Kurs:Invariantentheorie/4/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	5	2	2	7	4	3	5	2	5	6	6	6	3	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Fixpunkt einer Operation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$.
2. Ein Charakter eines Monoids ${}M$ in einem Körper ${}K$.
3. Der ganze Abschluss zu einer Erweiterung  ${}R\subseteq S$  kommutativer Ringe.
4. Die Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes ${}R$.
5. Ein einfach zusammenhängender topologischer Raum ${}X$.
6. Eine linear-algebraische Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$.

Lösung

1. Der Punkt  ${}x\in M$  heißt Fixpunkt der Operation, wenn  ${}gx=x$  ist für alle  ${}g\in G$. 
2. Ein Charakter ist ein Monoidhomomorphismus

   $\chi \colon M\longrightarrow (K^{\times },1,\cdot ).$

3. Unter dem ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}S$ versteht man die Menge aller Elemente ${}x\in S$, die ganz über ${}R$ sind,
4. Die Zariski-Topologie ist dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge  ${}T\subseteq R$  die Mengen

   ${}D(T):={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\left(R\right)}\mid T\not \subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,$

   als offen erklärt werden.

5. Ein topologischer Raum ${}X$ heißt einfach zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in ${}X$ nullhomotop ist.
6. Eine linear-algebraische Gruppe ist eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe  ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$. 

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Klassengleichung zu einer Gruppe ${}G$ auf einer endlichen Menge ${}M$.
2. Der Satz über den Invariantenring zur alternierenden Gruppe ${}A_{n}$.
3. Das Lemma von Schur.

Lösung

1. Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einer endlichen Menge ${}M$ operiere. Es sei ${}F$ die Menge der Fixpunkte der Operation und es seien ${}M_{1},\ldots ,M_{n}$ die verschiedenen Bahnen mit mindestens zwei Elementen. Dann ist

   ${}{\#\left(M\right)}={\#\left(F\right)}+\sum _{i=1}^{n}{\#\left(M_{i}\right)}\,.$

2. Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik  ${}\operatorname {char} (K)\neq 2$.  Die alternierende Gruppe ${}A_{n}$ operiere natürlich auf  ${}V=K^{n}$.  Dann ist

   ${}K[V]^{A_{n}}=K[V]^{S_{n}}\oplus K[V]_{\operatorname {sgn} }^{S_{n}}=K[E_{1},\ldots ,E_{n}]\oplus K[E_{1},\ldots ,E_{n}]\cdot \triangle \,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}G$ eine Gruppe und seien ${}V_{1},V_{2}$ zwei ${}K$- Vektorräume mit zwei gegebenen irreduziblen Darstellungen ${}\rho _{1}\colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V_{1}\right)}$ und ${}\rho _{2}\colon G\rightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V_{2}\right)}$. Es sei ${}\varphi \colon V_{1}\rightarrow V_{2}$ eine lineare Abbildung mit

   ${}\sigma _{2}\circ \varphi =\varphi \circ \sigma _{1}\,$

   für alle  ${}\sigma \in G$,  wobei ${}\sigma _{i}$ den zu ${}\sigma$ gehörenden Automorphismus auf ${}V_{i}$ bezeichnet.

   Dann ist  ${}\varphi =0$  oder aber ${}\varphi$ definiert eine Äquivalenz

   der beiden Darstellungen.

Aufgabe (2 Punkte)

Schreibe das symmetrische Polynom

$X^{3}Y^{3}-2X^{2}-2Y^{2}+5XY$

als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}X^{3}Y^{3}-2X^{2}-2Y^{2}+5XY&=(XY)^{3}-2(X^{2}+Y^{2})+5XY\\&=(XY)^{3}-2(X+Y)^{2}+4XY+5XY\\&=(XY)^{3}-2(X+Y)^{2}+9XY\\&=E_{2}^{3}-2E_{1}^{2}+9E_{2}\end{aligned}}$

mit den beiden elementarsymmetrischen Polynomen  ${}E_{1}=X+Y$  und  ${}E_{2}=XY$. 

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}M$ eine Menge. Es sei ${}\operatorname {Perm} \,(M)$ die Gruppe der Permutationen auf ${}M$. Zeige folgende Aussagen.

1. Wenn ${}G$ auf ${}M$ operiert, so ist die Abbildung

   $G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto (x\mapsto gx),$

   ein Gruppenhomomorphismus.

2. Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus

   $\varphi \colon G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto \varphi (x),$

   vorliegt, so wird durch

   $G\times M\longrightarrow M,\,(g,x)\longmapsto (\varphi (g))(x),$

   eine Gruppenoperation von ${}G$ auf ${}M$ definiert.

Lösung

1. Zu  ${}g\in G$  sei

   $\varphi _{g}\colon M\longrightarrow M,\,x\longmapsto gx,$

   die zugehörige Abbildung. Es ist

   ${}{\begin{aligned}\varphi _{gh}(x)&=(gh)x\\&=g(hx)\\&=\varphi _{g}(hx)\\&=\varphi _{g}(\varphi _{h}(x))\\&=(\varphi _{g}\circ \varphi _{h})(x).\end{aligned}}$

   Daher ist die Zuordnung

   $G\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(M,M\right)},\,g\longmapsto \varphi _{g},$

   mit den Verknüpfungen verträglich. Ferner ist

   ${}\varphi _{e_{G}}(x)=e_{G}x=x\,,$

   also ist ${}\varphi _{e_{G}}$ die Identität. Für jedes  ${}g\in G$  ist

   ${}\varphi _{g}\circ \varphi _{g^{-1}}=\varphi _{gg^{-1}}=\varphi _{e_{G}}=\operatorname {Id} _{M}\,$

   (ebenso für die umgekehrte Reihenfolge) und daher ist ${}\varphi _{g}$ bijektiv. Also gehört ${}\varphi _{g}$ zur Permutationsgruppe ${}\operatorname {Perm} \,(M)$. Somit liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

   $G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto \varphi _{g},$

   vor.

2. Es ist

   ${}e_{G}x=\varphi (e_{G})(x)=\operatorname {Id} _{G}(x)=x\,$

   und

   ${}(gh)x=(\varphi (gh))(x)=(\varphi (g)\circ \varphi (h))(x)=(\varphi (g))((\varphi (h))(x))=g(hx)\,.$

   Also liegt eine Gruppenoperation vor.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und

$\rho \colon G\longrightarrow K^{\times }$

eine eindimensionale Darstellung von ${}G$ in einen Körper ${}K$. Zeige, dass ${}\rho$ durch die Abelianisierung von ${}G$ faktorisiert.

Lösung

Die multiplikative Gruppe des Körpers ist kommutativ. Deshalb werden alle Kommutatoren ${}ghg^{-1}h^{-1}$ von ${}G$ auf ${}1$ abgebildet und gehören zum Kern. Damit gehört die Kommutatoruntergruppe von ${}G$ zum Kern und die Abbildung faktorisiert nach dem Homomorphiesatz durch ${}G/K(G)$, also durch die Abelianisierung.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}X$ eine Menge, auf der eine Gruppe ${}G$ operiere, und sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine Abbildung in eine weitere Menge ${}Y$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann ${}G$- invariant ist, wenn das Diagramm

${\begin{matrix}G\times X&{\stackrel {\nu }{\longrightarrow }}&X&\\\!\!\!\!\!p_{2}\downarrow &&\downarrow \varphi \!\!\!\!\!&\\X&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&Y&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert, wobei ${}\nu$ die Gruppenoperation und ${}p_{2}$ die zweite Projektion bezeichnet.

Lösung

Die Kommutativität des Diagramms bedeutet

${}\varphi (\nu (g,x))=\varphi (p_{2}(g,x))\,$

für alle  ${}g\in G$  und alle  ${}x\in X$.  Dies bedeutet

${}\varphi (gx)=\varphi (x)\,$

für alle  ${}g\in G$  und alle  ${}x\in X$,  was genau die Definition der ${}G$-Invarianz ist (mit der trivialen Operation auf ${}Y$).

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Invariantenringe zu einem Normalteiler  ${}H\subseteq G$. 

Lösung

Die Operation ist zunächst wohldefiniert, d.h. unabhängig vom Repräsentanten. Es seien dazu  ${}\sigma ,\sigma '\in G$  mit  ${}\sigma '\sigma ^{-1}\in H$  gegeben und  ${}f\in R^{H}$.  Dann ist

${}f\sigma '=f\sigma '\sigma ^{-1}\sigma =f\sigma \,.$

Wegen der Normalteilereigenschaft gibt es für  ${}\sigma \in G$  und  ${}\tau \in H$  ein  ${}\tau '\in H$  mit  ${}\sigma \tau =\tau '\sigma$.  Für  ${}f\in R^{H}$  ist

${}(f\sigma )\tau =f\tau '\sigma =f\sigma \,$

und somit gehört ${}f\sigma$ ebenfalls zu ${}R^{H}$. Wir haben also eine Abbildung

$R^{H}\times G\longrightarrow R^{H}.$

Diese Abbildung ist in der Tat eine Gruppenoperation. Das neutrale Element wirkt identisch und die Assoziativität ergibt sich aus

${}f([\sigma ][\tau ])=f[\sigma \tau ]=f(\sigma \tau )=(f\sigma )\tau =(f[\sigma ])\tau =(f[\sigma ])[\tau ]\,.$

Es liegt also eine Operation von ${}G$ auf ${}R^{H}$ vor, und da die Elemente  ${}\sigma \in H$  identisch wirken, induziert dies eine Operation von ${}G/H$ auf ${}R^{H}$. Bei den Abbildungen ${}f\mapsto f\sigma$ handelt es sich um Ringautomorphismen auf ${}R^{H}$, da es sich um Einschränkungen von Ringautomorphismen auf ${}R$ handelt, wobei sich die Surjektivität aus der Existenz von ${}\sigma ^{-1}$ ergibt.

Wir kommen zur Gleichheit

${}R^{G}={\left(R^{H}\right)}^{G/H}\,.$

Zum Beweis der Inklusion ${}\subseteq$ sei  ${}f\in R^{G}$.  Dann ist insbesondere  ${}f\in R^{H}$.  Wegen  ${}f[\sigma ]=f\sigma =f$  ist ${}f$ auch ${}G/H$- invariant. Zum Beweis der Inklusion ${}\supseteq$ sei  ${}f\in {\left(R^{H}\right)}^{G/H}\subseteq R^{H}$.  Doch dann ist für  ${}\sigma \in G$  wiederum  ${}f\sigma =f[\sigma ]=f$. 

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}S$ Integritätsbereiche und sei  ${}R\subseteq S$  eine ganze Ringerweiterung. Es sei  ${}f\in R$  ein Element, das in ${}S$ eine Einheit ist. Zeige, dass ${}f$ dann schon in ${}R$ eine Einheit ist.

Lösung

Es sei ${}s\in S$ das Inverse von ${}f$, also ${}fs=1$. Da ${}S$ ganz über ${}R$ ist, gibt es eine Ganzheitsgleichung für ${}s$, sagen wir

$s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}=0$

mit ${}a_{i}\in R$. Wir multiplizieren diese Gleichung mit ${}f^{n}$ und erhalten

$(fs)^{n}+a_{n-1}f(fs)^{n-1}+\cdots +a_{1}f^{n-1}(fs)+a_{0}f^{n}=0$

bzw.

$1+a_{n-1}f+\cdots +a_{1}f^{n-1}+a_{0}f^{n}=0.$

Ausklammern von ${}f$ ergibt

$1+f(a_{n-1}+\cdots +a_{1}f^{n-2}+a_{0}f^{n-1})=0$

und damit

$f(-a_{n-1}-\cdots -a_{1}f^{n-2}-a_{0}f^{n-1})=1,$

wobei der Ausdruck in der Klammer zu ${}R$ gehört. Also besitzt ${}f$ auch ein Inverses in ${}R$.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

an, deren Ordnung ${}2$ ist und die keine Isometrie ist.

Lösung

Wir betrachten

${}M={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}\,.$

Es ist

${}M^{2}={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$

die Ordnung ist also ${}2$. Es liegt keine Isometrie vor, da der erste Standardvektor ${}e_{1}$ auf ${}2e_{2}$, also auf einen Vektor der Länge ${}2$ abgebildet wird.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$. Wir betrachten die Operation von ${}\mathbb {Z} /(2)$ auf ${}\operatorname {Spek} {\left(K[T]\right)}$, wobei das nichttriviale Element durch ${}T\mapsto -T$ operieren möge. Bestimme die Fixpunkte dieser Operation.

Lösung

Die Primideale in ${}K[T]$ sind das Nullideal und die Primhauptideale

${}{\mathfrak {p}}=(F)\,,$

wobei ${}F$ ein irrduzibles Polynom ist. Das Nullideal ist ein Fixpunkt, da ja bei jedem Ringautomorphismus das Urbild der ${}0$ die ${}0$ ist. Das Urbild von ${}(F)$ zum angegebenen (nichttrivialen) Automorphismus ist ${}(F{\frac {-T}{T}})$, in ${}F$ wird also überall ${}T$ durch ${}-T$ ersetzt. Wenn in ${}F$ nur Potenzen von ${}T$ mit einem geraden Exponenten vorkommen, so wird dieses Primideal auf sich selbst abgebildet und ist ein Fixpunkt. Das Primideal ${}(T)$ wird auf ${}(-T)$, also auf sich selbst abgebildet, und ist ebenfalls ein Fixpunkt. Wir behaupten, dass es keine weiteren Fixpunkte gibt. Die Fixpunktbedingugn kann man als

${}F{\frac {-T}{T}}=uF\,$

schreiben, wobei ${}u$ eine Einheit, also eine Konstante ${}\neq 0$ ist. Wenn in ${}F$ der konstante Term gleich ${}0$ ist, so muss wegen der Primeigenschaft  ${}(F)=(T)$  sein. Der konstante Term ist also nicht ${}0$. Dann impliziert die Bedingung, dass  ${}u=1$  ist. Doch dann kann die Bedingung nur erfüllt sein, wenn nur Potenzen mit geraden Exponenten vorkommen.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne

${\left(3T^{0}-2T^{1}+5T^{2}\right)}\cdot {\left(4T^{0}-6T^{1}+5T^{2}\right)}$

im Monoidring ${}\mathbb {Z} /(7)[\mathbb {Z} /(3)]$ über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(3T^{0}-2T^{1}+5T^{2}\right)}\cdot {\left(4T^{0}-6T^{1}+5T^{2}\right)}&={\left(3T^{0}+5T^{1}+5T^{2}\right)}\cdot {\left(4T^{0}+T^{1}+5T^{2}\right)}\\&=5T^{0}+3T^{1}+T^{2}+6T^{1}+5T^{2}+4T^{0}+6T^{2}+5T^{0}+4T^{1}\\&=6T+5T^{2}.\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass es eine nichtalgebraische Darstellung der multiplikativen Gruppe ${}\mathbb {R} ^{\times }$ in ${}\mathbb {R} ^{2}$ gibt, die reduzibel ist, aber keine Zerlegung in eindimensionale Darstellungen erlaubt.

Lösung

Wir betrachten die nichtalgebraische Darstellung

$\mathbb {R} ^{\times }\longrightarrow \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,z\longmapsto {\begin{pmatrix}1&\ln \vert {z}\vert \\0&1\end{pmatrix}}.$

Dies ist ein Gruppenhomomorphismus, da er sich in der Form

${\left(\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot \right)}{\stackrel {\vert {-}\vert }{\longrightarrow }}{\left(\mathbb {R} _{+},1,\cdot \right)}{\stackrel {\ln \left(-\right)}{\longrightarrow }}{\left(\mathbb {R} ,0,+\right)}{\stackrel {u\mapsto {\begin{pmatrix}1&u\\0&1\end{pmatrix}}}{\longrightarrow }}\operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

zusammensetzt. Der Untervektorraum ${}\mathbb {R} e_{1}$ ist invariant unter der Operation, die dort die identische Operation induziert. Die Operation ist also nicht irreduzibel. Aus der Bedingung

${}{\begin{pmatrix}1&\ln \vert {z}\vert \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+{\left(\ln \vert {z}\vert \right)}y\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {!}{=}}\lambda {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit  ${}y\neq 0$  folgt direkt  ${}\lambda =1$,  was keine Lösung besitzt. Es gibt also außer ${}\mathbb {R} e_{1}$ keinen weiteren Eigenraum und damit auch keinen weiteren eindimensionalen invarianten Untervektorraum. Daher kann die Darstellung nicht als direkte Summe von einfacheren Darstellungen geschrieben werden.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Maschke.

Lösung

Aufgrund von Lemma 9.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) kann man  ${}V=U\oplus W'$  mit einem ${}K$- Untervektorraum ${}W'$ schreiben, und man hat eine Projektion (längs ${}W'$)

$\pi \colon V\longrightarrow U$

mit  ${}\pi \circ \iota =\operatorname {Id} _{U}$,  wobei ${}\iota$ die Einbettung  ${}U\subseteq W$  bezeichnet. Wir betrachten die lineare Abbildung (mit ${}n=\operatorname {ord} {\left(G\right)}$; dies ist eine Einheit in ${}K$)

$\psi \colon V\longrightarrow V,\,v\longmapsto {\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(\pi (g(v))).$

Für  ${}u\in U$  ist (wegen ${}g(u)\in U$ und da ${}\pi$ auf ${}U$ die Identität ist)

${}{\begin{aligned}\psi (u)&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(\pi (g(u)))\\&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(g(u))\\&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}u\\&=u\end{aligned}}$

und das Bild von ${}\psi$ ist gleich ${}U$, d.h. ${}\psi$ ist ebenfalls eine Projektion auf ${}U$. Allerdings ist diese Projektion zusätzlich ${}G$- verträglich. Für  ${}h\in G$  ist nämlich (mit ${}f=gh$)

${}{\begin{aligned}\psi (hv)&={\frac {1}{n}}\sum _{g\in G}g^{-1}(\pi (g(hv)))\\&={\frac {1}{n}}\sum _{f\in G}(hf^{-1})(\pi (f(v)))\\&=h{\left({\frac {1}{n}}\sum _{f\in G}f^{-1}(\pi (f(v)))\right)}\\&=h{\left(\psi (v)\right)}.\end{aligned}}$

Wir setzen nun  ${}W:=\operatorname {kern} \psi$.  Als Kern einer mit der Operation verträglichen linearen Abbildung ist ${}W$ nach Lemma 28.5 (Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)) ebenfalls ${}G$-invariant, und es ist offenbar  ${}V=U\oplus W$. 

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige explizit, dass durch die Zuordnung

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left(K\right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{3}\!{\left(K\right)},\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{pmatrix}},$

ein Gruppenhomomorphismus gegeben ist. Ist diese Abbildung injektiv?

Lösung

Es ist

${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}}\,.$

Das Produkt der beiden Bildmatrizen ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\begin{pmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{2}&2ef&f^{2}\\eg&eh+fg&fh\\g^{2}&2gh&h^{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a^{2}e^{2}+2abeg+b^{2}g^{2}&2a^{2}ef+2abeh+2abfg+2b^{2}gh&a^{2}f^{2}+2abfh+b^{2}h^{2}\\ace^{2}+adeg+bceg+bdg^{2}&2acef+adeh+adfg+bceh+bcfg+2bdgh&acf^{2}+adfh+bcfh+bdh^{2}\\c^{2}e^{2}+2cdeg+d^{2}g^{2}&2c^{2}ef+2cdeh+2cdfg+2d^{2}gh&c^{2}f^{2}+2cdfh+d^{2}h^{2}\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$

Das Bild der Produktmatrix ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\begin{pmatrix}{\left(ae+bg\right)}^{2}&2{\left(ae+bg\right)}{\left(af+bh\right)}&{\left(af+bh\right)}^{2}\\{\left(ae+bg\right)}{\left(ce+dg\right)}&{\left(ae+bg\right)}{\left(cf+dh\right)}+{\left(af+bh\right)}{\left(ce+dg\right)}&{\left(af+bh\right)}{\left(cf+dh\right)}\\{\left(ce+dg\right)}^{2}&2{\left(ce+dg\right)}{\left(cf+dh\right)}&{\left(cf+dh\right)}^{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a^{2}e^{2}+2abeg+b^{2}g^{2}&2a^{2}ef+2abeh+2abfg+2b^{2}gh&a^{2}f^{2}+2abfh+b^{2}h^{2}\\ace^{2}+adeg+bceg+bdg^{2}&adeh+bcfg+2acef+adfg+bceh+2bdgh&acf^{2}+adfh+bcfh+bdh^{2}\\c^{2}e^{2}+2cdeg+d^{2}g^{2}&2c^{2}ef+2cdeh+2cdfg+2d^{2}gh&c^{2}f^{2}+2cdfh+d^{2}h^{2}\end{pmatrix}},\,\end{aligned}}$

was übereinstimmt. Somit ist die Zuordnung mit der Verküpfung verträglich. Die Determinante der Bildmatrix ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{pmatrix}}&=a^{2}{\left({\left(ad+bc\right)}d^{2}-2bcd^{2}\right)}-2ab{\left(acd^{2}-bc^{2}d\right)}+b^{2}{\left(2ac^{2}d-c^{2}{\left(ad+bc\right)}\right)}\\&=a^{2}d^{2}{\left(ad-bc\right)}-2abcd{\left(ad-bc\right)}+b^{2}c^{2}{\left(ad-bc\right)}\\&={\left(ad-bc\right)}{\left(a^{2}d^{2}-2abcd+b^{2}c^{2}\right)}\\&={\left(ad-bc\right)}{\left(ad-bc\right)}^{2}\\&={\left(ad-bc\right)}^{3}.\end{aligned}}$

Daher werden invertierbare Matrizen auf invertierbare Matrizen geschickt und es liegt ein Gruppenhomomorphismus der allgemeinen linearen Gruppen vor. Die Abbildung ist nicht injektiv, da ${}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ auf die Einheitsmatrix abgebildet wird.

Aufgabe (6 (2+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten auf dem  ${}V=K^{n}$  die Operation der multiplikativen Gruppe ${}K^{\times }$ eines algebraisch abgeschlossenen Körpers ${}K$, die durch

$K^{\times }\times K^{n}\longrightarrow K^{n},\,\left(t,\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\longmapsto \left(t^{a_{1}}x_{1},\,\ldots ,\,t^{a_{n}}x_{n}\right)$

zu einem fixierten Tupel  ${}\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in \mathbb {Z} ^{n}$  gegeben ist.

a) Bestimme ${}V^{G}$.

b) Bestimme das ${}K^{\times }$- invariante Komplement von ${}V^{G}$.

c) Zeige, dass die Projektion

$V\longrightarrow V^{G}$

${}G$- verträglich ist.

d) Zeige, dass die Zerlegung von ${}V$ in irreduzible Untervektorräume nicht eindeutig bestimmt sein muss.

Lösung

a) Es ist

${}V^{G}=K\langle e_{i},\,a_{i}=0\rangle \,.$

Dabei ist ${}\supseteq$ direkt klar. Die andere Inklusion ist klar, da es zu jedem  ${}a\neq 0$  wegen der algebraischen Abgeschlossenheit (entscheidend ist die Unendlichkeit) ein  ${}t\in K^{\times }$  gibt mit  ${}t^{a}\neq 1$. 

b) Es ist

${}W=K\langle e_{i},\,a_{i}\neq 0\rangle \,$

ein direktes Komplement zu ${}V^{G}$. Dieser Raum ist ${}G$-invariant, da überhaupt jeder eindimensionale Raum ${}Ke_{i}$ invariant ist.

c) Zu ${}\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ und ${}\left(t^{a_{1}}x_{1},\,\ldots ,\,t^{a_{n}}x_{n}\right)$ unterscheiden sich die Einträge mit  ${}a_{i}=0$  nicht und deshalb stimmt auch die Gesamtprojektion auf diese Komponenten überein.

d) Es seien beispielsweise alle  ${}a_{i}=0$  und  ${}n\geq 2$.  Dann ist jede vollständige Zerlegung in eindimensionale Untervektorräume eine Zerlegung in irreduzible invariante Untervektorräume.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die additive Gruppe ${}{\left({\mathbb {C} },+,0\right)}$ keine kompakte Untergruppe enthält, die in der Zariski-Topologie dicht ist.

Lösung

Die triviale Gruppe ${}\{0\}$ ist kompakt, aber nicht Zariski-dicht. Sobald eine Untergruppe  ${}G\subseteq ({\mathbb {C} },0,+)$  eine Zahl  ${}w\neq 0$  enthält, enthält die Gruppe bereits die Folge ${}\mathbb {N} w$, die die diskrete Topologie trägt und keine konvergetne Teilfolge enthält. Daher kann ${}G$ nicht kompakt sein.