Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage

???: Hauptsatz über symmetrische Polynome

Jedes symmetrische Polynom $F \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ lässt sich

eindeutig als Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben.

D.h. es ist

F = \sum_{ν} a_{ν} E^{ν}

mit eindeutig bestimmten Koeffizienten $a_{ν} \in K$ .

???: Gruppenoperationen und Automorphismengruppe

Es sei $G$ eine Gruppe und $M$ eine Menge. Es sei $Perm (M)$ die Gruppe der Permutationen auf $M$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Wenn $G$ auf $M$ operiert, so ist die Abbildung
$G ⟶ Perm (M), g ⟼ (x \mapsto g x),$

ein Gruppenhomomorphismus.

Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus
$φ : G ⟶ Perm (M), g ⟼ φ (g),$

vorliegt, so wird durch

$G \times M ⟶ M, (g, x) ⟼ (φ (g)) (x),$

eine Gruppenoperation von $G$ auf $M$ definiert.

???: Klassengleichung

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einer endlichen Menge $M$ operiere. Es sei $F$ die Menge der Fixpunkte der Operation und es seien $M_{1}, \dots, M_{n}$ die verschiedenen Bahnen mit mindestens zwei Elementen.

Dann ist

$# (M) = # (F) + \sum_{i = 1}^{n} # (M_{i}) .$

???: Quotientenabbildung auf Bahnenraum

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Es sei $M ∖ G$ der Bahnenraum zu dieser Operation. Dann gelten folgende Aussagen.

Die Quotientenabbildung
$q : M ⟶ M ∖ G, x ⟼ [x],$

ist $G$ -invariant (wobei $G$ auf dem Bahnenraum trivial operiert).

Wenn $N$ eine weitere Menge ist und
$φ : M ⟶ N$
eine $G$ -invariante Abbildung
(wobei die Operation von $G$ auf $N$ trivial sei), so gibt es genau eine Abbildung

$\tilde{φ} : M ∖ G ⟶ N$

mit $φ = \tilde{φ} \circ q$ .

???: Charakterdual einer Gruppe

Es sei $G$ eine endliche kommutative Gruppe mit dem Exponenten $m$ , und es sei $K$ ein Körper, der eine primitive $m$ -te Einheitswurzel besitzt.

Dann sind $G$ und $G^{\lor}$ isomorphe Gruppen.

???: Darstellung einer endlichen zyklischen Gruppe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$ .

Dann ist jede Darstellung einer endlichen zyklischen Gruppe $ℤ / (r)$ in ${GL}_{n} (K)$ in einer geeigneten Basis von der Form

$ℤ / (r) ⟶ {GL}_{n} (K), i ⟼ (\begin{matrix} ζ_{1}^{i} & 0 & \dots & \dots & 0 \\ 0 & ζ_{2}^{i} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & ζ_{n - 1}^{i} & 0 \\ 0 & \dots & \dots & 0 & ζ_{n}^{i} \end{matrix}),$

mit gewissen Einheitswurzeln $ζ_{j}$ .

???: Graduierung des Fixringes bei linearer Operation

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum und

G \times V ⟶ V

eine lineare Operation einer Gruppe $G$ auf $V$ .

Dann ist der Fixring $R^{G} \subseteq R = K [V]$ der induzierten Operation auf dem Polynomring $K [V]$ ein $ℕ$ -graduierter Unterring.

Dabei ist

{(R^{G})}_{d} = (R_{d})^{G},

die $d$ -te Stufe des Fixringes ist der Fixraum der induzierten Operation auf der $d$ -ten Stufe des Polynomringes.

???: Vergleichslemma für Invariantenringe

Es sei $R \times G \to R$ eine Operation einer Gruppe $G$ auf einem kommutativen Ring durch Ringautomorphismen. Es sei $H \subseteq G$ eine Untergruppe. Dann gelten folgende Aussagen.

$R^{G} \subseteq R^{H}$ .

Sind $H_{1}$ und $H_{2}$ Untergruppen in $G$ mit $G = H_{1} \cdot H_{2}$ , so ist
$R^{H_{1}} \cap R^{H_{2}} = R^{G} .$

Ist $H$ ein Normalteiler in $G$ , so operiert die Restklassengruppe $G / H$ auf $R^{H}$ durch
$f [σ] := f σ .$

Dabei ist

$R^{G} = {(R^{H})}^{G / H} .$

???: Invariantenringe bei konjugierten Gruppen

Es sei

R \times G ⟶ R

eine Operation einer Gruppe $G$ auf einem kommutativen Ring $R$ durch Ringautomorphismen. Es seien $H, H^{'} \subseteq G$ konjugierte Untergruppen.

Dann sind die Invariantenringe $R^{H}$ und $R^{H^{'}}$ in natürlicher Weise isomorph.

???: Invarianten der Drehgruppe

Die Drehgruppe

{SO}_{2} (ℝ) = {(\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix}) ∣ α \in [0, 2 π)}

operiere linear und simultan auf dem $ℝ^{4} = ℝ^{2} \times ℝ^{2}$ .

Dann ist der Invariantenring der zugehörigen Operation auf dem Polynomring $ℝ [U_{1}, V_{1}, U_{2}, V_{2}]$ gleich

$ℝ [U_{1}, V_{1}, U_{2}, V_{2}]^{{SO}_{2} (ℝ)} = ℝ [U_{1}^{2} + V_{1}^{2}, U_{2}^{2} + V_{2}^{2}, U_{1} U_{2} + V_{1} V_{2}, U_{1} V_{2} - U_{2} V_{1}] .$

Dabei sind die ersten drei Erzeuger algebraisch unabhängig, und das Quadrat von $U_{1} V_{2} - U_{2} V_{1}$ lässt sich durch die ersten drei Erzeuger ausdrücken.

???: Invariantenring der geordneten Dreiecke

Die orthogonale Gruppe $O_{2} (ℝ)$ (der Drehungen und der Drehspiegelungen) operiere linear und simultan auf dem

ℝ^{4} = ℝ^{2} \times ℝ^{2} .

Dann ist der Invariantenring der zugehörigen Operation auf dem Polynomring $ℝ [U_{1}, V_{1}, U_{2}, V_{2}]$ gleich

$ℝ [U_{1}, V_{1}, U_{2}, V_{2}]^{O_{2} (ℝ)} = ℝ [U_{1}^{2} + V_{1}^{2}, U_{2}^{2} + V_{2}^{2}, U_{1} U_{2} + V_{1} V_{2}] .$

Die drei Erzeuger sind dabei algebraisch unabhängig.

Jede polynomiale Invariante eines (nummerierten) Dreieckes lässt sich polynomial in den drei Seitenquadraten ausdrücken.

???: Quotientenkörper von Invariantenringen

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.

Dann ist

$Q (R^{G}) = (Q (R))^{G} .$

???: Signumsinvariante Polynome

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\neq 2$ .

Dann gilt für die natürliche Operation der Permutationsgruppe $S_{n}$ auf dem Polynomring die Gleichheit

$K [X_{1}, \dots, X_{n}]_{sgn}^{S_{n}} = K [X_{1}, \dots, X_{n}]^{S_{n}} \cdot △,$

wobei $△ = \prod_{j < i} (X_{i} - X_{j})$ die Vandermondesche Determinante ist.

???: Invariantenring zur alternierenden Gruppe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $char (K) \neq 2$ . Die alternierende Gruppe $A_{n}$ operiere natürlich auf $V = K^{n}$ .

Dann ist

$K [V]^{A_{n}} = K [V]^{S_{n}} \oplus K [V]_{sgn}^{S_{n}} = K [E_{1}, \dots, E_{n}] \oplus K [E_{1}, \dots, E_{n}] \cdot △ .$

???: Existenzsatz für Reynolds-Operatoren

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einer kommutativen $K$ -Algebra $R$ als Gruppe von $K$ -Algebraautomorphismen operiere. Die Gruppenordnung sei kein Vielfaches der Charakteristik von $K$ .

Dann ist die Abbildung

$ρ : R ⟶ R^{G}, f ⟼ \frac{1}{# (G)} \sum_{σ \in G} f σ,$

ein Reynolds-Operator.

Insbesondere ist $R^{G} \subseteq R$ ein direkter Summand.

???: Charaktere und Automorphismen bei graduierten Algebren

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$ -graduierte kommutative $K$ -Algebra.

Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus

$D^{\lor} = Char (D, K) ⟶ {Aut}_{K}^{} (A), χ ⟼ (a_{d} \mapsto χ (d) a_{d}),$

der Charaktergruppe von $D$ in die (homogene) $K$ -Automorphismengruppe von $A$ .

Wenn alle $A_{d} \neq 0$ sind, so ist diese Zuordnung injektiv.

???: Graduierung und Invariantenringe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$ -graduierte kommutative $K$ -Algebra. Zu jedem $d \in D$ , $d \neq 0$ , gebe es einen Charakter $χ \in D^{\lor}$ mit

χ (d) \neq 1 .

Dann ist $A_{0}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe $G = D^{\lor}$ auf $A$ .

???: Lemma von Gordan

Es sei $M \subseteq ℤ^{n}$ ein normales endlich erzeugtes Monoid und $C = ℚ_{\geq 0} M$ der zugehörige rationale Kegel. Dann ist $M = Γ \cap C$ , wobei $Γ \subseteq ℤ^{n}$ das Differenzengitter zu $M$ ist.

Wenn umgekehrt $Γ \subseteq ℚ^{n}$ eine endlich erzeugte Untergruppe und $C \subseteq ℚ^{n}$ ein endlich erzeugter rationaler Kegel ist, so ist der Durchschnitt $M = Γ \cap C$ ein normales endlich erzeugtes Monoid.

???: Monoidringe und Graduierungen

Es sei $K$ ein Körper. Für eine kommutative $K$ -Algebra $R$ sind folgende Aussagen äquivalent.

$R$ ist ein Monoidring über $K$ zu einem endlich erzeugten, torsionsfreien, normalen, spitzen Monoid mit Kürzungsregel.

$R$ ist die neutrale Stufe einer $D$ -Graduierung eines Polynomringes $K [X_{1}, \dots, X_{r}]$ , wobei die Graduierung durch einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
$δ : ℤ^{r} ⟶ D$

gegeben ist.

???: Der Hilbertsche Basissatz

Es sei $R$ ein noetherscher Ring.

Dann ist auch der Polynomring $R [X]$ noethersch.

???: Der ganze Abschluss

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und sei $R \subseteq S$ eine Ringerweiterung.

Dann ist der ganze Abschluss von $R$ in $S$ eine $R$ -Unteralgebra von $S$ .

???: Normalität faktorieller Bereiche

Es sei $R$ ein faktorieller Integritätsbereich.

Dann ist $R$ normal.

???: Ganzheit und Invariantenringe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe $G$ durch Ringautomorphismen operiere.

Dann ist $R^{G} \subseteq R$ eine ganze Erweiterung.

???: Satz von Noether

Es sei $K$ ein Körper, $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$ -Algebra, auf der eine endliche Gruppe $G$ durch $K$ -Algebraautomorphismen operiere.

Dann ist der Invariantenring $R^{G}$ eine endlich erzeugte $K$ -Algebra.

???: Hilbertideal und Algebraerzeuger

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf dem positiv graduierten Polynomring $K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ als Gruppe von homogenen Ringautomorphismen operiere. Es sei $I_{G}$ das von allen homogenen Invarianten positiven Grades erzeugte Ideal in $K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ und es sei $f_{1}, \dots, f_{m}$ ein homogenes Idealerzeugendensystem dieses Ideals. Es sei vorausgesetzt, dass der Invariantenring ein homogener direkter Summand des Polynomringes ist.

Dann bilden die $f_{1}, \dots, f_{m}$ ein Algebraerzeugendensystem des Invariantenringes, d.h. es ist

$K [X_{1}, \dots, X_{n}]^{G} = K [f_{1}, \dots, f_{m}] .$

???: Charaktere und faktorielle Invariantenringe

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich und es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Die Charaktergruppe zu $G$ mit Werten in der Einheitengruppe $R^{\times}$ sei trivial, d.h. es ist

Hom (G, R^{\times}) = 0 .

Dann ist auch der Invariantenring faktoriell.

???: Dimensionssatz für noethersche Ringe

Es sei $R$ ein noetherscher Ring der Dimension $d$ .

Dann besitzt der Polynomring $R [X]$ die Dimension $d + 1$ .

???: Spektrumsabbildung zu Restklassenring und Nenneraufnahme

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann gelten folgende Aussagen.

Zu einem Ideal $𝔞 \subseteq R$ und der Restklassenabbildung
$q : R ⟶ R / 𝔞$

ist die Spektrumsabbildung

$q^{*} : Spek (R / 𝔞) ⟶ Spek (R)$

eine abgeschlossene Einbettung, deren Bild $V (𝔞)$ ist.

Zu einem multiplikativen System $M \subseteq R$ ist die zur kanonischen Abbildung
$ι : R ⟶ R_{M}$

gehörige Abbildung

$ι^{*} : Spek (R_{M}) ⟶ Spek (R)$

injektiv, und das Bild besteht aus der Menge der Primideale von $R$ , die zu $M$ disjunkt sind.

Zu $f \in R$ ist die zur kanonischen Abbildung
$ι : R ⟶ R_{f}$

gehörige Abbildung

$ι^{*} : Spek (R_{f}) ⟶ Spek (R)$

eine offene Einbettung, deren Bild gleich $D (f)$ ist.

???: Beschreibung der Faser

Es sei $φ : R \to S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und es sei

φ^{*} : Spek (S) ⟶ Spek (R), 𝔭 ⟼ φ^{*} (𝔭),

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist die Faser über einem Primideal $𝔮 \in Spek (R)$ gleich $Spek ((S / 𝔮 S)_{φ (R ∖ 𝔮)})$ .

D.h. die Faser besteht aus allen Primidealen $𝔭 \in Spek (S)$ mit $𝔮 S \subseteq 𝔭$ und mit $𝔭 \cap φ (R ∖ 𝔮) = \emptyset$ .

???: Going-up für ganze Ringhomomorphismen

Es sei

φ : R ⟶ S

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien $𝔮_{0} \subseteq 𝔮_{1}$ Primideale in $R$ und $𝔭_{0}$ ein Primideal in $S$ mit $φ^{*} (𝔭_{0}) = 𝔮_{0}$ .

Dann gibt es ein Primideal $𝔭_{1} \supseteq 𝔭_{0}$ in $S$ mit $φ^{*} (𝔭_{1}) = 𝔮_{1}$ .

???: Lying over für ganze Ringerweiterungen

Es sei

φ : R ⟶ S

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

$φ^{*} : Spek (S) ⟶ Spek (R)$

surjektiv.

???: Spektrumsabbildung bei Ganzheit

Es seien $R$ und $S$ kommutative Ringe und es sei

φ : R ⟶ S

ein ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

$φ^{*} : Spek (S) ⟶ Spek (R)$

abgeschlossen.

Wenn $φ$ zusätzlich injektiv ist, so ist $φ^{*}$ surjektiv.

???: Faserdimension bei einer ganzen Erweiterung

Es sei

φ : R ⟶ S

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien $𝔭 \neq 𝔮$ Primideale in $S$ mit $φ^{*} (𝔭) = φ^{*} (𝔮)$ .

Dann ist $𝔭 \subseteq̸ 𝔮$ .

D.h. die Fasern sind nulldimensional.

???: Dimension bei ganzer Ringerweiterung

Es sei

φ : R ⟶ S

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist

$\dim (S) = \dim (R) .$

???: Primvermeidung

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $𝔞$ ein Ideal und $𝔭_{1}, \dots, 𝔭_{n}$ eine endliche Familie von Primidealen. Es gelte $𝔞 \subseteq ⋃_{i = 1}^{n} 𝔭_{i}$ .

Dann ist $𝔞 \subseteq 𝔭_{i}$ für ein $i$ .

???: Invariantenring und Quotient der Gruppenoperation

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe $G$ durch Ringautomorphismen operiere und es sei

ι^{*} : Spek (R) ⟶ Spek (R^{G})

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist $(Spek (R^{G}), ι^{*})$ der Quotient der Gruppenoperation von $G$ auf $Spek (R)$ .

???: Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $V_{1}, \dots, V_{n}$ seien $R$ -Moduln.

Die Abbildung
$π : V_{1} \times \dots \times V_{n} ⟶ V_{1} \otimes_{R} \dots \otimes_{R} V_{n}, (v_{1}, \dots, v_{n}) ⟼ v_{1} \otimes \dots \otimes v_{n},$

ist $R$ -multilinear.

Es sei $W$ ein weiterer $R$ -Modul und
$ψ : V_{1} \times \dots \times V_{n} ⟶ W$

eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte $R$ -lineare Abbildung

$\bar{ψ} : V_{1} \otimes_{R} \dots \otimes_{R} V_{n} ⟶ W$

mit $ψ = \bar{ψ} \circ π$ .

???: Tensorprodukt von Ringen

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A, B$ seien kommutative $R$ -Algebren.

Dann ist das Tensorprodukt

$A \otimes_{R} B$

eine kommutative $R$ -Algebra und es gibt $R$ -Algebrahomomorphismen

$A ⟶ A \otimes_{R} B, a ⟼ a \otimes 1,$

und

$B ⟶ A \otimes_{R} B, b ⟼ 1 \otimes b .$

???: Tensorprodukt von Ringen und Produkt

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A, B, S$ seien kommutative $R$ -Algebren.

Dann ist

${Hom}_{R}^{a l g} (A \otimes_{R} B, S) = {Hom}_{R}^{a l g} (A, S) \times {Hom}_{R}^{a l g} (B, S) .$

???: Gruppenstruktur zu Hopf-Algebra

Es sei $K$ ein kommutativer Ring, $H$ eine kommutative Hopf-Algebra und $G = Spek (H)$ das zugehörige affine Gruppenschema. Dann gelten folgende Aussagen.

Die folgenden Diagramme von $K$ -Morphismen kommutieren:

$\begin{matrix} G \times_{K} G \times_{K} G & \overset{Δ^{*} \times {Id}_{G}}{⟶} & G \times_{K} G \\ {Id}_{G} \times Δ^{*} ↓ & ↓ Δ^{*} \\ G \times_{K} G & \overset{Δ^{*}}{⟶} & G & , \end{matrix}$

$\begin{matrix} G & \overset{Id \times (ϵ^{*} ι^{*})}{⟶} & G \times_{K} G \\ {Id}_{G} ↘ & ↓ Δ^{*} \\ G & , \end{matrix}$

$\begin{matrix} G & \overset{S^{*} \times {Id}_{G}}{⟶} & G \times_{K} G \\ ι^{*} ↓ & ↓ Δ^{*} \\ Spek (K) & \overset{ϵ^{*}}{⟶} & G & . \end{matrix}$

Für jede kommutative $K$ -Algebra $L$ ist $G (L)$ mit den induzierten Operationen eine Gruppe.

???: Hilbert-Reihe eines positiv graduierten Polynomringes

Es sei $K$ ein Körper und es sei $R = K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ der Polynomring über $K$ , wobei die $X_{i}$ den positiven Grad $d_{i} \in ℕ_{+}$ haben mögen.

Dann ist die Hilbert-Reihe dieses Ringes gleich

$H (R, z) = \frac{1}{(1 - z^{d_{1}}) \dots (1 - z^{d_{n}})} .$

???: Die Formel von Molien

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik $0$ . Die endliche Gruppe $G$ operiere linear auf einem endlichdimensionalen $K$ -Vektorraum $V$ .

Dann ist

$Φ_{G} (z) = \frac{1}{# (G)} \sum_{σ \in G} \frac{1}{det (Id - z σ)} .$

???: Der Satz von Chevalley-Shephard-Todd

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik null. Die endliche Gruppe $G$ operiere linear und treu auf dem $K$ -Vektorraum $V$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

$G \subseteq {GL}_{n} (K)$ ist eine Reflektionsgruppe.

Der Invariantenring $K [X_{1}, \dots, X_{n}]^{G}$ ist (isomorph zu einem) ein Polynomring (in $n$ Variablen).

???: Klassifikationssatz für endliche Symmetriegruppen

Es sei $G \subseteq {SO}_{3} (ℝ)$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des $ℝ^{3}$ .

Dann ist $G$ eine der folgenden Gruppen.

Eine zyklische Gruppe $ℤ / (n)$ , $n \geq 1$ ,

Eine Diedergruppe $D_{k}$ , $k \geq 2$ ,

Die Tetraedergruppe $A_{4}$ ,

Die Würfelgruppe $S_{4}$ ,

Die Ikosaedergruppe $A_{5}$ .

???: Satz über die Überlagerung der Raumgruppe

Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

${SU}_{2} (ℂ) ⟶ {SO}_{3} (ℝ),$

dessen Kern gleich

${(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})}$

ist.

Die Abbildung kann explizit (mit $u = a + b i$ und $v = c + d i$ unter der Bedingung $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1$ ) durch

(\begin{matrix} u & - \overline{v} \\ v & \overline{u} \end{matrix}) ⟼ (\begin{matrix} a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2} & 2 (- a d + b c) & 2 (a c + b d) \\ 2 (a d + b c) & a^{2} - b^{2} + c^{2} - d^{2} & 2 (- a b + c d) \\ 2 (- a c + b d) & 2 (a b + c d) & a^{2} - b^{2} - c^{2} + d^{2} \end{matrix})

realisiert werden.

???: Klassifikationssatz für endliche Untergruppen der

{SL}_{2} (ℂ)

Die endlichen Untergruppen der ${SL}_{2} (ℂ)$ sind bis auf Isomorphie

die endlichen zyklischen Gruppen $Z_{n}$ ,

die binären Diedergruppen $B D_{n}$ , $n \geq 2$ ,

die binäre Tetraedergruppe $B T$ ,

die binäre Oktaedergruppe $B O$ ,

die binäre Ikosaedergruppe $B I$ .

???: Semiinvarianten bei endlichen ebenen Gruppen

Es sei $G \subseteq {SU}_{2} (ℂ)$ eine endliche Untergruppe mit ihrer natürlichen Operation auf dem Polynomring $ℂ [U, V]$ . Es sei $H = π (G)$ die zugehörige Untergruppe von ${SO}_{3} (ℝ)$ und es sei $K$ eine Bahn zur Operation von $H$ auf der Sphäre $S^{2}$ , die wir auch mit der komplex-projektiven Geraden $ℙ_{ℂ}^{1}$ und der Menge der eindimensionalen Untervektorräume in $ℂ^{2}$ identifizieren. Dann gelten folgende Aussagen.

Zur Klasse $K$ mit den darin enthaltenen Punkten (in $ℙ_{ℂ}^{1}$ )
$(a_{1} : b_{1}), (a_{2} : b_{2}), \dots, (a_{r} : b_{r})$

ist das Polynom

$F := \prod_{j = 1}^{r} (b_{j} U - a_{j} V)$

$G$ -semiinvariant.

Insbesondere ist zu einer Halbachsenklasse
$K = (a_{1} : b_{1}), (a_{2} : b_{2}), \dots, (a_{r} : b_{r})$

das Polynom

$F := \prod_{j = 1}^{r} (b_{j} U - a_{j} V)$

$G$ -semiinvariant.

Wenn $F \in ℂ [U, V]$ ein homogenes, $G$ -semiinvariantes Polynom mit der Faktorzerlegung
$F = \prod_{j = 1}^{s} (d_{j} U - c_{j} V)$

ist, und wenn $(c : d)$ einer dieser (Nullstellen)-Punkte ist, so ist auch $h (c : d)$ für $h \in H$ ein solcher Punkt.

???: Faktorialität der

E_{8}

-Singularität

Der Restklassenring $ℂ [X, Y, Z] / (X^{2} + Y^{3} + Z^{5})$

ist faktoriell.

???: Fundamentalgruppe bei fixpunktfreien Gruppenoperationen

Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf einem einfach zusammenhängenden Hausdorffraum $X$ fixpunktfrei operiere.

Dann ist

$X ⟶ X ∖ G$

eine Überlagerung und die Fundamentalgruppe des Bahnenraumes $X ∖ G$ ist gleich $G$ .

???: Lokale Fundamentalgruppe der ADE-Singularitäten

Es sei $G \subseteq {SL}_{2} (ℂ)$ eine endliche Untergruppe mit der zugehörigen zweidimensionalen speziellen Quotientensingularität $R = ℂ [U, V]^{G}$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Die Operation von $G$ auf $ℂ^{2} ∖ {(0, 0)}$ ist fixpunktfrei.

Die Fundamentalgruppe von ${(Spek (R))}_{ℂ} ∖ {P}$ ist gleich $G$ , wobei $P$ der singuläre Punkt von ${(Spek (R))}_{ℂ}$ ist.

???: Lokale Fundamentalgruppe von Monoidringen

Es sei $D$ eine kommutative endliche Gruppe und $δ : ℤ^{n} \to D$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit $n \geq 2$ . Diesen Gruppenhomomorphismus fassen wir als $D$ -Graduierung auf dem Polynomring $ℂ [X_{1}, \dots, X_{n}]$ und als Operation der Charaktergruppe $G = D^{\lor}$ auf dem $ℂ^{n}$ auf. Es sei $Γ$ der Kern von $δ$ , $M = Γ \cap ℕ^{n}$ das zugehörige Monoid und

ℂ [M] \subseteq ℂ [X_{1}, \dots, X_{n}]

die zugehörige Inklusion des Monoidringes. Es sei

q : ℂ^{n} ⟶ Y = Spek {(ℂ [M])}_{ℂ}

die zugehörige Quotientenabbildung. Es sei eine Zariski-abgeschlossene $G$ -invariante Teilmenge $T \subset ℂ^{n}$ derart gegeben, dass $T$ ganz in der Vereinigung der Achsenhyperebenen liegt, dass $T$ mindestens die Kodimension $2$ besitzt und dass die induzierte Operation von $G$ auf $ℂ^{n} ∖ T$ fixpunktfrei sei. Dann gelten folgende Aussagen.

Die Fundamentalgruppe von
$Y ∖ q (T) = (ℂ^{n} ∖ T) / G$

ist $G$ .

Die zu $γ \in Hom (Γ, ℤ)$ gehörende Abbildung
$γ^{*} : ℂ^{\times} ⟶ {(ℂ [Γ])}_{ℂ} ≅ {(ℂ^{\times})}^{n} \subseteq Y ∖ q (T), t ⟼ (t^{γ (u_{1})}, \dots, t^{γ (u_{n})}),$

( $u_{j}$ sei eine Basis von $Γ ≅ ℤ^{n}$ ) ergibt durch Einschränkung auf $S^{1} \subseteq ℂ^{\times}$ einen stetigen geschlossenen Weg

$[0, 2 π] ⟶ Y ∖ q (T) .$

Es sei $m \in ℕ_{+}$ derart, dass $m ℤ^{n} \subseteq Γ$ ist. Die Liftung des Weges aus (2) nach $ℂ^{n} ∖ T$ mit dem Anfangspunkt $(1, \dots, 1)$ ist durch
$[0, 2 π] ⟶ ℂ^{n} ∖ T, s ⟼ (e^{\frac{i s γ (m e_{1})}{m}}, \dots, e^{\frac{i s γ (m e_{n})}{m}}),$

gegeben. Der Weg $γ^{*} |_{S^{1}}$ repräsentiert das nach Lemma 26.1 zu $γ$ gehörende Element in der Fundamentalgruppe $G$ .

???: Lemma von Maschke

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von $K$ sei. Es sei

ρ : G ⟶ {GL}_{} (V)

eine Darstellung in einen endlichdimensionalen $K$ -Vektorraum $V$ und $U \subseteq V$ ein $G$ -invarianter Untervektorraum.

Dann gibt es einen $G$ -invarianten Untervektorraum $W \subseteq V$ mit $V = U \oplus W$ .

???: Satz von Maschke

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine endliche Gruppe, deren Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik von $K$ sei.

Dann ist $G$ linear reduktiv.

???: Lemma von Schur

Es sei $K$ ein Körper, $G$ eine Gruppe und seien $V_{1}, V_{2}$ zwei $K$ -Vektorräume mit zwei gegebenen irreduziblen Darstellungen $ρ_{1} : G \to {GL}_{} (V_{1})$ und $ρ_{2} : G \to {GL}_{} (V_{2})$ . Es sei $φ : V_{1} \to V_{2}$ eine lineare Abbildung mit

σ_{2} \circ φ = φ \circ σ_{1}

für alle $σ \in G$ , wobei $σ_{i}$ den zu $σ$ gehörenden Automorphismus auf $V_{i}$ bezeichnet.

Dann ist $φ = 0$ oder aber $φ$ definiert eine Äquivalenz der beiden Darstellungen.

???: Irreduzible Darstellung zu kommutativer Gruppe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $G$ eine kommutative Gruppe.

Dann ist jede irreduzible Darstellung von $G$ in einen endlichdimensionalen $K$ -Vektorraum eindimensional.

???: Charakterisierung von linear reduktiven Gruppen

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $G$ eine affin-algebraische Gruppe über $K$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

$G$ ist linear reduktiv.

Zu jeder $K$ -rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen $K$ -Vektorraum $V$ besitzt $V^{G} \subseteq V$ ein eindeutig bestimmtes $G$ -Komplement $W \subseteq V$ . Dabei gilt ${(W^{*})}^{G} = 0$ .

Zu jeder $K$ -rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen $K$ -Vektorraum $V$ und jedem $v \in V^{G}$ , $v \neq 0$ , gibt es eine $G$ -invariante Linearform $f \in V^{*}$ mit $f (v) \neq 0$ .

Zu jeder $K$ -rationalen Darstellung auf einem endlichdimensionalen $K$ -Vektorraum $V$ und jedem $G$ -Untervektorraum $U \subseteq V$ gibt es ein $G$ -Komplement.

???: Operation einer linear reduktiven Gruppe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $G$ eine linear reduktive Gruppe über $K$ , die auf einer endlich erzeugten $K$ -Algebra $R$ algebraisch operiere.

Dann ist $R^{G} \subseteq R$ ein direkter Summand.

???: Invariantenring einer linear reduktiven Gruppe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $G$ eine linear reduktive Gruppe über $K$ , die auf einem endlichdimensionalen $K$ -Vektorraum $V$ $K$ -rational operiere.

Dann ist der Invariantenring $K [V]^{G}$ eine endlich erzeugte $K$ -Algebra.

???: Invariantenring einer linear reduktiven Gruppe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $G$ eine linear reduktive Gruppe über $K$ , die auf einer endlich erzeugten $K$ -Algebra $R$ $K$ -algebraisch operiere.

Dann ist der Invariantenring $R^{G}$ eine endlich erzeugte $K$ -Algebra.

???: Existenz des Haarschen Maßes

Auf einer kompakten topologischen Gruppe $G$

existiert ein Maß $μ$ (auf der $σ$ -Algebra der Borelmengen) mit den beiden folgenden Eigenschaften.

$μ (T) = μ (g (T))$ für jede messbare Menge $T \subseteq G$ .

Es ist $μ (G) = 1$ .

Das Maß ist durch diese beiden Eigenschaften eindeutig bestimmt.

???: Satz von Hurwitz-Schur

Es sei $G$ eine kompakte Gruppe und

ρ : G ⟶ {GL}_{} (V)

eine stetige Darstellung auf dem endlichdimensionalen $ℂ$ -Vektorraum $V$ .

Dann gibt es eine direkte Zerlegung von $V$ in irreduzible Darstellungen.

???: Lineare Reduktivität der klassischen Gruppen

Die klassischen Gruppen

{GL}_{n} (ℂ), {SL}_{n} (ℂ), O_{n} (ℂ), {SO}_{n} (ℂ), {Sp}_{n} (ℂ)

sind linear reduktiv.