Kurs:Invariantentheorie/4/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	5	2	2	7	4	3	5	2	5	6	6	6	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Fixpunkt einer Operation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$.
2. Ein Charakter eines Monoids ${}M$ in einem Körper ${}K$.
3. Der ganze Abschluss zu einer Erweiterung  ${}R\subseteq S$  kommutativer Ringe.
4. Die Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes ${}R$.
5. Ein einfach zusammenhängender topologischer Raum ${}X$.
6. Eine linear-algebraische Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Klassengleichung zu einer Gruppe ${}G$ auf einer endlichen Menge ${}M$.
2. Der Satz über den Invariantenring zur alternierenden Gruppe ${}A_{n}$.
3. Das Lemma von Schur.

Aufgabe * (2 Punkte)

Schreibe das symmetrische Polynom

$X^{3}Y^{3}-2X^{2}-2Y^{2}+5XY$

als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}M$ eine Menge. Es sei ${}\operatorname {Perm} \,(M)$ die Gruppe der Permutationen auf ${}M$. Zeige folgende Aussagen.

1. Wenn ${}G$ auf ${}M$ operiert, so ist die Abbildung

   $G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto (x\mapsto gx),$

   ein Gruppenhomomorphismus.

2. Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus

   $\varphi \colon G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto \varphi (x),$

   vorliegt, so wird durch

   $G\times M\longrightarrow M,\,(g,x)\longmapsto (\varphi (g))(x),$

   eine Gruppenoperation von ${}G$ auf ${}M$ definiert.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und

$\rho \colon G\longrightarrow K^{\times }$

eine eindimensionale Darstellung von ${}G$ in einen Körper ${}K$. Zeige, dass ${}\rho$ durch die Abelianisierung von ${}G$ faktorisiert.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}X$ eine Menge, auf der eine Gruppe ${}G$ operiere, und sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine Abbildung in eine weitere Menge ${}Y$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann ${}G$- invariant ist, wenn das Diagramm

${\begin{matrix}G\times X&{\stackrel {\nu }{\longrightarrow }}&X&\\\!\!\!\!\!p_{2}\downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\X&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&Y&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert, wobei ${}\nu$ die Gruppenoperation und ${}p_{2}$ die zweite Projektion bezeichnet.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Invariantenringe zu einem Normalteiler  ${}H\subseteq G$. 

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}S$ Integritätsbereiche und sei  ${}R\subseteq S$  eine ganze Ringerweiterung. Es sei  ${}f\in R$  ein Element, das in ${}S$ eine Einheit ist. Zeige, dass ${}f$ dann schon in ${}R$ eine Einheit ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

an, deren Ordnung ${}2$ ist und die keine Isometrie ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$. Wir betrachten die Operation von ${}\mathbb {Z} /(2)$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(K[T]\right)}$, wobei das nichttriviale Element durch ${}T\mapsto -T$ operieren möge. Bestimme die Fixpunkte dieser Operation.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne

${\left(3T^{0}-2T^{1}+5T^{2}\right)}\cdot {\left(4T^{0}-6T^{1}+5T^{2}\right)}$

im Monoidring ${}\mathbb {Z} /(7)[\mathbb {Z} /(3)]$ über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass es eine nichtalgebraische Darstellung der multiplikativen Gruppe ${}\mathbb {R} ^{\times }$ in ${}\mathbb {R} ^{2}$ gibt, die reduzibel ist, aber keine Zerlegung in eindimensionale Darstellungen erlaubt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Maschke.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige explizit, dass durch die Zuordnung

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{3}\!{\left(K\right)},\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{pmatrix}},$

ein Gruppenhomomorphismus gegeben ist. Ist diese Abbildung injektiv?

Aufgabe * (6 (2+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten auf dem  ${}V=K^{n}$  die Operation der multiplikativen Gruppe ${}K^{\times }$ eines algebraisch abgeschlossenen Körpers ${}K$, die durch

$K^{\times }\times K^{n}\longrightarrow K^{n},\,\left(t,\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(t^{a_{1}}x_{1},\,\ldots ,\,t^{a_{n}}x_{n}\right)$

zu einem fixierten Tupel  ${}\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in \mathbb {Z} ^{n}$  gegeben ist.

a) Bestimme ${}V^{G}$.

b) Bestimme das ${}K^{\times }$- invariante Komplement von ${}V^{G}$.

c) Zeige, dass die Projektion

$V\longrightarrow V^{G}$

${}G$- verträglich ist.

d) Zeige, dass die Zerlegung von ${}V$ in irreduzible Untervektorräume nicht eindeutig bestimmt sein muss.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die additive Gruppe ${}{\left({\mathbb {C} },+,0\right)}$ keine kompakte Untergruppe enthält, die in der Zariski-Topologie dicht ist.