reihe ist die Potenzreihe

   ${}\Phi _{G}(z)=\sum _{d=0}^{\infty }\dim _{K}{\left(R_{d}^{G}\right)}z^{d}\,.$

5. Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}H$ eine kommutative ${}K$- Hopf-Algebra. Dann nennt man das Spektrum  ${}G=\operatorname {Spek} {\left(H\right)}$  zusammen mit den induzierten ${}K$- Morphismen

   $\Delta ^{*}\colon G\times _{K}G\longrightarrow G,$

   $\epsilon ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(K\right)}\longrightarrow G$

   und

   $S^{*}\colon G\longrightarrow G$

   das zugehörige affine Gruppenschema.

6. Unter einer ${}K$-rationalen Darstellung von ${}G$ versteht man einen Gruppenhomomorphismus

   $G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

   mit einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$, die durch einen ${}K$- Hopf-Algebrahomomorphismus der Hopf-Algebren zu ${}G$ bzw. ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ induziert wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Invariantenringe zu einem Normalteiler  ${}H\subseteq G$. 
2. Der Hilbertsche Basissatz.
3. Die Formel von Molien.

Lösung

1. Die Restklassengruppe ${}G/H$ operiert auf ${}R^{H}$ durch

   ${}f[\sigma ]:=f\sigma \,$

   und es ist

   ${}R^{G}={\left(R^{H}\right)}^{G/H}\,.$

2. Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring. Dann ist auch der Polynomring ${}R[X]$ noethersch.
3. Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Die endliche Gruppe ${}G$ operiere linear auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$. Dann ist

   ${}\Phi _{G}(z)={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}{\frac {1}{\det {\left(\operatorname {Id} -z\sigma \right)}}}\,.$

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Hauptsatz über symmetrische Polynome.

Lösung

Wir führen Induktion über die gradlexikographische Ordnung. Zur Existenz. Es sei ${}F$ ein symmetrisches Polynom. Es sei ${}X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$ das Leitmonom von ${}F$ (mit dem Koeffizienten ${}c\neq 0$) Es ist  ${}a_{i+1}\leq a_{i}$  für alle ${}i$. Andernfalls nämlich betrachtet man die Permutation, die ${}X_{i+1}$ und ${}X_{i}$ vertauscht. Das resultierende Monom muss wegen der Symmetrie ebenfalls in ${}F$ vorkommen, wäre aber größer in der gradlexikographischen Ordnung.

Wir betrachten das Polynom

${}G=F-cE_{1}^{a_{1}-a_{2}}E_{2}^{a_{2}-a_{3}}\cdots E_{n-1}^{a_{n-1}-a_{n}}E_{n}^{a_{n}}\,.$

Dabei treten rechts die elementarsymmetrischen Polynome mit nichtnegativen Exponenten auf. Das Polynom rechts enthält ebenfalls ${}X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$ als Leitmonom: Hierzu muss man sich die Monome in ${}E_{i}$ klar machen. Das Leitmonom von ${}E_{i}$ ist ${}X_{1}\cdots X_{i}$ und das Leitmonom von ${}E_{i}^{k}$ ist ${}(X_{1}\cdots X_{i})^{k}$ (das Leitmonom ist multiplikativ, siehe Aufgabe 1.14 (Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026))). Daher hat das Polynom rechts das Leitmonom

${}{\begin{aligned}X_{1}^{a_{1}-a_{2}}\cdot (X_{1}X_{2})^{a_{2}-a_{3}}\cdots (X_{1}\cdots X_{n-1})^{a_{n-1}-a_{n}}\cdot (X_{1}\cdots X_{n})^{a_{n}}&=X_{1}^{a_{1}}X_{2}^{a_{2}}\cdots X_{n-1}^{a_{n-1}}X_{n}^{a_{n}}.\,\end{aligned}}$

In der Differenz ${}G$ verschwindet also dieses Monom, d.h. ${}G$ hat einen kleineren Grad in der gradlexikographischen Ordung. Da ${}G$ ebenfalls symmetrisch ist, liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung.
Zur Eindeutigkeit. Wir zeigen, dass die elementarsymmetrischen Polynome algebraisch unabhängig sind. Es sei also

${}H(E_{1},\ldots ,E_{n})=0\,,$

wobei  ${}H\neq 0$  ein Polynom in den ${}n$ Variablen ${}Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ sei. Wir schreiben ${}H$ als Summe von Monomen der Form

$Y_{1}^{a_{1}-a_{2}}Y_{2}^{a_{2}-a_{3}}\cdots Y_{n}^{a_{n}}$

mit  ${}a_{1}\geq \ldots \geq a_{n}$.  Es sei ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ dasjenige Tupel mit

${}a_{i}\geq a_{i+1}\,,$

das in der gradlexikographischen Ordnung maximal ist unter allen Tupeln, für die ${}Y_{1}^{a_{1}-a_{2}}Y_{2}^{a_{2}-a_{3}}\cdots Y_{n}^{a_{n}}$ in ${}H$ vorkommt (es werden also die ${}a$ verglichen, nicht die Differenzen). Dann besitzt ${}H(E_{1},\ldots ,E_{n})$ als Polynom in ${}X$ das Leitmonom ${}X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$ und wäre nicht ${}0$.

Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Untergruppe  ${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R}$  mit der zugehörigen Operation, also

$\mathbb {Z} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(n,x)\longmapsto n+x.$

Es sei

${}C=\operatorname {C} ^{0}\,(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )={\left\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.$

a) Beschreibe die zugehörige Operation von ${}\mathbb {Z}$ auf ${}C$ (von rechts).

b) Was ist ${}(x^{2}-3x+5)\bullet 4$ (${}\bullet$ sei die Operation aus (a)).

c) Wir nennt man die ${}\mathbb {Z}$- invarianten Funktionen aus ${}C$? Was sind typsche Beispiele dafür (man denke an Analysis 1)?

d) Zeige, dass es außer den Konstanten keine invarianten Polynome gibt.

Lösung

a) Zu eienr stetigen Funktion ${}f$ und  ${}n\in \mathbb {Z}$  ist ${}(f\bullet n)$ diejenige stetige Funktion, die durch

${}(f\bullet n)(x):=f(x+n)\,$

gegeben ist.

b) Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(x^{2}-3x+5\right)}\bullet 4&=(x+4)^{2}-3(x+4)+5\\&=x^{2}+8x+16-3x-12+5\\&=x^{2}+5x+9.\end{aligned}}$

c) Invarianz liegt genau dann vor, wenn

${}f(x)=f(x+n)\,$

für alle  ${}x\in \mathbb {R}$  und  ${}n\in \mathbb {Z}$  gilt. Solche Funktionen nennt man periodisch (mit Periodenlänge ${}1$). Typische Beispiele sind die (gestauchten) trigonometrischen Funktionen wie ${}\sin 2\pi x$.

d) Wenn ${}f$ ein Polynom und invariant unter der Operation, so besitzt insbesondere ${}f(n)$ den gleichen Wert ${}a$ für jedes  ${}n\in \mathbb {Z}$.  Dann sind alle ganze Zahlen Nullstellen des Polynoms ${}f-a$. Doch dann ist

${}f-a=0\,$

das Nullpolynom, also ist ${}f$ konstant gleich ${}a$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf den Mengen ${}M$ und ${}N$ operiere. Wir betrachten die Operation der Gruppe ${}G$ auf der Abbildungsmenge ${}\operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}$, wobei ein Gruppenelement ${}\sigma$ durch

${}\sigma \bullet \varphi =\sigma \circ \varphi \circ \sigma ^{-1}\,$

wirkt. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann ${}G$- verträglich ist, wenn ${}\varphi$ ein Fixpunkt der Operation ist.

Lösung

Die Verträglichkeit bedeutet

${}\varphi (\sigma x)=\sigma (\varphi (x))\,$

für alle  ${}x\in M$  und  ${}\sigma \in G$.  Dies bedeutet die Abbildungsgleichheit

${}\varphi \circ \sigma =\sigma \circ \varphi \,$

für alle  ${}\sigma \in G$.  Da die ${}\sigma$ (als Abbildung auf den Mengen) bijektiv sind, kann man dies als

${}\varphi =\sigma \circ \varphi \circ \sigma ^{-1}\,$

für alle  ${}\sigma \in G$  verstehen, was die Fixpunkteigenschaft unter der angegebenen Operation bedeutet.

Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)

a) Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei sei. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Lösung

a)

b) Der Ring ${}R$ enthält die ${}-1$, die wegen der Voraussetzung über die Charakteristik nicht gleich ${}1$ ist, und dessen multiplikative Ordnung gleich ${}2$ ist. In einer unendlichen zyklischen Gruppe gibt es aber nur die Ordnung ${}1$ und die Ordnung unendlich.

c) In der Nenneraufnahme ${}\mathbb {Z} /(2)[X]_{X}$ sind genau die Potenzen ${}X^{k}$ mit  ${}k\in \mathbb {Z}$  Einheiten, die Einheitengruppe ist also isomorph zu ${}\mathbb {Z}$.

Aufgabe (6 (1+1+4) Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe mit der zugehörigen Charaktergruppe ${}G$. Es sei

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{r}\longrightarrow D$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit der zugehörigen Graduierung auf ${}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$ und der zugehörigen Operation von ${}G$ auf ${}K^{r}$. Es sei  ${}P=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{r}\right)\in K^{r}$  ein fixierter Punkt. Es sei  ${}I={\left\{i\mid x_{i}\neq 0\right\}}$  und sei ${}E$ die von den ${}\delta (e_{i})=\operatorname {Grad} \,(X_{i})$, ${}i\in I$, erzeugte Untergruppe von ${}D$.

1. Bestimme ${}I$ und ${}E$ für den Nullpunkt ${}\left(0,\,\ldots ,\,0\right)$.
2. Bestimme ${}I$ und ${}E$ für den Einspunkt ${}\left(1,\,\ldots ,\,1\right)$.
3. Zeige, dass die Isotropiegruppe im Punkt ${}P$ der Operation gleich

   ${\left\{g\in G\mid g{|}_{E}=1\right\}}$

   ist.

Lösung

1. In diesem Fall ist  ${}I=\emptyset$  und somit ist

   ${}E=\{0\}\,.$

2. In diesem Fall ist  ${}I={\{1,\ldots ,r\}}$  und somit ist

   ${}E=D\,,$

   da ja die Graduierungsabbildung als surjektiv vorausgesetzt wurde.

3. Es ist

   ${}G_{P}={\left\{g\in G\mid g{|}_{E}=1\right\}}\,$

   zu zeigen. Die Wirkungsweise des Charakters ist durch

   ${}gP=g(x_{1},\ldots ,x_{r})=(g(\delta (e_{1}))x_{1},\ldots ,g(\delta (e_{r}))x_{r})\,$

   gegeben. Hierbei gilt  ${}gP=P$  genau dann, wenn

   ${}x_{i}=g(\delta (e_{i}))x_{i}\,$

   für alle ${}i$ gilt, was genau dann der Fall ist, wenn  ${}x_{i}=0$  oder  ${}g(\delta (e_{i}))=1$  ist. Wenn ${}g$ rechts dazugehört, so ist für  ${}i\in I$  die zweite Bedingung und für  ${}i\notin I$  die erste Bedingung erfüllt. Wenn ${}g$ rechts nicht dazugehört, so gibt es ein  ${}i\in I$  mit  ${}g(\delta (e_{i}))\neq 1$.  Für dieses ${}i$ ist  ${}x_{i}\neq 0$  und daher ist  ${}x_{i}\neq g(\delta (e_{i}))x_{i}$.  Also gehört ${}g$ nicht zur Isotropiegruppe.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Primvermeidung.

Lösung erstellen

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R[M\times N]\cong R[M]\otimes _{R}R[N]\,.$

Lösung

Der Monoidring ${}R[M]$ besitzt die ${}R$- Basis ${}T^{m}$, ${}m\in M$. Das Tensorprodukt von freien Moduln besitzt die Tensorkombinationen der beiden Bases als Basis. Daher ist ${}T^{(m,n)}$, ${}(m,n)\in M\times N$, eine Basis von ${}R[M\times N]$ und ${}T^{m}\otimes T^{n}$, ${}m\in M,n\in N$ ist eine Basis von ${}R[M]\otimes R[N]$. Somit ist durch die Zuordnung auf den Basen

$T^{(m,n)}\longleftrightarrow T^{m}\otimes T^{n}$

direkt ein ${}R$- Modulisomorphismus gegeben. Dabei entspricht

${}T^{(0,0)}=1\,$

dem Element

${}T^{0}\otimes T^{0}=1\otimes 1=1\,.$

Ferner entspricht

${}T^{(m_{1},n_{1})}\cdot T^{(m_{2},n_{2})}=T^{(m_{1}+m_{2},n_{1}+n_{2})}\,$

den Element

${}T^{m_{1}}\otimes T^{n_{1}}\cdot T^{m_{2}}\otimes T^{n_{2}}={\left(T^{m_{1}}\cdot T^{m_{2}}\right)}\otimes {\left(T^{n_{1}}\cdot T^{n_{2}}\right)}=T^{m_{1}+m_{2}}\otimes T^{n_{1}+n_{2}}\,,$

die Zuordnung respektiert also auch die Multiplikation.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine endliche Gruppe ${}G$ über jedem Körper ${}K$ eine lineare Gruppe ist.

Lösung erstellen

Aufgabe (8 (1+1+2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die Permutationsmatrix

${}M={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}\,$

über ${}\mathbb {R}$.

a) Bestimme das charakteristische Polynom ${}\chi _{M}$ von ${}M$.

b) Bestimme die Faktorzerlegung von ${}\chi _{M}$. Was sind die Eigenwerte von ${}M$?

c) Bestimme die Eigenräume zu den Eigenwerten von ${}M$.

d) Bestimme die direkte Summenzerlegung von ${}\mathbb {R} ^{4}$ in ${}M$- invariante Untervektorräume, die der Faktorzerlegung von ${}\chi _{M}$ entspricht.

e) Bestimme zu einer Basis, die sich aus Basen der einzelnen invarianten Untervektorräume zusammensetzt, die beschreibende Matrix.

Lösung

a) Es ist

${}{\begin{pmatrix}X&0&0&0\\0&X&0&0\\0&0&X&0\\0&0&0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X&0&0&-1\\-1&X&0&0\\0&-1&X&0\\0&0&-1&X\end{pmatrix}}\,,$

das charakteristische Polynom ist also ${}X^{4}-1$.

b) Es sind ${}1$ und ${}-1$ Nullstellen, dies führt zur Faktorzerlegung

${}X^{4}-1=(X-1)(X+1)(X^{2}+1)\,,$

der Faktor rechts ist reell nullstellenfrei und lässt sich nicht weiter zerlegen. Die Eigenwerte sind ${}1$ und ${}-1$.

c) Aufgrund der Faktorzerlegung sind die beiden Eigenräume eindimensional. Der Eigenraum zu ${}1$ ist ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}$. Der Eigenraum zu ${}-1$ ist der Kern von

${\begin{pmatrix}-1&0&0&-1\\-1&-1&0&0\\0&-1&-1&0\\0&0&-1&-1\end{pmatrix}},$

das ist ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}}$.

d) Wir bestimmen den Kern der Matrix, die entsteht, wenn man in ${}X^{2}+1$ die Matrix einsetzt. Wegen

${}{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\,$

geht es um

${}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}}\,.$

Der Kern ist durch die beiden Erzeuger ${}e_{1}-e_{3}$ und ${}e_{2}-e_{4}$ gegeben, der zum Faktor ${}X^{2}+1$ zugehörige invariante Untervektorraum ist also

${}U=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}\oplus \mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}}\,.$

Die direkte Summenzerlegung ist also

${}\mathbb {R} ^{4}=\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}\oplus \mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}}\oplus U\,.$

e) Bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}}$ ist die beschreibende Matrix gleich

${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (9 (3+4+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}\neq 2$. Wir betrachten die Operation der allgemeinen linearen Gruppe  ${}G=\operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}$  auf dem Vektorraum der ${}2\times 2$- Matrizen  ${}V=\operatorname {Mat} _{2\times 2}(K)$  durch Konjugation, also

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}\times \operatorname {Mat} _{2\times 2}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2\times 2}(K),\,(g,M)\longmapsto gMg^{-1}.$

a) Beschreibe die Operation explizit.

b) Bestimme den Untervektorraum ${}V^{G}$. Verwende den Satz über die Jordansche Normalform!

c) Beschreibe die invariante Projektion

$V\longrightarrow V^{G}.$

Lösung

a) Zu  ${}g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$  ist

${}g^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}\,.$

Somit ist die Operation explizit durch

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\bullet {\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}&={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}ax+bz&ay+bw\\cx+dz&cy+dw\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}adx+bdz-acy-bcw&-abx-b^{2}z+a^{2}y+abw\\cdx+d^{2}z-c^{2}y-cdw&-bcx-bdz+acy+adw\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

gegeben.

b) Für Streckungsmatrizen, also für  ${}x=w$  und  ${}y=z=0$,  ist das Ergebnis wieder die gleiche Streckungsmatrix. Diese sind also invariant. Wir behaupten, dass die Streckungen die einzigen invarianten Matrizen sind. Die Konjugation beschreibt einen Basiswechsel. Wir können den Satz über die jordansche Normalform anwenden und erhalten zu einer Matrix ${}M$ eine äquivalente Matrix der Form

${\begin{pmatrix}x&0\\0&w\end{pmatrix}}\,\,{\text{ oder }}\,\,{\begin{pmatrix}x&1\\0&x\end{pmatrix}}.$

Im ersten Fall sei  ${}x\neq w$  (der Streckungsfall wurde schon behandelt). In diesem Fall ergibt die Konjugation mit

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

die Matrix ${}{\begin{pmatrix}w&0\\0&x\end{pmatrix}}$, was zeigt, dass diese Matrizen nicht invariant sind. Im zweiten Fall ergibt die Konjugation mit

${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

für den Eintrag links unten den Wert  ${}1\neq 0$.  Diese Matrizen sind also auch nicht invariant.

c) Wir betrachten die lineare Abbildung

$V\longrightarrow V^{G},\,M={\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}{\frac {x+w}{2}}&0\\0&{\frac {x+w}{2}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\operatorname {Spur} {\left(M\right)}&0\\0&\operatorname {Spur} {\left(M\right)}\end{pmatrix}}.$

Das Ergebnis ist eine Streckung und eine Streckung wird auf sich selbst abgebildet. Da sich die Spur bei Konjugation nicht ändert (als Summe der Eigenwerte), ist diese Projektion ${}G$-invariant.