Kurs:Invariantentheorie/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	10	4	4	3	8	10	5	2	4	2	7	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das ${}i$-te elementarsymmetrische Polynom in ${}n$ Variablen.
2. Eine ${}D$-graduierte ${}R$- Algebra ${}A$, wobei ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}R$ ein kommutativer Ring ist.
3. Ein endlicher Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Eine kommutative Hopfalgebra ${}H$ über eienm kommutativen Ring ${}K$.
5. Eine Pseudoreflektion auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
6. Eine vollständig reduzible Darstellung

   $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

   einer Gruppe ${}G$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Graduierung des Invariantenringes bei einer linearen Operation.
2. Der Satz über die Primvermeidung.
3. Der Satz von Maschke über eine endliche Gruppe.

Aufgabe * (10 (1+2+2+1+1+2+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten zu jedem  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  die Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)\longmapsto \left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right),$

die einem Nullstellentupel ${}\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)$ das Koeffiziententupel ${}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ (ohne die ${}1$) des normierten Polynoms

${}(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})\cdots (X-\lambda _{n})=P=c_{0}+c_{1}X+\cdots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n}\,$

zuordnet.

1. Beschreibe ${}\varphi$ explizit für  ${}n=2$. 
2. Beschreibe ${}\varphi$ explizit für  ${}n=3$. 
3. Begründe, dass die ${}\varphi$ polynomiale Abbildungen sind.
4. Zeige, dass die Fasern von ${}\varphi$ endlich sind.
5. Wann ist die Faser zu einem Tupel ${}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ leer?
6. Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für  ${}K=\mathbb {R}$  erreicht wird.
7. Es sei ${}K$ nun algebraisch abgeschlossen. Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper (mit ${}q$ Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  eine zyklische Untergruppe, die von  ${}\varphi \in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  erzeugt werde. Zeige, dass ein Untervektorraum  ${}U\subseteq K^{n}$  genau dann ${}G$- invariant ist, wenn er ${}\varphi$- invariant ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe eine Matrix  ${}M\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Q} \right)}$  der Ordnung ${}4$ an.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über Charaktere und Automorphismen bei graduierten Algebren.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Hilbertschen Basissatz.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass auf dem Polynomring ${}K[X]$ durch die ${}K$- Algebrahomomorphismen

$\Delta \colon K[X]\longrightarrow K[X]\otimes _{K}K[X]\cong K[X,Y],\,X\longmapsto X\otimes 1+1\otimes X=X+Y,$

$\epsilon \colon K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 0,$

und

$S\colon K[X]\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto -X,$

eine Hopf-Struktur erklärt wird.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Nullstellenmengen  ${}V{\left(X^{2}+YZ^{2}+Y^{m+1}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$  (mit ${}m\geq 1$) über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}0$ genau in  ${}P=(0,0,0)$  singulär sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die linearen Untergruppen der multiplikativen Gruppe ${}K^{\times }$ eines Körpers ${}K$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und sei ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ die zugehörge allgemeine lineare Gruppe. Zeige, dass ${}V$ unter der natürlichen Operation

$\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}\times V\longrightarrow V,\,(g,v)\longmapsto g(v),$

irreduzibel ist.

Aufgabe * (7 (2+5) Punkte)

a) Zeige, dass die drei Matrizen

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}}$

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden, die isomorph zur ${}\mathbb {Z} /(3)$ ist.

b) Finde für die in (a) beschriebene zweidimensionale Darstellung der Gruppe ${}\mathbb {Z} /(3)$ die Zerlegung in irreduzible eindimensionale Darstellungen über ${}{\mathbb {C} }$.