Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Vorlesung 7

Wir haben schon vereinzelt die Standardgraduierung auf dem Polynomring verwendet. In dieser Vorlesung führen wir graduierte Ringe allgemein ein und erläutern den engen Zusammenhang zwischen Graduierungen und Gruppenoperationen von kommutativen Gruppen.

Graduierungen

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $D$ eine kommutative Gruppe. Eine $R$ -Algebra $A$ heißt $D$ -graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

A = ⨁_{d \in D} A_{d}

mit $R$ -Untermoduln $A_{d}$ derart gibt, dass $R \subseteq A_{0}$ ist und für die Multiplikation auf $A$ die Beziehung

A_{d} \cdot A_{e} \subseteq A_{d + e}

gilt.

Eine einfache Überlegung zeigt, dass $1 \in A_{0}$ ist und dass somit $A_{0}$ eine $R$ -Unteralgebra von $A$ ist. Häufig spricht man einfach von einem $D$ -graduierten Ring $A$ . Statt $R$ kann man stets $ℤ$ oder $A_{0}$ als Grundring wählen.

Bemerkung

In einer $D$ -graduierten $R$ -Algebra besitzt jedes Element $a \in A$ eine eindeutige Darstellung

a = \sum_{d \in D} a_{d} mit a_{d} \in A_{d},

wobei nur endlich viele der $a_{d}$ ungleich $0$ sein können. Die $a_{d}$ heißen dabei die homogenen Komponenten von $a$ , die $A_{d}$ heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von $A$ (oder $d$ -ten Stufen) und Elemente $a \in A_{d}$ heißen homogen vom Grad $d$ . Die Gruppe $D$ heißt die graduierende Gruppe. Der Fall $A_{d} = 0$ ist erlaubt.

Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra $A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente $a \in A_{d}$ und $b \in A_{e}$ die Produkte $a b \in A_{d + e}$ kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.

Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R [X_{1}, \dots, X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $R$ . Dieser ist in naheliegender Weise $ℤ$ -graduiert. Man definiert für ein Monom $X_{1}^{k_{1}} X_{2}^{k_{2}} \dots X_{n}^{k_{n}}$ den Grad durch $k_{1} + k_{2} + \dots + k_{n}$ und setzt $A_{d}$ als den $R$ -Modul aller Polynome an, die $R$ -Linearkombinationen von Monomen von Grad $d$ sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, sodass dadurch eine graduierte $R$ -Algebra entsteht. Es ist $A_{0} = R$ und $A_{n} = 0$ für negativen Grad $n$ . Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.

Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R [X_{1}, \dots, X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $R$ . Die additive Gruppe des Polynomrings ist einfach

⨁_{ν \in ℕ^{n}} R \cdot X^{ν} .

Daher ist der Polynomring $ℤ^{n}$ -graduiert, wobei die $ν = (ν_{1}, \dots, ν_{n})$ - te Stufe einfach aus allen $R$ -Vielfachen des Monoms

X^{ν} = X_{1}^{ν_{1}} \dots X_{n}^{ν_{n}}

besteht. Die Stufen zu

$ν \in ℕ^{n}$ sind also isomorph zu $R$ , die anderen Stufen, bei denen mindestens eine Komponente negativ ist, sind $0$ . Diese Graduierung nennt man die feine Graduierung des Polynomringes.

Durch einen (surjektiven) Gruppenhomomorphismus

ℤ^{n} ⟶ D

kann man aus der feinen Graduierung des Polynomrings wiederum „gröbere Graduierungen“ gewinnen. In Beispiel 7.13 wird diese Konstruktion eingesetzt.

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, $a \in K$ und $n \in ℕ$ . Dann besitzt die Restklassenalgebra $A = K [X] / (X^{n} - a)$ eine Graduierung mit der graduierenden Gruppe $D = ℤ / (n)$ , und zwar setzt man (wobei $x$ die Restklasse von $X$ sei)

A_{d} = {λ x^{d} ∣ λ \in K} .

Jedes Element $f \in A$ kann man durch ein Polynom repräsentieren, das maximal den Grad $n - 1$ besitzt. Daher besitzt jedes $f$ eine Summendarstellung mit Summanden aus den $A_{d}$ . Diese Summenzerlegung ist direkt, da man mit der einzigen gegebenen Gleichung $X^{n} = a$ nicht weiter reduzieren kann. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus $λ x^{d} \cdot μ x^{e} = λ μ x^{d + e}$ , und dies ist gleich $λ μ a x^{d + e - n}$ , falls $d + e \geq n$ ist, und andernfalls gleich $λ μ x^{d + e}$ . So oder so ist es ein Element aus $A_{d + e}$ .

Lemma

Es sei $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ ein kommutativer $D$ -graduierter Ring.

Dann ist der Unterring $A_{0} \subseteq A$ ein direkter Summand.

Beweis

Die Stufen $A_{d}$ sind $A_{0}$ -Moduln, daher ist

A = A_{0} \oplus (⨁_{d \in D, d \neq 0} A_{d})

eine direkte Summenzerlegung.

◻

Wir nennen die Stufe $A_{0}$ auch die neutrale Stufe des graduierten Ringes.

Homogene Ideale

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $D$ eine kommutative Gruppe und

A = ⨁_{d \in D} A_{d}

eine

$D$ -graduierte $R$ -Algebra. Ein Ideal $𝔞 \subseteq A$ heißt homogen, wenn zu $f \in 𝔞$ auch die homogenen Komponenten $f_{d} \in 𝔞$ sind.

Für ein homogenes Ideal liegt die Summenzerlegung

𝔞 = ⨁_{d \in D} 𝔞_{d}

mit

𝔞_{d} = 𝔞 \cap A_{d}

vor.

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$ -graduierte $R$ -Algebra. Es sei $𝔞 \subseteq A$ ein homogenes Ideal.

Dann ist auch der Restklassenring $A / 𝔞$ $D$ -graduiert.

Dabei ist

{(A / 𝔞)}_{d} = A_{d} / 𝔞_{d} .

Beweis

Siehe Aufgabe 7.9.

◻

Graduierungen und Gruppenoperationen

Wir kommen nun zu der Beziehung zwischen $D$ -Graduierungen und Operationen der Charaktergruppe $D^{\lor}$ .

Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$ -graduierte kommutative $K$ -Algebra.

Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus

$D^{\lor} = Char (D, K) ⟶ {Aut}_{K}^{} (A), χ ⟼ (a_{d} \mapsto χ (d) a_{d}),$

der Charaktergruppe von $D$ in die (homogene) $K$ -Automorphismengruppe von $A$ .

Wenn alle $A_{d} \neq 0$ sind, so ist diese Zuordnung injektiv.

Beweis

Zu jedem Charakter

χ : D ⟶ K^{\times}

ist die durch

$φ_{χ} (\sum_{d \in D} a_{d}) = \sum_{d \in D} χ (d) \cdot a_{d}$ definierte Abbildung $φ_{χ}$ mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente $a_{d} \in A_{d}$ und $a_{e} \in A_{e}$ aus

φ_{χ} (a_{d} \cdot a_{e}) = χ (d + e) a_{d} \cdot a_{e} = χ (d) \cdot χ (e) a_{d} \cdot a_{e} = φ_{χ} (a_{d}) \cdot φ_{χ} (a_{e}),

woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für $a \in A_{0}$ (und insbesondere für $a \in K$ ) ist ferner $φ_{χ} (a) = χ (0) a = a$ , sodass ein $K$ -Algebrahomomorphismus vorliegt.
Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere $χ_{1}, χ_{2} \in Char (D, K)$ gegeben. Für ein homogenes Element $a_{d} \in A_{d}$ ist

\begin{matrix} φ_{χ_{1} \cdot χ_{2}} (a_{d}) & = (χ_{1} \cdot χ_{2}) (d) \cdot a_{d} \\ = χ_{1} (d) \cdot χ_{2} (d) \cdot a_{d} \\ = χ_{1} (d) \cdot φ_{χ_{2}} (a_{d}) \\ = φ_{χ_{1}} (φ_{χ_{2}} (a_{d})) \\ = (φ_{χ_{1}} \circ φ_{χ_{2}}) (a_{d}), \end{matrix}

sodass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch

φ_{χ} \circ φ_{χ^{- 1}} = φ_{χ \circ χ^{- 1}} = φ_{1} = {Id}_{A},

sodass jedes $φ_{χ}$ ein $K$ -Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist.
Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Lemma 44.22 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) folgendermaßen. Bei $χ \neq 1$ gibt es ein $d \in D$ mit $χ (d) \neq 1$ . Nach Voraussetzung ist

A_{d} \neq 0,

sei also $a \in A_{d}$ , $a \neq 0$ . Damit ist $φ_{χ} (a) = χ (d) a \neq a$ , da $χ (d) - 1$ eine Einheit ist. Also ist $φ_{χ} \neq {Id}_{A}$ .

◻

Aufgrund dieses Lemmas operiert also die Charaktergruppe zur graduierenden Gruppe auf $A$ als Gruppe von (homogenen) $K$ -Algebraautomorphismen. Der zugehörige Invariantenring zu dieser Operation fällt unter schwachen Bedingungen mit dem Ring der neutralen Stufe der Graduierung zusammen.

Satz

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$ -graduierte kommutative $K$ -Algebra. Zu jedem $d \in D$ , $d \neq 0$ , gebe es einen Charakter $χ \in D^{\lor}$ mit

χ (d) \neq 1 .

Dann ist $A_{0}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe $G = D^{\lor}$ auf $A$ .

Beweis

Für ein Element $f \in A_{0}$ und einen beliebigen Charakter $χ$ ist offenbar

φ_{χ} (f) = χ (0) f = f,

sodass $A_{0} \subseteq A^{G}$ ist. Da die Operation der Charaktergruppe homogen ist, sind die homogenen Komponenten eines invarianten Elements $f \in A^{G}$ ebenfalls invariant. Es sei $f \in A_{d} \cap A^{G}$ und $d \neq 0$ . Aufgrund der Voraussetzung gibt es einen Charakter

χ : D ⟶ K^{\times}

mit $χ (d) \neq 1$ . Dann ist

φ_{χ} (f) = χ (d) f \neq f,

also sind solche Elemente nicht invariant.

◻

Korollar

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine endliche kommutative Gruppe und $A$ eine $D$ -graduierte kommutative $K$ -Algebra. Der Körper enthalte hinreichend viele Einheitswurzeln, sodass die Charaktergruppe $G = D^{\lor}$ von $D$ isomorph zu $D$ sei.

Dann ist $A_{0}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe $G$ auf $A$ .

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 7.10.

◻

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p$ und der Polynomring $K [X]$ sei durch $D = ℤ / (p)$ über $ℤ \to ℤ / (p)$ graduiert. Die neutrale Stufe ist offenbar $K [X^{p}]$ . Die Charaktergruppe zu $ℤ / (p)$ ist aber trivial, da es wegen

(x - 1)^{p} = x^{p} - 1

neben der $1$ keine weiteren $p$ -ten Einheitswurzeln in $K$ gibt. Damit ist natürlich auch die induzierte Operation trivial und der Invariantenring ist $K [X]$ .

Wir besprechen abschließend ein wichtiges Beispiel für Invariantenringe, die die sogenannten $A$ -Singularitäten repräsentieren.

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, der eine primitive $n$ -te Einheitswurzel $ξ$ enthalte. Wir betrachten die Untergruppe

G = {(\begin{matrix} ζ & 0 \\ 0 & ζ^{- 1} \end{matrix}) ∣ ζ^{n} = 1} \subseteq {GL}_{2} (K)

und die zugehörige Operation auf $K^{2}$ bzw. auf $K [U, V]$ . Es handelt sich um eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$ , die von

g = (\begin{matrix} ξ & 0 \\ 0 & ξ^{- 1} \end{matrix})

erzeugt wird. Die Operation von $g$ auf $K [U, V]$ ist durch $U \mapsto ξ U$ und $V \mapsto ξ^{- 1} V$ gegeben. Offenbar sind

X = U^{n}, Y = V^{n}, Z = U V

invariante Polynome unter dieser Gruppenoperation, die in der Beziehung

X Y = Z^{n}

stehen. Dass diese drei Invarianten den Invariantenring erzeugen, sieht man am besten, wenn man die Situation graduiert realisiert. Dazu sei der Polynomring $ℤ \times ℤ$ -graduiert, wobei $U$ den Grad $(1, 0)$ und $V$ den Grad $(0, 1)$ besitze. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus

δ : ℤ^{2} ⟶ ℤ / (n) = : D, (a, b) ⟼ a - b,

und die zugehörige $D$ -Graduierung des Polynomringes. Wir identifizieren die Charaktergruppe $D^{\lor}$ mit der obigen Gruppe $G$ , indem wir

χ : D ⟶ K^{\times}

mit $(\begin{matrix} χ (1) & 0 \\ 0 & χ (- 1) \end{matrix})$ identifizieren. Bei dieser Identifizierung entspricht die obige explizite Operation von $G$ auf $K [U, V]$ der natürlichen Operation der Charaktergruppe gemäß Lemma 7.9. Nach Korollar 7.11 ist der Invariantenring unter der $G$ -Operation gleich der neutralen Stufe unter der $D$ -Graduierung. Der Kern von $δ$ wird durch $(n, 0), (0, n), (1, 1)$ erzeugt. Die zugehörigen Stufen bilden somit den Invariantenring. Der Invariantenring ist also $K [U^{n}, V^{n}, U V]$ .

Im vorstehenden Beispiel haben wir einen surjektiven Ringhomomorphismus

K [X, Y, Z] / (X Y - Z^{n}) ⟶ K [U^{n}, V^{n}, U V] = K [U, V]^{G} .

Dies ist in der Tat ein Isomorphismus, d.h. $X Y = Z^{n}$ ist die einzige relevante Gleichung. Dies liegt daran, dass das Polynom $X Y - Z^{n}$ irreduzibel ist und dadurch der Restklassenring $K [X, Y, Z] / (X Y - Z^{n})$ ein Integritätsbereich ist. Die Übereinstimmung mit dem Invariantenring folgt nun aus der Dimensionstheorie, die wir aber nicht systematisch entwickeln werden. Jedenfalls ist dieser Restklassenring und der gesuchte Invariantenring zweidimensional, sodass sie übereinstimmen müssen, siehe Aufgabe 12.14.

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