Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 27/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die multiplikative Gruppe ${}({\mathbb {C} }^{\times },1,\cdot )$ eine lineare Gruppe ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die additive Gruppe ${}({\mathbb {C} },0,+)$ eine lineare Gruppe ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die linearen Untergruppen der multiplikativen Gruppe ${}K^{\times }$ eines Körpers ${}K$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik null. Zeige, dass in der additiven Gruppe ${}(K,0,+)$ nur die beiden trivialen Untergruppen linear sind.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik  ${}p>0$.  Zeige, dass der Primkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ eine lineare Untergruppe der additiven Gruppe ${}(K,0,+)$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine endliche Gruppe ${}G$ über jedem Körper ${}K$ eine lineare Gruppe ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ keine lineare Gruppe über ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ keine affin-algebraische Gruppe über ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$, versehen mit der diskreten Topologie, über keinem Körper ${}K$ eine affin-algebraische Gruppe ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Zariski-Abschluss der von der Matrix ${}{\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugten Untergruppe  ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$. 

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Zariski-Abschluss der von der Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugten Untergruppe  ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$. 

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine zyklische Untergruppe  ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$  bei  ${}n\geq 2$  nicht Zariski-dicht ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Produkt von zwei linearen Gruppen wieder eine lineare Gruppe ist.

Wir erinnern an zwei Definitionen für Matrizen.

Eine ${}n\times n$- Matrix der Form

${\begin{pmatrix}b_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&b_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}$

nennt man obere Dreiecksmatrix.

Eine ${}n\times n$- Matrix der Form

${\begin{pmatrix}1&*&\cdots &\cdots &*\\0&1&*&\cdots &*\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&*\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}$

nennt man (obere) Scherungsmatrix.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Menge der invertierbaren ${}n\times n$- oberen Dreiecksmatrizen über ${}K$ eine lineare Untergruppe der ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Zeige, dass es einen injektiven Gruppenhomomorphismus

$(V,0,+)\longrightarrow (\operatorname {GL} _{n+1}\!{\left(K\right)},E_{n+1},\circ )$

gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}\operatorname {ODG} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der invertierbaren ${}n\times n$- oberen Dreiecksmatrizen über ${}K$. Zeige, dass es einen (natürlichen) surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \operatorname {ODG} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow {\left(K^{\times },\cdot ,1\right)}^{n}$

gibt. Bestimme den Kern von ${}\varphi$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Menge der invertierbaren ${}n\times n$- oberen Scherungsmatrizen über ${}K$ eine lineare Untergruppe der ${}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}\operatorname {OSG} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der ${}n\times n$- oberen Scherungsmatrizen über ${}K$. Zeige, dass es einen (natürlichen) surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \operatorname {OSG} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow {\left(K,+,0\right)}^{n-1}$

gibt. Bestimme den Kern von ${}\varphi$.

Zeige in den vorstehenden Aufgaben, dass jeweils eine lineare Gruppe (über einem nicht notwendigerweise algebraisch abgeschlossenen Körper) vorliegt, und dass die Gruppenhomomorphismen algebraisch definiert sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}\operatorname {OSG} _{3}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der ${}3\times 3$- oberen Scherungsmatrizen über ${}K$. Zeige, dass es eine kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow K\longrightarrow \operatorname {OSG} _{3}\!{\left(K\right)}\longrightarrow K^{2}\longrightarrow 0$

gibt, und dass ${}\operatorname {OSG} _{3}\!{\left(K\right)}$ nicht isomorph zu ${}K^{3}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ keine lineare Gruppe über ${}K$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}m\times k$- Matrix über dem Körper ${}K$ mit dem Rang ${}n$.

1. Zeige, dass es eine ${}n\times k$-Matrix ${}C$ und eine ${}m\times n$-Matrix ${}B$, beide mit dem Rang ${}n$, mit  ${}M=B\circ C$  gibt.
2. Es sei  ${}s<n$.  Zeige, dass es nicht möglich ist,  ${}M=B\circ C$  mit einer ${}s\times k$-Matrix ${}C$ und einer ${}m\times s$-Matrix ${}B$ zu schreiben.

Die folgenden Konzepte und Aufgaben setzen den Begriff einer Mannigfaltigkeit voraus.

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${}G$, die zugleich eine Gruppe ist, für die die Inversenabbildung und die Gruppenverknüpfung differenzierbare Abbildungen sind, heißt (reelle) Lie-Gruppe.

Eine komplexe Mannigfaltigkeit ${}M$, die zugleich eine Gruppe ist, für die die Gruppenverknüpfung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y,$

und die Inversenbildung

$M\longrightarrow M,\,x\longmapsto x^{-1},$

holomorph sind, heißt komplexe Lie-Gruppe.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte die allgemeine lineare Gruppe  ${}G=\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\subseteq \mathbb {R} ^{n^{2}}$  als offene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{n^{2}}$. Definiere eine differenzierbare Gruppenstruktur auf ${}G$, also ein neutrales Element ${}P\in G$, eine differenzierbare Abbildung

$\alpha \colon G\longrightarrow G,\,x\longmapsto \alpha (x),$

und eine differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon G\times G\longrightarrow G,\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$

derart, dass ${}G$ mit diesen Daten zu einer Gruppe wird.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei  ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R} {\text{ oder }}{\mathbb {C} }$  und sei ${}G$ eine lineare Gruppe über ${}{\mathbb {K} }$, versehen mit der von ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {K} }\right)}$ ererbten reellen oder komplexen Topologie. Zeige, dass ${}G$ eine Mannigfaltigkeit mit endlich vielen Zusammenhangskomponenten ist.