Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Definitionsliste

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Definition:Symmetrisches Polynom

Es sei ein Körper. Ein Polynom heißt symmetrisch, wenn für jede Permutation die Gleichheit

besteht, wobei aus entsteht, indem man überall in die Variable durch ersetzt.



Definition:Elementarsymmetrisches Polynom

Das -te elementarsymmetrische Polynom in Variablen ist das Polynom (mit )



Definition:Gradlexikographische Ordnung

Es sei ein Körper und der Polynomring über . Die gradlexikographische Ordnung auf der Menge der Monome ist durch

falls der Grad von , (also ), kleiner als der Grad von ist, oder, bei gleichem Grad, wenn , aber ist, gegeben.



Definition:Gruppenoperation

Es sei eine Gruppe und eine Menge. Eine Abbildung

heißt Gruppenoperation (von auf ), wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten.

  1. für alle .
  2. für alle und für alle .


Definition:Treue Gruppenoperation

Es sei eine Gruppe und eine Menge. Eine Gruppenoperation von auf heißt treu, wenn aus für alle folgt, dass ist.



Definition:Invariante Teilmenge

Es sei eine Menge, auf der eine Gruppe operiere. Eine Teilmenge heißt -invariant, wenn zu jedem und jedem auch gilt.



Definition:Äquivalent (Gruppenoperation)

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Man nennt zwei Elemente

-äquivalent (oder äquivalent unter ), wenn es ein mit gibt.



Definition:Bahn (Gruppenoperation)

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Die Äquivalenzklassen auf zur - Äquivalenz nennt man die Bahnen der Operation.



Definition:Fixpunkt (Gruppenoperation)

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Ein Punkt heißt Fixpunkt der Operation, wenn ist für alle .



Definition:Isotropiegruppe

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Zu heißt

die Isotropiegruppe zu .



Definition:Transitive Gruppenoperation

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Die Operation heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen ein mit gibt.



Definition:Bahnenraum

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe auf einer Menge vor. Dann nennt man die Menge der Bahnen den Bahnenraum der Operation. Er wird mit

bezeichnet. Die Abbildung

wobei die Bahn durch bezeichnet, heißt Quotientenabbildung.



Definition:Invariante Abbildung

Es sei eine Gruppe und seien und zwei Mengen, auf denen jeweils operiert. Dann heißt eine Abbildung

-invariant (oder -verträglich) wenn für alle und alle die Gleichheit

gilt.



Definition:Lineare Operation

Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei eine Gruppe. Eine Operation

heißt linear, wenn für jedes die Abbildung

- linear ist.



Definition:-invarianter Unterraum

Es sei ein Körper und eine Gruppe, die auf einem - Vektorraum linear operiere. Ein Untervektorraum heißt -invariant, wenn für alle und alle auch ist.



Definition:Fixraum

Es sei ein Körper und eine Gruppe, die auf einem - Vektorraum linear operiere. Der Untervektorraum

heißt der Fixraum der Gruppenoperation.



Definition:Darstellung einer Gruppe

Es sei eine Gruppe, ein Körper und ein (endlichdimensionaler) - Vektorraum. Einen Gruppenhomomorphismus

nennt man eine (endlichdimensionale) Darstellung (über ).



Definition:Reguläre Darstellung

Es sei eine endliche Gruppe und ein Körper. Unter der regulären Darstellung von versteht man den Gruppenhomomorphismus



Definition:Charakter (Monoid)

Es sei ein Monoid und ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus

ein Charakter von in .



Definition:Charaktergruppe

Es sei ein Gruppe und ein Körper. Dann nennt man die Menge der Charaktere

die Charaktergruppe von (in ).



Definition:Polynomring zu einem Vektorraum

Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Man nennt die von allen formalen Monomen , wobei die Linearformen auf sind, symbolisch erzeugte kommutative -Algebra, die die linearen Beziehungen zwischen den Linearformen respektiert, den Polynomring zu . Er wird mit

bezeichnet.



Definition:Induzierter Algebrahomomorphismus

Es sei ein Körper, seien endlichdimensionale - Vektorräume und sei eine lineare Abbildung. Den durch

über gegebenen - Algebrahomomorphismus

nennt man induzierten Algebrahomomorphismus.



Definition:Induzierte Operation auf Polynomring

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler - Vektorraum und

eine lineare Operation einer Gruppe auf . Es sei der Polynomring zu . Die Operation der Gruppe (von rechts) auf , die für jedes per Definition 4.5 durch die Zuordnung

festgelegt ist, nennt man die induzierte Operation auf dem Polynomring.



Definition:Invariantenring

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

als den Invariantenring (oder Fixring) von unter der Operation von .



Definition:Alternierende Gruppe

Zu heißt die Untergruppe

der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.



Definition:Relative Invarianten

Es sei ein Körper und eine kommutative - Algebra, auf der eine Gruppe als Gruppe von - Algebraautomorphismen operiere. Es sei

ein Charakter auf . Dann nennt man

die -relativen Invarianten oder Semiinvarianten bezüglich .



Definition:Direkter Summand (Ringhomomorphismus)

Es sei ein Unterring eines kommutativen Ringes . Man sagt, dass ein direkter Summand von ist, wenn es einen - Modul gibt mit (es liegt also ein - Modulisomorphismus vor).



Definition:Graduierte Algebra

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative Gruppe. Eine - Algebra heißt -graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

mit - Untermoduln gibt derart, dass ist und für die Multiplikation auf die Beziehung

gilt.



Definition:Homogenes Ideal

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und

eine

- graduierte - Algebra. Ein Ideal heißt homogen, wenn zu auch die homogenen Komponenten sind.



Definition:Monoidring

Es sei ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring wie folgt konstruiert. Als - Modul ist

d.h. ist der freie Modul mit Basis , . Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch

definiert und auf ganz distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element das neutrale Element der Multiplikation.



Definition:Wertiger Punkt (Monoid)

Zu einem kommutativen Monoid und einem kommutativen Ring nennt man einen Monoidhomomorphismus

auch einen -wertigen Punkt von .



Definition:Differenzengruppe

Es sei ein kommutatives Monoid. Dann nennt man die Menge der formalen Differenzen

mit der Addition

und der Identifikation

die Differenzengruppe zu .



Definition:Kürzungsregel (Monoid)

Man sagt, dass in einem kommutativen Monoid die Kürzungsregel gilt (oder dass ein Monoid mit Kürzungsregel ist), wenn aus einer Gleichung

stets folgt, dass ist.



Definition:Endlich erzeugtes Monoid

Ein kommutatives Monoid heißt endlich erzeugt, wenn es Elemente gibt derart, dass man jedes als

mit schreiben kann.



Definition:Spitzes Monoid

Ein kommutatives Monoid heißt spitz, wenn das einzige invertierbare Element in ist.



Definition:Torsionsfreies Monoid

Ein kommutatives Monoid heißt torsionsfrei, wenn für aus für eine positive Zahl stets folgt.



Definition:Normalisierung von Monoiden

Es sei ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe . Dann heißt das Untermonoid

die Normalisierung von .



Definition:Veronese-Ring

Es sei eine - graduierte - Algebra und . Dann nennt man

den -ten Veronese-Ring von .




Definition:Kurze exakte Sequenz

Es sei ein kommutativer Ring und seien - Moduln. Man nennt ein Diagramm der Form

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln, wenn ein -Untermodul von ist, und wenn ein Restklassenmodul von ist, der isomorph zu ist.



Definition:Algebra von endlichem Typ

Es sei ein kommutativer Ring. Eine - Algebra heißt von endlichem Typ (oder endlich erzeugt), wenn sie die Form

besitzt.



Definition:Endlicher Modul

Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Der Modul heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem , , für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).



Definition:Noetherscher Ring

Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.



Definition:Ganzheitsgleichung

Es seien und kommutative Ringe und sei eine Ringerweiterung. Für ein Element heißt eine Gleichung der Form

wobei die Koeffizienten , zu gehören, eine Ganzheitsgleichung für .



Definition:Ganzes Element

Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Ein Element heißt ganz (über ), wenn eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus erfüllt.



Definition:Ganzer Abschluss

Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente , die ganz über sind, den ganzen Abschluss von in .



Definition:Ganze Ringerweiterung

Es seien und kommutative Ringe und sei eine Ringerweiterung. Dann heißt ganz über , wenn jedes Element ganz über ist.



Definition:Ganz-abgeschlossen

Es seien und kommutative Ringe und eine Ringerweiterung. Man nennt ganz-abgeschlossen in , wenn der ganze Abschluss von in gleich ist.



Definition:Normal

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.



Definition:Graßmann-Varietät

Zu einem - Vektorraum und einer natürlichen Zahl nennt man die Menge der - dimensionalen Untervektorräume die -te Graßmann-Varietät. Sie wird mit und bei mit bezeichnet.



Definition:Affin-algebraische Gruppe

Es sei ein Körper. Eine affin-algebraische Gruppe (über ) ist eine Gruppe der Form

wobei eine kommutative endlich erzeugte - Hopf-Algebra ist.



Definition:Lineare Gruppe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und die Gruppe der invertierbaren -Matrizen. Eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe nennt man eine lineare Gruppe (oder eine linear-algebraische Gruppe).



Definition:Algebraische Operation

Zu einer affin-algebraischen Gruppe über einem Körper , die durch die kommutative - Hopf-Algebra gegeben sei, nennt man eine Operation von auf einer kommutativen - Algebra algebraisch (oder regulär), wenn sie durch eine Kooperation von auf gegeben ist.



Definition:Faktorieller Bereich

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.



Definition:Normalisierung

Es sei ein Integritätsbereich und sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in die Normalisierung von .



Definition:Positiv-graduierte Algebra

Es sei ein Körper. Eine - graduierte kommutative - Algebra heißt positiv-graduiert, wenn für und ist.



Definition:Primidealkette der Länge

Es sei ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen

nennt man Primidealkette der Länge (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Spektrum (kommutativer Ring)

Zu einem kommutativen Ring nennt man die Menge der Primideale von das Spektrum von , geschrieben



Definition:Offene Menge (Spektrum)

Auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes ist die Zariski-Topologie dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge die Mengen

als offen erklärt werden.



Definition:L-Spektrum

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative - Algebra. Zu einer weiteren -Algebra nennt man die Menge der - Algebrahomomorphismen

das -Spektrum von . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Multilinear

Es sei ein kommutativer Ring und seien - Moduln. Eine Abbildung

heißt -multilinear, wenn für jedes und jedes -Tupel (mit ) die induzierte Abbildung

- linear ist.



Definition:Tensorprodukt von Moduln

Es sei ein kommutativer Ring und seien - Moduln. Es sei der von sämtlichen Symbolen (mit ) erzeugte freie - Modul. Es sei der von allen Elementen der Form

  1. ,
  2. ,

erzeugte - Untermodul. Dann nennt man den Restklassenmodul das Tensorprodukt der , . Es wird mit

bezeichnet.



Definition:Durch Ringwechsel gewonnener Modul

Zu einem - Modul und einem Ringhomomorphismus

zwischen kommutativen Ringen nennt man den durch Ringwechsel gewonnenen -Modul.


Definition:Kommutative Hopf-Algebra

Es sei ein kommutativer Ring. Eine kommutative - Algebra heißt Hopf-Algebra, wenn es fixierte - Algebrahomomorphismen (genannt Komultiplikation, Koeinheit und Koinverses)

und

gibt, derart, dass die Diagramme


und

kommutieren.



Definition:Affines Gruppenschema

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative - Hopf-Algebra. Dann nennt man das Spektrum zusammen mit den induzierten - Morphismen

und

das zugehörige affine Gruppenschema.



Definition:Kooperation

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Hopf-Algebra und eine kommutative - Algebra. Unter einer Kooperation von auf versteht man einen - Algebrahomomorphismus

derart, dass die beiden Diagramme

und

kommutieren.



Definition:Operation eines affinen Gruppenschemas

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Hopf-Algebra und das zugehörige affine Gruppenschema. Es sei

eine Kooperation von auf einem kommutativen Ring mit dem Spektrum . Dann nennt man den zu gehörenden - Morphismus

eine (-algebraische) Operation des affinen Gruppenschemas auf .



Definition:Hilbert-Reihe

Es sei ein Körper und eine positiv-graduierte kommutative - Algebra mit der Eigenschaft, dass für jedes die Stufe endlichdimensional ist. Dann nennt man die Potenzreihe

die Hilbert-Reihe von .



Definition:Hilbert-Reihe (Gruppenoperation)

Die endliche Gruppe operiere linear auf dem Polynomring . Dann nennt man die Potenzreihe

die Hilbert-Reihe (oder Molien-Reihe) zu dieser Operation.



Definition:Spur

Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann heißt

die Spur von .



Definition:Spur (Endomorphismus)

Es sei ein Körper und sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben werde. Dann nennt man die Spur von , geschrieben .



Definition:Pseudoreflektion

Ein linearer Automorphismus auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum heißt Pseudoreflektion (oder Pseudospiegelung), wenn er in einer geeigneten Basis durch eine Matrix der Form

wobei eine Einheitswurzel ist, beschrieben werden kann.



Definition:Reflektionsgruppe

Eine endliche Untergruppe heißt Reflektionsgruppe (oder Spiegelungsgruppe), wenn sie durch Pseudoreflektionen erzeugt wird.



Definition:Formale partielle Ableitung

Es sei ein Körper. Zu einem Polynom

und , , heißt das Polynom

die formale partielle Ableitung von nach .



Definition:Isometrie

Eine lineare Abbildung

auf einem euklidischen Vektorraum heißt Isometrie, wenn für alle die Gleichheit

gilt.



Definition:Eigentliche Isometrie

Eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ist.



Definition:Diedergruppe

Zu einem regelmäßigen -Eck () heißt die Gruppe der (eigentlichen oder uneigentlichen) linearen Symmetrien die Diedergruppe .



Definition:Halbachsenklassen

Es sei eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien im . Dann nennt man jede Gerade durch den Nullpunkt, die als Drehachse eines Elementes auftritt, eine Achse von . Die Halbgeraden dieser Drehachsen nennt man die Halbachsen der Gruppe und die Gesamtmenge dieser Halbachsen nennen wir das zu gehörige Halbachsensystem. Es wird mit bezeichnet. Zwei Halbachsen heißen äquivalent, wenn es ein mit gibt. Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation nennt man Halbachsenklassen.



Definition:Unitäre Gruppe

Der sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen bilden eine Gruppe, die die unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Spezielle unitäre Gruppe

Der sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen mit Determinante bilden eine Gruppe, die die spezielle unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Projektive spezielle lineare Gruppe

Es sei ein Körper und . Die Restklassengruppe

heißt projektive spezielle lineare Gruppe. Sie wird mit

bezeichnet.



Definition:Quotientensingularität

Es sei ein Körper und eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring (bzw. sein Spektrum) eine Quotientensingularität.



Definition:Spezielle Quotientensingularität

Es sei ein Körper und eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring (bzw. sein Spektrum) eine spezielle Quotientensingularität.



Definition:Einfach zusammenhängender Raum

Ein topologischer Raum heißt einfach zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in nullhomotop ist.



Definition:Kontrahierbarer Raum

Ein topologischer Raum heißt kontrahierbar (oder zusammenziehbar) auf einen Punkt , wenn es eine stetige Abbildung

derart gibt, dass die Eigenschaften

  1. ,
  2. ,
  3. für alle

gelten.



Definition:Überlagerung

Es seien und topologische Räume. Eine stetige Abbildung

heißt Überlagerung, wenn es eine offene Überdeckung und eine Familie diskreter topologischer Räume , , derart gibt, dass homöomorph zu (versehen mit der Produkttopologie) ist, wobei die Homöomorphien mit den Abbildungen nach verträglich sind.



Definition:Rationale Darstellung

Es sei ein Körper und sei eine affin-algebraische Gruppe über . Unter einer -rationalen Darstellung von versteht man einen Gruppenhomomorphismus

mit einem endlichdimensionalen - Vektorraum (also eine Darstellung von ), die durch einen - Hopf-Algebrahomomorphismus der Hopf-Algebren zu bzw. induziert wird.



Definition:Irreduzible Darstellung

Eine Darstellung

einer Gruppe in einem - Vektorraum heißt irreduzibel, wenn ist und wenn die einzigen - invarianten Untervektorräume und sind.



Definition:Vollständig reduzible Darstellung

Eine Darstellung

einer Gruppe in einem - Vektorraum heißt vollständig reduzibel, wenn die direkte Summe aus - invarianten Untervektorräumen ist, die jeweils irreduzibel sind.



Definition:Linear reduktive Gruppe

Eine affin-algebraische Gruppe über einem Körper heißt linear reduktiv, wenn jede - rationale Darstellung von vollständig reduzibel ist.



Definition:Orthogonale Gruppe

Es sei ein Körper und die Einheitsmatrix der Länge . Eine Matrix mit

heißt orthogonale Matrix. Die Menge aller orthogonalen Matrizen heißt orthogonale Gruppe, sie wird mit

bezeichnet.



Definition:Symplektische Gruppe

Es sei ein Körper und , wobei die Einheitsmatrix der Länge ist. Eine Matrix mit

heißt symplektische Matrix. Die Menge aller symplektischen Matrizen heißt symplektische Gruppe, sie wird mit

bezeichnet.