Kurs:Invariantentheorie/6/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	9	5	3	3	3	9	6	2	5	3	4	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$.
2. Der Bahnenraum zu einer Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$.
3. Eine kurze exakte Sequenz von Moduln über einem kommutatuven Ring ${}R$.
4. Der durch Ringwechsel gewonnene Modul zu einem ${}R$- Modul ${}M$ und einem Ringhomomorphismus ${}R\rightarrow R'$.
5. Die unitäre Gruppe des ${}{\mathbb {C} }^{n}$.
6. Eine Quotientensingularität.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den Quotientenkörper eines Invariantenringes zu einer endlichen Gruppe.
2. Der Satz über Charaktere und faktorielle Invariantenringe.
3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts für Moduln.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}R$ und ${}R'$ kommutative Ringe und seien

$\varphi _{1},\varphi _{2}\colon R\longrightarrow R'$

Ringhomomorphismen. Zeige, dass

${}S={\left\{r\in R\mid \varphi _{1}(r)=\varphi _{2}(r)\right\}}\,$

ein Unterring von ${}R$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Die multiplikative Gruppe ${}(\mathbb {Q} ^{\times },1,\cdot )$ operiere auf ${}\mathbb {R}$ durch Multiplikation. Zeige, dass unter den stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ nur die konstanten Funktionen ${}\mathbb {Q} ^{\times }$- invariant sind

Aufgabe * (9 (1+1+1+1+3+2) Punkte)

Wir betrachten die Operation der additiven Gruppe  ${}G={\left({\mathbb {C} },0,+\right)}$  auf ${}{\mathbb {C} }^{2}$ durch

${}z\bullet {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+z\\y\end{pmatrix}}\,$

und die zugehörige Operation auf dem Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X,Y]$.
a) Zeige, dass eine Operation vorliegt.
b) Zeige, dass die Operation nicht linear ist.
c) Bestimme die Bahnen der Operation. Skizziere die (reelle) Situation.
d) Welche Untergruppen treten als Isotropiegruppen auf?
e) Bestimme den Invariantenring ${}{\mathbb {C} }[X,Y]^{G}$.
f) Zeige, dass die Abbildung in den Bahnenraum nicht abgeschlossen ist (wobei der ${}{\mathbb {C} }^{2}$ in der natürlichen Topologie und der Bahnenraum mit der Quotiententopologie versehen ist).

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Existenz des Reynolds-Operators (endliche Gruppe).

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei  ${}F\in K[X,Y]$  ein homogenes Polynom. Zeige: ${}F$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die natürliche Operation der symmetrischen Gruppe ${}S_{n}$ auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$. Bestimme eine Ganzheitsgleichung für die Variablen ${}X_{i}$ über dem Invariantenring.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Zeige, dass die Nenneraufnahme ${}R_{f}$ ebenfalls normal ist.

Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise die Formel von Molien.

Aufgabe * (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine nichttriviale zyklische Reflektionsgruppe derart, dass die Erzeuger der Gruppe keine Pseudoreflektionen sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass der Ring ${}K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+YZ^{3}\right)}$ über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2,3$ genau in  ${}P=(0,0,0)$  singulär ist.

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

Es sei  ${}n\in \mathbb {N} _{\geq 2}$  fixiert. Wir betrachten

${}V={\left\{(x,y,z)\in {\mathbb {C} }^{3}\mid xy=z^{n}\right\}}\,$

und die offene Menge

${}U=V\setminus \{0,0,0\}\,.$

a) Es sei  ${}d\in \mathbb {Z}$.  Zeige, dass

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\setminus \{(0)\}\longrightarrow V,\,t\longmapsto \left(t^{d},\,t^{-d},\,1\right),$

eine algebraische (rationale) Abbildung ist, die auf ${}U$ abbildet.

b) Zeige, dass die Einschränkung von ${}\varphi$ auf  ${}S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }$  ein geschlossener stetiger Weg in ${}U$ mit Aufpunkt ${}(1,1,1)$ ist. Beschreibe explizit die Verknüpfung dieser Abbildung mit der trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises.

c) Es sei

$q\colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto \left(u^{n},\,v^{n},\,uv\right).$

Zeige, dass es eine rationale Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon {\mathbb {C} }\setminus \{(0)\}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}$

mit

${}\varphi =q\circ {\tilde {\varphi }}\,$

genau dann gibt, wenn ${}d$ ein Vielfaches von ${}n$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Zeige, dass es einen injektiven Gruppenhomomorphismus

$(V,0,+)\longrightarrow (\operatorname {GL} _{n+1}\!{\left(K\right)},E_{n+1},\circ )$

gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über irreduzible Darstellungen einer kommutativen Gruppe.