Kurs:Invariantentheorie/5/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	10	4	4	3	8	10	5	2	4	2	7	65

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das ${}i$-te elementarsymmetrische Polynom in ${}n$ Variablen.
2. Eine ${}D$-graduierte ${}R$- Algebra ${}A$, wobei ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}R$ ein kommutativer Ring ist.
3. Ein endlicher Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Eine kommutative Hopfalgebra ${}H$ über eienm kommutativen Ring ${}K$.
5. Eine Pseudoreflektion auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
6. Eine vollständig reduzible Darstellung

   $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

   einer Gruppe ${}G$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

1. Das ${}i$-te elementarsymmetrische Polynom in ${}n$ Variablen ist das Polynom

   ${}E_{i}:=\sum _{1\leq k_{1}<\ldots <k_{i}\leq n}X_{k_{1}}\cdots X_{k_{i}}\,.$

2. Die ${}R$- Algebra ${}A$ heißt ${}D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

   ${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$

   mit ${}R$- Untermoduln ${}A_{d}$ derart gibt, dass  ${}R\subseteq A_{0}$  ist und für die Multiplikation auf ${}A$ die Beziehung

   ${}A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,$

   gilt.

3. Der Modul ${}M$ heißt endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem für ihn gibt.
4. Eine kommutative ${}K$- Algebra ${}H$ heißt Hopf-Algebra, wenn es fixierte ${}K$- Algebrahomomorphismen

   $\Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H,$

   $\epsilon \colon H\longrightarrow K$

   und

   $S\colon H\longrightarrow H$

   derart gibt, dass die Diagramme

   ${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\!\!\Delta \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}H&{\stackrel {\Delta \otimes \operatorname {Id} _{H}}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

   
   

   ${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   und

   ${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\,\,\epsilon \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\cdot S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\K&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutieren.

5. Eine Pseudoreflektion ist ein linearer Automorphismus, wenn er in einer geeigneten Basis durch eine Matrix der Form

   ${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta \end{pmatrix}},$

   wobei  ${}\zeta \neq 1$  eine Einheitswurzel ist, beschrieben werden kann.

6. Die Darstellung

   $\rho \colon G\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$

   heißt vollständig reduzibel, wenn ${}V$ die direkte Summe aus ${}G$- invarianten Untervektorräumen ist, die jeweils irreduzibel sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Graduierung des Invariantenringes bei einer linearen Operation.
2. Der Satz über die Primvermeidung.
3. Der Satz von Maschke über eine endliche Gruppe.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und

   $G\times V\longrightarrow V$

   eine lineare Operation einer Gruppe ${}G$ auf ${}V$.

   Dann ist der Fixring  ${}R^{G}\subseteq R=K[V]$  der induzierten Operation auf dem Polynomring ${}K[V]$ ein ${}\mathbb {N}$- graduierter Unterring.

   Dabei ist

   ${}{\left(R^{G}\right)}_{d}=(R_{d})^{G}\,,$

   die ${}d$-te Stufe des Fixringes ist der Fixraum

   der induzierten Operation auf der ${}d$-ten Stufe des Polynomringes.
2. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal und ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}$ eine endliche Familie von Primidealen. Es gelte  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{i}$.  Dann ist  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}_{i}$  für ein ${}i$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G$ eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von ${}K$ sei. Dann ist ${}G$ linear reduktiv.

Aufgabe weiter

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten zu jedem  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$  die Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)\longmapsto \left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right),$

die einem Nullstellentupel ${}\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)$ das Koeffiziententupel ${}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ (ohne die ${}1$) des normierten Polynoms

${}(X-\lambda _{1})(X-\lambda _{2})\cdots (X-\lambda _{n})=P=c_{0}+c_{1}X+\cdots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n}\,$

zuordnet.

1. Beschreibe ${}\varphi$ explizit für  ${}n=2$. 
2. Beschreibe ${}\varphi$ explizit für  ${}n=3$. 
3. Begründe, dass die ${}\varphi$ polynomiale Abbildungen sind.
4. Zeige, dass die Fasern von ${}\varphi$ endlich sind.
5. Wann ist die Faser zu einem Tupel ${}\left(c_{0},\,c_{1},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ leer?
6. Was ist die maximale Anzahl in einer Faser? Man gebe Beispiele, dass diese Maximalanzahl für  ${}K=\mathbb {R}$  erreicht wird.
7. Es sei ${}K$ nun algebraisch abgeschlossen. Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

Lösung

1. Bei  ${}n=2$  handelt es sich wegen

   ${}{\left(X-\lambda _{1}\right)}{\left(X-\lambda _{2}\right)}=X^{2}-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}\right)}X+\lambda _{1}\lambda _{2}\,$

   um die Abbildung

   $\varphi \colon K^{2}\longrightarrow K^{2},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2}\right)\longmapsto \left(\lambda _{1}\lambda _{2},\,-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}\right)}\right).$

2. Bei  ${}n=3$  handelt es sich wegen

   ${}{\left(X-\lambda _{1}\right)}{\left(X-\lambda _{2}\right)}{\left(X-\lambda _{3}\right)}=X^{3}-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\right)}X^{2}+{\left(\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3}\right)}X-\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\,$

   um die Abbildung

   $\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{3},\,\left(\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\lambda _{3}\right)\longmapsto \left(-\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3},\,\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3},\,-{\left(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\right)}\right).$

3. Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}k$ zwischen ${}0$ und ${}n-1$ fixiert. Dann ist der Koeffizient ${}c_{k}$ des Polynoms ${}\prod _{i=1}^{n}{\left(X-\lambda _{i}\right)}$ aufgrund des Distributivgesetzes gleich

   $\pm \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{n-k}\leq n}\lambda _{i_{1}}\lambda _{i_{2}}\cdots \lambda _{i_{n-k}},$

   wobei das Vorzeichen von der Parität von ${}n-k$ abhängt. Somit liegt in jeder Komponente eine polynomiale Abbildung vor.

4. Ein Tupel ${}\left(\lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda _{n}\right)$ gehört genau dann zur Faser über dem Koeffiziententupel ${}\left(c_{0},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$, wenn

   ${}\prod _{i=1}^{n}{\left(X-\lambda _{i}\right)}=\sum _{j=0}^{n-1}c_{j}X^{j}+X^{n}=P\,$

   ist. Dies bedeutet insbesondere, dass die ${}\lambda _{i}$ Nullstellen von ${}P$ sein müssen. Da ein Polynom nur endliche viele Nullstellen besitzt, gibt es auch nur endlich viele Permutationen davon.

5. Die Faser zu einem Koeffiziententupel ${}\left(c_{0},\,\ldots ,\,c_{n-1}\right)$ ist genau dann leer, wenn das dadurch gegebene Polynom ${}\sum _{j=0}^{n-1}c_{j}X^{j}+X^{n}$ nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt.
6. Die maximale Anzahl in einer Faser ist ${}n!$. Die Faser besteht aus den (geordneten) Nullstellentupeln zu dem durch das Koeffiziententupel gegebenen Polynom, wenn dieses vollständig in Linearfaktoren zerfällt (andernfalls ist die Faser leer). Da es maximal ${}n$ Nullstellen gibt, kann man höchstens ${}n!$ geordnete Tupel daraus bilden. Wenn es ${}n$ verschiedene Nullstellen gibt, so kann man daraus durch Permutationen genau ${}n!$ geordnete Tupel bilden. Beispielsweise wird das Nullstellentupel ${}\left(1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,n\right)$ auf ein Koeffiziententupel abgebildet, dessen Faser aus all den Permutationen davon besteht.
7. Wenn ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist, so zerfällt jedes normierte Polynom in normierte Linearfaktoren, was nach Teil (5) bedeutet, dass die Faser nicht leer ist. Dies bedeutet insgesamt die Surjektivität von ${}\varphi$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper (mit ${}q$ Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}.$

Lösung

Es sei ${}M=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ eine invertierbare Matrix über ${}{\mathbb {F} }_{q}$. Dies bedeutet, dass die Spaltenvektoren eine Basis von ${}{\mathbb {F} }_{q}^{n}$ bilden und dies bedeutet wiederum, dass die ${}v_{1},\ldots ,v_{i}$ einen ${}i$-dimensionalen Untervektorraum erzeugen. Ein ${}i$-dimensionaler Untervektorraum besitzt ${}q^{i}$ Elemente. Wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{i}$ fixiert sind, so gibt es ${}q^{n}-q^{i}$ Vektoren ${}v_{i+1}$, die sicherstellen, dass der von den Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1}$ erzeugte Untervektorraum eine Dimension mehr hat. Daher ist die Gesamtzahl von solchen Matrizen gleich

${}{\begin{aligned}(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\cdots (q^{n}-q^{n-1})&=qq^{2}\cdots q^{n-1}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q-1)\\&=q^{\binom {n}{2}}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q-1).\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  eine zyklische Untergruppe, die von  ${}\varphi \in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  erzeugt werde. Zeige, dass ein Untervektorraum  ${}U\subseteq K^{n}$  genau dann ${}G$- invariant ist, wenn er ${}\varphi$- invariant ist.

Lösung erstellen

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe eine Matrix  ${}M\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Q} \right)}$  der Ordnung ${}4$ an.

Lösung

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,.$

Dann ist

${}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.$

Ferner ist

${}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}^{4}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$

also ist die Ordnung gleich ${}4$.

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über Charaktere und Automorphismen bei graduierten Algebren.

Lösung

Zu jedem Charakter

$\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$

ist die durch

 ${}\varphi _{\chi }{\left(\sum _{d\in D}a_{d}\right)}=\sum _{d\in D}\chi (d)\cdot a_{d}$  definierte Abbildung ${}\varphi _{\chi }$ mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente ${}a_{d}\in A_{d}$ und ${}a_{e}\in A_{e}$ aus

${}\varphi _{\chi }(a_{d}\cdot a_{e})=\chi (d+e)a_{d}\cdot a_{e}=\chi (d)\cdot \chi (e)a_{d}\cdot a_{e}=\varphi _{\chi }(a_{d})\cdot \varphi _{\chi }(a_{e})\,,$

woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für  ${}a\in A_{0}$  (und insbesondere für ${}a\in K$) ist ferner  ${}\varphi _{\chi }(a)=\chi (0)a=a$,  sodass ein ${}K$- Algebrahomomorphismus vorliegt.
Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere  ${}\chi _{1},\chi _{2}\in \operatorname {Char} \,(D,K)$  gegeben. Für ein homogenes Element  ${}a_{d}\in A_{d}$  ist

${}{\begin{aligned}\varphi _{\chi _{1}\cdot \chi _{2}}(a_{d})&={\left(\chi _{1}\cdot \chi _{2}\right)}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \chi _{2}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\\&=\varphi _{\chi _{1}}{\left(\varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\right)}\\&={\left(\varphi _{\chi _{1}}\circ \varphi _{\chi _{2}}\right)}(a_{d}),\end{aligned}}$

sodass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch

${}\varphi _{\chi }\circ \varphi _{\chi ^{-1}}=\varphi _{\chi \circ \chi ^{-1}}=\varphi _{1}=\operatorname {Id} _{A}\,,$

sodass jedes ${}\varphi _{\chi }$ ein ${}K$- Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist.
Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Lemma 44.22 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) folgendermaßen. Bei  ${}\chi \neq 1$  gibt es ein  ${}d\in D$  mit  ${}\chi (d)\neq 1$.  Nach Voraussetzung ist

${}A_{d}\neq 0\,,$

sei also ${}a\in A_{d}$, ${}a\neq 0$. Damit ist  ${}\varphi _{\chi }(a)=\chi (d)a\neq a$,  da ${}\chi (d)-1$ eine Einheit ist. Also ist  ${}\varphi _{\chi }\neq \operatorname {Id} _{A}$. 

Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Hilbertschen Basissatz.

Lösung

Es sei ${}{\mathfrak {b}}$ ein Ideal im Polynomring ${}R[X]$. Zu  ${}n\in \mathbb {N}$  definieren wir ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ in ${}R$ durch

${}{\mathfrak {a}}_{n}={\left\{c\in R\mid {\text{es gibt }}F\in {\mathfrak {b}}{\text{ mit }}F=cX^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\right\}}\,.$

Das Menge ${}{\mathfrak {a}}_{n}$ besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad ${}n$ aus ${}{\mathfrak {b}}$. Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in ${}R$ (wobei wir hier ${}0$ als Leitkoeffizient zulassen). Ferner ist  ${}{\mathfrak {a}}_{n}\subseteq {\mathfrak {a}}_{n+1}$,  da man ja ein Polynom ${}F$ vom Grad ${}n$ mit Leitkoeffizient ${}c$ mit der Variablen ${}X$ multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad ${}n+1$ zu erhalten, das wieder ${}c$ als Leitkoeffizienten besitzt. Da ${}R$ noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei ${}n$ derart, dass  ${}{\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{n+1}=\ldots$  ist.

Zu jedem  ${}i\leq n$  sei nun  ${}{\mathfrak {a}}_{i}=(c_{i1},\ldots ,c_{ik_{i}})$  ein endliches Erzeugendensystem, und es seien

${}F_{ij}=c_{ij}X^{i}+{\text{ Terme von kleinerem Grad }}\,$

zugehörige Polynome aus ${}{\mathfrak {b}}$ (die es nach Definition der ${}{\mathfrak {a}}_{i}$ geben muss).

Wir behaupten, dass ${}{\mathfrak {b}}$ von allen ${}{\left\{F_{ij}\mid 0\leq i\leq n,\,1\leq j\leq k_{i}\right\}}$ erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes  ${}G\in {\mathfrak {b}}$  durch Induktion über den Grad von ${}G$, dass es als ${}R$-Linearkombination mit diesen ${}F_{ij}$ darstellbar ist. Für ${}G$ konstant, also  ${}G\in R$,  ist dies klar. Es sei nun der Grad von ${}G$ gleich ${}d$ und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben

${}G=cX^{d}+c_{d-1}X^{d-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,.$

Es ist  ${}c\in {\mathfrak {a}}_{d}$  und damit kann man ${}c$ als ${}R$-Linearkombination der ${}c_{ij}$, ${}0\leq i\leq n$, ${}1\leq j\leq k_{i}$, schreiben. Bei  ${}d\leq n$  kann man ${}c$ sogar als ${}R$-Linearkombination der ${}c_{dj}$, ${}j=1,\ldots ,k_{d}$, schreiben, sagen wir  ${}c=\sum _{j=1}^{k_{d}}r_{j}c_{dj}$.  Dann ist  ${}G-\sum _{j=1}^{k_{d}}r_{j}F_{dj}\in {\mathfrak {b}}$  und hat einen kleineren Grad, sodass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei  ${}d>n$  ist

${}c=\sum _{i=0,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,k_{i}}r_{ij}c_{ij}\,.$

Damit gehört

$G-\sum _{i=0,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,k_{i}}r_{ij}X^{d-i}F_{ij}$

ebenfalls zu ${}{\mathfrak {b}}$ und hat einen kleineren Grad, sodass man wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass auf dem Polynomring ${}K[X]$ durch die ${}K$- Algebrahomomorphismen

$\Delta \colon K[X]\longrightarrow K[X]\otimes _{K}K[X]\cong K[X,Y],\,X\longmapsto X\otimes 1+1\otimes X=X+Y,$

$\epsilon \colon K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 0,$

und

$S\colon K[X]\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto -X,$

eine Hopf-Struktur erklärt wird.

Lösung

Wir müssen die Eigenschaften einer Hopf-Struktur nachweisen. Da alle Homomorphismen in den relevanten Diagrammen ${}K$- Algebrahomomorphismen sind, die von ${}K[X]$ ausgehen, genügt es, zu zeigen, dass die Variable ${}X$ unabhängig vom Weg letztlich auf das gleiche Element abgebildet wird.

Zur Koassoziativität.

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left({\left(\operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \right)}\circ \Delta \right)}(X)&={\left(\operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \right)}{\left(\Delta (X)\right)}\\&={\left(\operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \right)}{\left(X\otimes 1+1\otimes X\right)}\\&=X\otimes \Delta (1)+1\otimes \Delta (X)\\&=X\otimes 1\otimes 1+1\otimes {\left(X\otimes 1+1\otimes X\right)}\\&=X\otimes 1\otimes 1+1\otimes X\otimes 1+1\otimes 1\otimes X.\end{aligned}}$

Das Gleiche ergibt sich, wenn man ${}{\left({\left(\Delta \otimes \operatorname {Id} _{H}\right)}\circ \Delta \right)}(X)$ auswertet.

Nachweis der Koeinheit.

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left({\left(\epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\right)}\circ \Delta \right)}(X)&={\left(\epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\right)}{\left(\Delta (X)\right)}\\&={\left(\epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\right)}{\left(X\otimes 1+1\otimes X\right)}\\&=\epsilon (X)\otimes 1+\epsilon (1)\otimes X\\&=0\otimes 1+1\otimes X\\&=1\otimes X.\end{aligned}}$

Nachweis des Koinversen.

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left({\left(\operatorname {Id} _{H}\cdot S\right)}\circ \Delta \right)}(X)&={\left(\operatorname {Id} _{H}\cdot S\right)}{\left(\Delta (X)\right)}\\&={\left(\operatorname {Id} _{H}\cdot S\right)}{\left(X\otimes 1+1\otimes X\right)}\\&=X\cdot S(1)+1\cdot S(X)\\&=X+1\cdot (-X)\\&=0.\end{aligned}}$

Dies stimmt mit ${}\epsilon (X)$ überein.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Nullstellenmengen  ${}V{\left(X^{2}+YZ^{2}+Y^{m+1}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$  (mit ${}m\geq 1$) über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}0$ genau in  ${}P=(0,0,0)$  singulär sind.

Lösung

Die partiellen Ableitungen sind

$\left(2X,\,Z^{2}+(m+1)Y^{m},\,2YZ\right).$

Im Nullpunkt ${}(0,0,0)$ sind alle partiellen Ableitungen gleich ${}0$ und daher liegt eine Singularität vor. Wenn umgekehrt alle partiellen Ableitungen in einem Punkt ${}(x,y,z)$ gleich ${}0$ sind, so ist zunächst  ${}x=0$  und  ${}yz=0$.  Also ist  ${}y=0$  oder  ${}z=0$.  Daraus folgt mit der mittleren partiellen Ableitung, dass auch die andere Variable gleich ${}0$ ist. Singulär liegt also nur im Nullpunkt vor.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die linearen Untergruppen der multiplikativen Gruppe ${}K^{\times }$ eines Körpers ${}K$.

Lösung

Die Gruppe ${}K^{\times }$ selbst ist eine lineare Untergruppe. Jede echte lineare Untergruppe wird durch zumindest eine polynomiale Gleichung in einer Variablen beschrieben und besitzt daher nach Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) nur endlich viele Elemente. Umgekehrt kann jede endliche Teilmenge als die Nullstellenmenge eines Polynoms beschrieben werden. Daher geht es um die endlichen Untergruppen ${}G$ der multiplikativen Gruppe. ${}G$ besitze ${}n$ Elemente. Dann gilt für jedes  ${}x\in G$  nach dem Satz von Lagrange die Bedingung  ${}x^{n}=1$,  d.h. ${}x$ ist eine ${}n$-te Einheitswurzel. Die polynomiale Gleichung  ${}X^{n}=1$  besitzt also im vorliegenden Fall genau ${}n$ Lösungen, und die Gruppe ist die ${}n$-elementige Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und sei ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ die zugehörge allgemeine lineare Gruppe. Zeige, dass ${}V$ unter der natürlichen Operation

$\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}\times V\longrightarrow V,\,(g,v)\longmapsto g(v),$

irreduzibel ist.

Lösung

Es ist zu zeigen, dass es keinen echten invarianten Untervektorraum  ${}U\subseteq V$  gibt. Es sei  ${}u\in U$,   ${}u\neq 0$.  Dann gibt es aber zu jedem Vektor  ${}v\in V$  aufgrund des Basisergänzungssatzes und des Festlegungssatzes eine bijektive lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ mit

${}\varphi (u)=v\,.$

D.h. ${}U$ ist nur im Fall  ${}U=V$  invariant unter der Gruppe.

Aufgabe (7 (2+5) Punkte)

a) Zeige, dass die drei Matrizen

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}}$

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden, die isomorph zur ${}\mathbb {Z} /(3)$ ist.

b) Finde für die in (a) beschriebene zweidimensionale Darstellung der Gruppe ${}\mathbb {Z} /(3)$ die Zerlegung in irreduzible eindimensionale Darstellungen über ${}{\mathbb {C} }$.

Lösung

a) Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}^{2}&={\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}^{3}&={\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Daher liegt eine Gruppe vor, die von einem Element der Ordnung ${}3$ erzeugt wird, und die damit isomorph zur ${}\mathbb {Z} /(3)$ ist.

b) Da eine zyklische Gruppe vorliegt, geht es um die Eigenräume des Erzeugers ${}{\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}}$. Das charakteristische Polynom der Matrix ${}M$ ist

${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\begin{pmatrix}X+1&1\\-1&X\end{pmatrix}}\\&=(X+1)X+1\\&=X^{2}+X+1.\end{aligned}}$

Die Nullstellen davon sind

${}x_{1,2}=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\,,$

dies sind also die Eigenwerte. Der Kern von

${}{\begin{pmatrix}{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}+1&1\\-1&{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}&1\\-1&{\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}}\,$

ist ${}{\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}{\frac {1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\\-1\end{pmatrix}}$ und der Kern von

${}{\begin{pmatrix}{\frac {-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}+1&1\\-1&{\frac {-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}&1\\-1&{\frac {-1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\end{pmatrix}}\,$

ist ${}{\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\\-1\end{pmatrix}}$, dies sind die Eigenräume. Somit liegt die direkte Zerlegung

${}{\mathbb {C} }^{2}={\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}{\frac {1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\\-1\end{pmatrix}}\oplus {\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\\-1\end{pmatrix}}\,$

in invariante Untervektorräume vor, wobei der Erzeuger in der ersten Komponente durch Multiplikation mit ${}-{\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ und in der zweiten Komponente durch Multiplikation mit ${}-{\frac {1}{2}}-{\frac {{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ wirkt.