Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$G\times V\longrightarrow V$

eine lineare Operation einer Gruppe ${}G$ auf ${}V$. Zeige, dass dadurch in natürlicher Weise die folgenden linearen Operationen induziert sind.

1. Die Operation auf dem ${}k$-ten Produkt von ${}V$ mit sich selbst, also

   $G\times V^{k}\longrightarrow V^{k},\,(\sigma ,v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto (\sigma (v_{1}),\ldots ,\sigma (v_{k})).$

2. Die Operation auf dem ${}k$-ten Dachprodukt ${}\bigwedge ^{k}V$, also

   $G\times \bigwedge ^{k}V\longrightarrow \bigwedge ^{k}V,$

   die durch ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\mapsto \sigma (v_{1})\wedge \ldots \wedge \sigma (v_{k})$ festgelegt ist.

3. Die duale Operation (von rechts) auf dem Dualraum ${}{V}^{*}$, also die Abbildung

   ${V}^{*}\times G\longrightarrow {V}^{*},\,(f,\sigma )\longmapsto f\circ \sigma .$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und

$G\times V\longrightarrow V$

eine lineare Operation einer Gruppe ${}G$ auf ${}V$. Zeige, dass die induzierte Operation auf dem Polynomring ${}K[V]$ homogen, d.h. dass für jedes  ${}\sigma \in G$  und  ${}f\in R_{d}$  auch  ${}f\sigma \in R_{d}$  gilt.

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 3.16 und Beispiel 3.19 die induzierte Wirkung der Gruppe auf der ${}d$-ten Stufe des Polynomringes ${}K[V]$.

Aufgabe *

a) Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei sei. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei  ${}F\in K[X,Y]$  ein homogenes Polynom. Zeige: ${}F$ zerfällt in Linearfaktoren.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Für die Einheiten gilt

   ${}{\left(R^{G}\right)}^{\times }=R^{G}\cap R^{\times }\,.$

2. Wenn ${}R$ ein Körper ist, so ist auch ${}R^{G}$ ein Körper.

Aufgabe

Inwiefern ist die Galoistheorie ein Spezialfall der (algebraischen) Invariantentheorie?

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass zu jedem  ${}f\in R$  sowohl ${}\sum _{\sigma \in G}f\sigma$ als auch ${}\prod _{\sigma \in G}f\sigma$ zum Fixring ${}R^{G}$ gehören.

Aufgabe *

Wir betrachten die lineare Operation der zyklischen Gruppe ${}\mathbb {Z} /(3)$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die Dritteldrehung gegeben ist, also durch die drei Matrizen

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\sigma ={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\,\sigma ^{2}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},$

und die zugehörige Operation der Gruppe auf dem Polynomring  ${}R=\mathbb {R} [X,Y]$. 

a) Bestimme das Bild von ${}X$ unter den beiden zugehörigen nichttrivialen Ringautomorphismen, also ${}X\sigma$ und ${}X\sigma ^{2}$.

b) Berechne ${}X+X\sigma +X\sigma ^{2}$.

c) Zeige, dass es keine invariante Linearform ${}\neq 0$ gibt.

d) Berechne ${}X\cdot X\sigma \cdot X\sigma ^{2}$. Bestätige, dass dieses Polynom invariant ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$. Die Einheitengruppe ${}K^{\times }$ operiere durch skalare Multiplikation auf ${}R$, d.h. zu  ${}\lambda \in K^{\times }$  gehört der durch ${}X_{i}\mapsto \lambda X_{i}$ definierte ${}K$- Algebraautomorphismus. Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation ${}K$ ist.

Aufgabe

Betrachte die Operation der symmetrischen Gruppe ${}S_{n}$ auf dem Polynomring  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  über einem Körper ${}K$. Bestimme (zu  ${}n=2,3,4$ ) für jede Untergruppe  ${}H\subseteq S_{n}$  den Fixring ${}R^{H}$.

Aufgabe

Es sei ${}S$ ein kommutativer Ring mit  ${}2\neq 0$  und  ${}a\in S$.  Zeige, dass die Gruppe  ${}\mathbb {Z} /(2)\cong \{1,-1\}$  auf der quadratischen Erweiterung

${}R:=S[X]/(X^{2}-a)\,$

als Gruppe von ${}S$- Algebrahomomorphismen operiert, indem ${}-1$ durch ${}X\mapsto -X$ wirkt. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}G$ eine Gruppe, die auf ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass die Operation genau dann trivial ist, wenn  ${}R^{G}=R$  ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass auf ${}K[X,Y]/(XY)$ eine Gruppenoperation von ${}\mathbb {Z} /(2)$ gegeben ist, indem das nichttriviale Gruppenelement ${}X$ und ${}Y$ vertauscht. Bestimme den Fixring zu dieser Operation.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}G=(R,+)$  die additive Gruppe zu ${}R$.

a) Zeige, dass durch die Zuordnung

$G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(R[X],R[X]\right)},\,r\longmapsto \varphi _{r},$

wobei ${}\varphi _{r}$ den durch ${}X\mapsto X+r$ gegebenen ${}R$- Algebrahomomorphismus bezeichnet, eine Gruppenoperation von ${}G$ auf dem Polynomring ${}R[X]$ definiert ist.

b) Zeige, dass der Fixring zu dieser Operation gleich ${}R$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}G=(R^{\times },\cdot )$  die multiplikative Gruppe zu ${}R$.

a) Zeige, dass durch die Zuordnung

$G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(R[X],R[X]\right)},\,r\longmapsto \psi _{r},$

wobei ${}\psi _{r}$ den durch ${}X\mapsto rX$ gegebenen ${}R$- Algebrahomomorphismus bezeichnet, eine Gruppenoperation von ${}G$ auf dem Polynomring ${}R[X]$ definiert ist.

b) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der Fixring zu dieser Operation gleich ${}R$ ist.

c) Man gebe Beispiele für kommutative Ringe derart, dass der Fixring zu dieser Operation nicht gleich ${}R$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum, auf dem eine Gruppe linear operiere. Zeige, dass  ${}f\in K[V]$  genau dann zu ${}K[V]^{G}$ gehört, wenn ${}f\colon V\rightarrow K$ ${}G$- invariant ist.

Aufgabe

Es sei  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.  Es sei ${}F$ eine komplexe, auf ${}{\mathbb {C} }$ konvergente Potenzreihe der Form

${}F=\sum _{j=0}^{\infty }c_{jn}z^{jn}\,.$

Zeige, dass für jede ${}n$-te komplexe Einheitswurzel ${}\zeta$ die Gleichheit  ${}F(\zeta z)=F(z)$  für alle  ${}z\in {\mathbb {C} }$  gilt.

Aufgabe

Es sei ${}F=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}z^{i}$ eine komplexe auf ${}{\mathbb {C} }$ konvergente Potenzreihe und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Für jede ${}n$-te komplexe Einheitswurzel ${}\zeta$ gelte ${}F(\zeta z)=F(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Zeige, dass ${}c_{i}=0$ für alle ${}i$ gilt, die kein Vielfaches von ${}n$ sind.

Aufgabe

Es sei

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine stetige Funktion. Zeige, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Es gibt eine stetige Funktion

   $g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   mit  ${}f(z)=g(\vert {z}\vert )$  für alle  ${}z\in {\mathbb {C} }$. 

2. Für alle ${}n$-ten Einheitswurzeln  ${}\zeta \in {\mathbb {C} }$  (alle ${}n\in \mathbb {N}$) ist  ${}f(\zeta z)=f(z)$  für alle  ${}z\in {\mathbb {C} }$. 
3. Für alle  ${}w\in {\mathbb {C} }$  mit  ${}\vert {w}\vert =1$  ist  ${}f(wz)=f(z)$  für alle  ${}z\in {\mathbb {C} }$. 

Aufgabe

Wir betrachten die Operation der ${}r$-ten komplexen Einheitswurzeln  ${}G=\mu _{r}{\left({\mathbb {C} }\right)}$  auf ${}{\mathbb {C} }$ durch Multiplikation und die zugehörige Operation auf dem Polynomring ${}{\mathbb {C} }[X]$, dessen Fixring ${}{\mathbb {C} }[X^{r}]$ ist. Ferner betrachten wir die reelle Entsprechung dieser Situation, also die Operation auf ${}\mathbb {R} ^{2}$ durch die Gruppe der Drehmatrizen der Ordnung ${}r$ und die zugehörige Operation auf ${}\mathbb {R} [X,Y]$.

a) Zeige

${}\mathbb {R} [\operatorname {Re} \,{\left(z^{r}\right)},\,\operatorname {Im} \,{\left(z^{r}\right)}]\subseteq \mathbb {R} [X,Y]^{G}\,.$

b) Zeige, dass diese Inklusion echt sein kann.

Aufgabe

Betrachte die Untergruppe  ${}G\subset \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$  aus Aufgabe 3.31. Bestimme zu jeder Untergruppe  ${}H\subseteq G$  ein Polynom aus ${}\mathbb {R} [X,Y]$, das bezüglich ${}H$ invariant ist, aber nicht bezüglich einer größeren Untergruppe.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p$. Wir betrachten die durch ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugte zyklische Gruppe und ihre natürliche Operation auf ${}K[X,Y]$. Zeige, dass der Invariantenring gleich

$K[Y,X^{p}-XY^{p-1}]$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}A$ ein kommutativer Ring und

${}R=A\times A\times \cdots \times A\,$

der ${}n$-fache Produktring von ${}A$ mit sich selbst.

a) Zeige, dass die symmetrische Gruppe ${}S_{n}$ auf ${}R$ durch Vertauschen der Komponenten operiert.

b) Bestimme den Fixring zu dieser Operation.

c) Zeige, dass für jede transitive Untergruppe  ${}H\subseteq S_{n}$  der Fixring gleich dem Fixring aus Teil (b) ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Operation der allgemeinen linearen Gruppe  ${}G=\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  auf dem Vektorraum der ${}n\times n$- Matrizen  ${}V=\operatorname {Mat} _{n}(K)$  durch Konjugation, also

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\times \operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(K),\,(g,M)\longmapsto gMg^{-1},$

und die induzierte Operation der ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ auf dem Polynomring zu ${}\operatorname {Mat} _{n}(K)$ (also dem Polynomring in ${}n^{2}$ Variablen). Zeige, dass die Spur und die Determinante von ${}M$ zum Invariantenring gehören.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Operation der allgemeinen linearen Gruppe  ${}G=\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  auf dem Vektorraum der ${}n\times n$- Matrizen  ${}V=\operatorname {Mat} _{n}(K)$  durch Konjugation, also

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\times \operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(K),\,(g,M)\longmapsto gMg^{-1},$

und die induzierte Operation der ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ auf dem Polynomring zu ${}\operatorname {Mat} _{n}(K)$ (also dem Polynomring in ${}n^{2}$ Variablen). Zeige, dass die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von ${}M$ zum Invariantenring gehören.