Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Vorlesung 12

Wir kommen nun zu wichtigen Folgerungen der in den letzten beiden Vorlesungen entwickelten Begriffe für die Invariantentheorie.

Ganzheit und Invariantenringe

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe $G$ durch Ringautomorphismen operiere.

Dann ist  $R^G\subseteq R$  eine ganze Erweiterung.

Beweis

Zu  $f\in R$  betrachten wir das Produkt

$P=\prod _{\sigma \in G}(X-f\sigma )\in R[X].$

Die Koeffizienten dieses Polynoms gehören zum Invariantenring $R^G$. Ferner ist $P$ normiert und es ist  $P(f)=0$  (da ja $X-f{e}_G=X-f$ ein Linearfaktor ist). Somit liefert $P$ eine Ganzheitsgleichung für $f$ über $R^G$ und daher ist  $R^G\subseteq R$  ganz.

$◻$

Satz

Es sei $R$ ein normaler Integritätsbereich und $G$ eine Gruppe, die auf $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.

Dann ist auch der Invariantenring normal.

Beweis

Es sei  $q\in Q\left(R^G\right)\subseteq Q(R)$  und $q$ erfülle eine Ganzheitsgleichung über $R^G$. Wegen  $R^G\subseteq R$  ist $q$ auch ganz über $R$ und wegen der Normalität von $R$ muss  $q\in R$  gelten. Wegen

$R\cap Q\left(R^G\right)=R^G$

gemäß Proposition 5.6 ist somit  $q\in R^G$,  also ist $R^G$ normal.

$◻$

Es ist eine wichtige Frage, welche weiteren Eigenschaften eines Ringes sich - unter welchen Bedingungen - auf einen Invariantenring übertragen. Für die endliche Erzeugtheit werden wir das im Folgenden behandeln, für die Faktorialität weiter unten. Die Eigenschaft, dass der Invariantenring bei einer linearen Operation ein Polynomring (also „regulär“) ist, werden wir später ausführlich behandeln.

Der Satz von Noether

Der folgende Satz heißt Satz von Noether.

Satz

Es sei $K$ ein Körper, $R$ eine endlich erzeugte kommutative $K$-Algebra, auf der eine endliche Gruppe $G$ durch $K$-Algebraautomorphismen operiere.

Dann ist der Invariantenring $R^G$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra.

Beweis

Es sei

$R=K[f_1,\dots ,f_n].$

Nach Lemma 12.1 ist  $R^G\subseteq R$  eine ganze Erweiterung. Zu jedem $f_i$ gibt es daher eine Ganzheitsgleichung

$f_i^{n_i}+a_{i,n_i-1}{f}_i^{n_i-1}+\cdots +a_{i,1}{f}_i+a_{i,0}=0$

mit  $a_{i,j}\in R^G$.  Wir betrachten die von den Koeffizienten $a_{i,j}$ erzeugte $K$-Unteralgebra von $R^G$, also

$S:=K[a_{i,j},1\le i\le n,0\le j<n_i]\subseteq R^G.$

Dabei ist $S$ endlich erzeugt, und sämtliche Ganzheitsgleichungen sind über $S$ formulierbar, d.h. nach Korollar 11.6, dass $R$ auch über $S$ ganz ist. Da $R$ über $K$ endlich erzeugt ist, ist $R$ insbesondere über $S$ endlich erzeugt, sodass  $S\subseteq R$  nach Satz 11.10 sogar endlich ist. Da $S$ noethersch ist, muss nach Satz 10.13 auch die $S$-Unteralgebra  $R^G\subseteq R$  ein endlicher $S$-Modul sein. Damit ist insgesamt $R^G$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra.

$◻$

Aus Lemma 12.1 und Satz 12.3 folgt in Zusammenhang mit Satz 11.10, dass  $R^G\subseteq R$  eine endliche Abbildung ist.

Bemerkung  

Das 14. Hilbertsche Problem ist die Frage, ob für jede Gruppenoperation auf einer endlich erzeugten $K$-Algebra auch der Invariantenring $R^G$ endlich erzeugt ist. Es wurde von Hilbert 1900 auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris als eines seiner 23 mathematischen Probleme vorgestellt und in den späten Fünfzigern durch ein Gegenbeispiel von Masayoshi Nagata negativ beantwortet.

Der Satz von Hilbert

Wir geben einen weiteren Beweis für den Endlichkeitssatz unter der Voraussetzung, dass der Invariantenring ein direkter Summand ist. Die dabei operierende Gruppe muss nicht endlich sein. Die Voraussetzung, dass es einen Reynolds-Operator gibt, ist für endliche Gruppen erfüllt, wenn ihre Ordnung kein Vielfaches der Charakteristik ist. Sie ist ferner für die sogenannten linear-reduktiven Gruppen in Charakteristik $0$ erfüllt, also beispielsweise für die allgemeine lineare Gruppe, was wir später zeigen werden, siehe Satz 29.3.

Definition

Es sei $K$ ein Körper. Eine $\mathbb{Z}$-graduierte kommutative $K$-Algebra $R$ heißt positiv-graduiert, wenn  $R_d=0$  für  $d<0$  und  $R_0=K$  ist.

Insbesondere kann man den Polynomring positiv graduieren, wenn man jeder Variablen einen positiven Grad  $\mathrm{grad}(X_i)=d_i\in {\mathbb{N}}_{>0}$  zuweist.

Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf dem positiv graduierten Polynomring $K[X_1,\dots ,X_n]$ als Gruppe von homogenen Ringautomorphismen operiere. Es sei $I_G$ das von allen homogenen Invarianten positiven Grades erzeugte Ideal in $K[X_1,\dots ,X_n]$ und es sei $f_1,\dots ,f_m$ ein homogenes Idealerzeugendensystem dieses Ideals. Es sei vorausgesetzt, dass der Invariantenring ein homogener direkter Summand des Polynomringes ist.

Dann bilden die $f_1,\dots ,f_m$ ein Algebraerzeugendensystem des Invariantenringes, d.h. es ist

$K[X_1,\dots ,X_n{]}^G=K[f_1,\dots ,f_m].$

Beweis

Aufgrund der Homogenität der Operation ist der Invariantenring selbst positiv graduiert. Wir beweisen die Inklusion

$K[X_1,\dots ,X_n{]}^G\subseteq K[f_1,\dots ,f_m]$

durch Induktion über den Grad. Wir betrachten also ein homogenes Element  $f\in K[X_1,\dots ,X_n{]}^G$  von positivem Grad. Wegen  $f\in I_G$  kann man

$f=\sum _{j=1}^m{h}_j{f}_j$

mit homogenen Elementen $h_j$ von einem Grad $<\mathrm{grad}(f)$ schreiben. Der Reynolds-Operator

$\rho :K[X_1,\dots ,X_n]⟶K[X_1,\dots ,X_n{]}^G,$

angewendet auf diese Gleichung, liefert

$f=\rho (f)=\rho \left(\sum _{j=1}^m{h}_j{f}_j\right)=\sum _{j=1}^m\rho \left(h_j\right)f_j.$

Dabei ist der Grad von $\rho (h_j)$ gleich dem Grad von $h_j$ und somit kleiner als der Grad von $f$ und sie gehören zum Invariantenring, sodass die $\rho (h_j)$ nach Induktionsvoraussetzung in der von den $f_j$ erzeugten Algebra liegen.

$◻$

Das Ideal $I_G$ heißt auch das Hilbertideal.

Korollar

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf dem positiv graduierten Polynomring $K[X_1,\dots ,X_n]$ als Gruppe von homogenen $K$-Algebraautomorphismen operiere. Es sei vorausgesetzt, dass der Invariantenring ein homogener direkter Summand des Polynomringes ist.

Dann ist der Invariantenring eine endlich erzeugte $K$-Algebra.

Beweis

Es sei $I_G$ das von allen Invarianten positiven Grades erzeugte Ideal in $K[X_1,\dots ,X_n]$. Aufgrund des Hilbertschen Basissatzes besitzt $I_G$ ein endliches Idealerzeugendensystem. Daher folgt die Aussage aus Lemma 12.6.

$◻$

Faktorialität der Invariantenringe

Während Invariantenringe unter schwachen Voraussetzungen normal sind, ist die Faktorialität eher eine seltene Eigenschaft. In Beispiel 7.13 haben wir eine lineare Operation einer zyklischen Gruppe $\mathbb{Z}/(n)$ auf $K[U,V]$ kennengelernt, deren Invariantenring gleich $K[X,Y,Z]/(XY-Z^n)$ ist. Die Gleichung  $XY=Z^n$  zeigt, dass zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen in irreduzible Elemente vorliegen. Dieser Invariantenring ist also nicht faktoriell.

Satz

Es sei $R$ ein faktorieller Bereich und es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Die Charaktergruppe zu $G$ mit Werten in der Einheitengruppe $R^{\times }$ sei trivial, d.h. es ist

$\mathrm{Hom}(G,R^{\times })=0.$

Dann ist auch der Invariantenring faktoriell.

Beweis

Wir zeigen, dass $F\in R^G$, $F\ne 0$, eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Es sei

$F=F_1^{r_1}\cdots F_n^{r_n}$

die Zerlegung in $R$ in irreduzible Faktoren, wobei die $F_i$ paarweise nicht (in $R$) assoziiert seien. Für jedes  $\sigma \in G$  ist dann auch

$F=F\sigma ={\left(F_1\sigma \right)}^{r_1}\cdots {\left(F_n\sigma \right)}^{r_n}.$

Wegen der Faktorialität von $R$ muss diese Zerlegung mit der ursprünglichen Faktorzerlegung übereinstimmen, d.h. zu jedem $i$ gibt es ein $j$ und eine Einheit  $a_{ij}\in R^{\times }$  mit

$F_i\sigma =a_{ij}{F}_j.$

Es sei

$\{1,\dots ,n\}=\underset{j\in J}{⨄}{I}_j$

die disjunkte Zerlegung der Indexmenge, bei der zwei Indizes $i,j$ in der gleichen Teilmenge landen, wenn es ein  $\sigma \in G$  derart gibt, dass $F_i\sigma$ und $F_j$ assoziiert sind. Wir setzen

$H_j:=\prod _{i\in I_j}{F}_i.$

Insbesondere ist dann

$F=\prod _{j\in J}{H}_j^{r_j}.$

Es ist

$H_j\sigma =\left(\prod _{i\in I_j}{F}_i\right)\sigma =\prod _{i\in I_j}\left(F_i\sigma \right)=a_j(\sigma )\prod _{i\in I_j}{F}_i=a_j(\sigma )H_j$

mit einer (von $\sigma$ abhängigen) Einheit

$a_j(\sigma )=\frac{H_j\sigma }{H_j}.$

An dieser letzten Darstellung sieht man, dass die Zuordnung $G⟶R^{\times }$, $\sigma ⟼a_j(\sigma )$, ein Charakter ist. Nach Voraussetzung ist dieser also trivial, und damit sind die $H_j$ invariant. Somit ist

$F=\prod _{j\in J}{H}_j$

eine Faktorzerlegung in $R^G$. Die $H_j$ sind dabei irreduzibel in $R^G$, da eine Faktorzerlegung

 $H_j=AB$  sofort zu einer Zerlegung von  $H_j=\prod _{i\in I_j}{F}_i$  in Teilprodukte führt, die aber wegen der Wahl der $I_j$ nicht invariant sein können. Wenn  $F=\prod _{\ell }{A}_{\ell }$  eine beliebige Zerlegung von $F$ in irreduzible Faktoren  $A_{\ell }\in R^G$  ist, so sind die $A_{\ell }$, aufgefasst in $R$, Produkte gewisser $F_i$, und wegen der Wahl der $I_j$ wird $A_{\ell }$ sogar von einem $H_j$ (in $R$ und in $R^G$) geteilt. Es liegt also eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren vor und damit ist $R^G$ nach Lemma 11.13  (2) faktoriell.

$◻$

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und  $R=K[X_1,\dots ,X_n]$.  Es sei $G$ eine endliche Gruppe, die auf $R$ als Gruppe von $K$-Algebraautomorphismen operiere. Die Charaktergruppe $G^{\vee }$ sei trivial.

Dann ist auch der Invariantenring faktoriell.

Beweis

Dies folgt aus Satz 12.8.

$◻$

Das Beispiel der symmetrischen Gruppe zusammen mit dem nichttrivialen Signumscharakter, wo der Invariantenring ein Polynomring ist, zeigt, dass die Bedingung des vorstehenden Satzes nicht notwendig für die Faktorialität des Invariantenringes ist.

Die Krulldimension

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen

${𝔭}_0\subset {𝔭}_1\subset \dots \subset {𝔭}_n$

nennt man Primidealkette der Länge $n$ (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von $R$ ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit $\dim \left(R\right)$ bezeichnet.

Wir werden hier die Dimensionstheorie nicht systematisch entwickeln. Ohne Beweis teilen wir das folgende Ergebnis mit.

Satz

Es sei $R$ ein noetherscher Ring der Dimension $d$.

Dann besitzt der Polynomring $R[X]$ die Dimension $d+1$.

Insbesondere ist die Dimension des Polynomringes $K[X_1,\dots ,X_n]$ über einem Körper $K$ gleich $n$. Wir werden bald, ausgehend von der Ganzheit über dem Invariantenring, sehen, dass der Invariantenring dimensionsgleich zum Ausgangsring ist.

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