Kurs:Körper- und Galoistheorie/2/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
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\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 10 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 62 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Normalteiler} {} $N$ in einer Gruppe $G$.
}{Eine \stichwort {$n$-te primitive} {} Einheitswurzel $\zeta$ in einem Körper $K$ \zusatzklammer {\mathlk{n \in \N_+}{}} {} {.}
}{Ein \stichwort {separables} {} Polynom
\mathl{P\in K[X]}{} über einem Körper
\mathl{K}{.}
}{Die \stichwort {Kommutatorgruppe} {} einer Gruppe $G$.
}{Eine \stichwort {transitive} {} Untergruppe einer Permutationsgruppe.
}{Eine
\stichwort {rein transzendente} {}
Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Ein Untergruppe
\mathl{H \subseteq G}{} ist ein \stichwort {Normalteiler} {,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xH
}
{ =} {Hx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in G}{} ist.
}{Eine $n$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
heißt primitiv, wenn sie die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$n$ besitzt.
}{Ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{} heißt separabel, wenn es über keinem
\definitionsverweis {Erweiterungskörper}{}{}
\mathl{K \subseteq L}{} mehrfache Nullstellen besitzt.
}{Die Kommutatorgruppe in $G$ ist die von allen
\definitionsverweis {Kommutatoren}{}{}
\mathbed {aba^{-1}b^{-1}} {}
{a,b \in G} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{.}
}{Eine Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ = }{S(M)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einer Permutationsgruppe zu einer Menge $M$ heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen
\mathl{x,y \in M}{} ein
\mathl{\sigma \in H}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sigma (x)
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
rein transzendent,
wenn es
\definitionsverweis {algebraisch unabhängige}{}{}
Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in L}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K(f_1 , \ldots , f_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Lemma von Dedekind} {} für Charaktere auf einem Monoid $G$ in einen Körper $K$.}{Der \stichwort {Satz über die Galoiskorrespondenz} {} bei einer endlichen Galoiserweiterung
\mathl{K \subseteq L}{.}}{Der Satz über das
\stichwort {Delische Problem} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $G$ ein Monoid, $K$ ein Körper und
\mathl{\chi_1 , \ldots , \chi_n \in \operatorname{Char} \, (G, K )}{} seien $n$ Charaktere. Dann sind diese Charaktere linear unabhängig
\zusatzklammer {als Elemente in $\operatorname{Hom}_{ K } { \left( G , K \right) }$} {} {.}}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann sind die Zuordnungen
\mathdisp {M \longmapsto \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M ) \text{ und } H \longmapsto \operatorname{Fix}\, ( H )} { }
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der Zwischenkörper
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
und der Menge der Untergruppen von $G$.}{Die Würfelverdopplung
\definitionsverweis {mit Zirkel und Lineal}{}{}
ist nicht möglich.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
der
\definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mathl{\pi +e { \mathrm i}}{} über $\R$.
}
{
Wegen $e \neq 0$ gehört diese Zahl nicht zu $\R$, daher besitzt das Minimalpolynom den Grad $2$.
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(\pi + e { \mathrm i} )^2
}
{ =} { \pi^2 - e^2 + 2 \pi e { \mathrm i}
}
{ =} { \pi^2 - e^2 + 2 \pi (\pi + e { \mathrm i} ) -2 \pi^2
}
{ =} {2 \pi (\pi + e { \mathrm i} ) - \pi^2 -e^2
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daher ist
\mathdisp {X^2 -2 \pi X + \pi^2+ e^2} { }
das Minimalpolynom.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (1+1+2)}
{
a) Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { \Z/(7) [T]/(T^3-2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.
b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^2+2T+4)(2T^2+5)$.
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.
}
{
a) Es ist
\mathdisp {1^3=1,\, 2^3 =1, \, 3^3=6, \, 4^3= 1, \,5^3= 6, \, 6^3=6} { . }
Also besitzt das Polynom
\mathl{T^3-2}{} keine Nullstelle in $\Z/(7)$
und ist somit irreduzibel, also ist
\mathl{\Z/(7)[T]/(T^3-2)}{} ein Körper. Die Restklassen von $1,T,T^2$ bilden eine $\Z/(7)$-Basis, so dass dieser Körper $7^3=343$ Elemente besitzt.
b) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(T^2+2T+4)(2T^2+5)
}
{ =} {2T^4 + 4 T^3 + 6 T^2 +3T + 6
}
{ =} {4T + 1 + 6 T^2 +3T + 6
}
{ =} {6 T^2
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
c) Polynomdivision liefert
\mathdisp {T^3-2 = (T^2 +6 T + 1)(T+1) + 4} { . }
In $K$ gilt somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (T+1) (T^2+6T+1)
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Inverse von $3$ in $\Z/(7)$ ist $5$, also ist
\mathdisp {5T^2+2T+5} { }
das Inverse von $T+1$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
Wir betrachten das Polynom
\mathdisp {P=X^{7129} + 105X^{103} +15 X +45} { . }
Bestimme für die folgenden Körper $K$, ob $P$ irreduzibel in
\mathl{K[X]}{} ist.
a)
\mathl{K=\Q}{.}
b)
\mathl{K=\R}{.}
c)
\mathl{K= \Z/(2)}{.}
d)
\mathl{K=\Q[T]/(T^{7129} + 105 T^{103} +15 T +45)}{.}
}
{
a) Wir können das Eisenstein-Kriterium mit der Primzahl $5$ anwenden. Die $5$ teilt alle Koeffizienten von $P$ außer dem Leitkoeffizienten, und $5^2$ teilt nicht den konstanten Term. Also ist $P$ irreduzibel in
\mathl{\Q[X]}{.}
b) Das Polynom hat ungeraden Grad, daher besitzt es aufgrund des Zwischenwertsatzes eine reelle Nullstelle und ist daher nicht irreduzibel in $\R[X]$.
c) Über
\mathl{K= \Z/(2)}{} wird das Polynom zu
\mathl{X^{7129} + X^{103} + X +1}{,} das die Nullstelle $1$ besitzt. Also ist $P$ nicht irreduzibel in
\mathl{\Z/(2)[X]}{.}
d) Zunächst ist $K$ ein Körper aufgrund von Teil (a). Es sei $t$ die Restklasse von $T$. In $K$ ist nach Konstruktion
\mathl{P(t)=0}{,} also ist $t$ eine Nullstelle von $P$ und $P$ ist nicht irreduzibel in
\mathl{K[X]}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (1+2)}
{
Es sei
\mathl{\Q \subseteq K}{} eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{}
und sei
\maabbdisp {\kappa} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {}
die komplexe Konjugation.
a) Zeige, dass
\mathl{\kappa(K) \subseteq K}{} gilt.
b) Zeige, dass
\mathl{\kappa {{|}}_K=
\operatorname{Id}_{ K }}{} genau dann gilt, wenn
\mathl{K \subseteq \R}{} ist.
}
{
a) Die Verknüpfung
\mathl{K \stackrel{\iota}{\longrightarrow} {\mathbb C} \stackrel{\kappa}{\longrightarrow} {\mathbb C}}{}
\zusatzklammer {$\iota$ die Inklusion} {} {}
ist ein
$\Q$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{,}
daher ist das Bild dieser Abbildung nach
Satz 15.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
gleich $K$.
b) Bei
\mathl{K \subseteq \R}{} ist natürlich
\mathl{\kappa {{|}}_K =
\operatorname{Id}_{ K }}{,} da die komplexe Konjugation auf $\R$ die Identität ist und sich diese Eigenschaft auf eine Teilmenge überträgt. Wenn andererseits
\mathl{K \not \subseteq \R}{} ist, so gibt es
\zusatzklammer {wegen \mathlk{K \subseteq {\mathbb C}}{}} {} {} ein
\mathl{a+b { \mathrm i} \in K}{} mit
\mathl{b\neq 0}{.} Für dieses Element ist
\mathl{\kappa(a+b{ \mathrm i} )=a-b{ \mathrm i} \neq a+b{ \mathrm i}}{,} so dass die komplexe Konjugation nicht die Identität auf $K$ ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein Körper. Beweise die Produktregel für das formale Ableiten \maabbeledisp {D} {K[X]} {K[X] } {F} {F' } {.}
}
{
Die Produktregel besagt
\mathdisp {(F \cdot G)' =F \cdot G' + F' \cdot G} { . }
Nach Definition ist die Ableitung
\mathl{F \mapsto F'}{} eine $K$-lineare Abbildung. Deshalb und aufgrund des Distributivgesetzes sind für festes $G$ die Abbildungen
\mathdisp {F \longmapsto F \cdot G \longmapsto (F \cdot G)'} { , }
\mathdisp {F \longmapsto F \cdot G'} { }
und
\mathdisp {F \longmapsto F' \cdot G} { }
$K$-linear. Da jedes $F$ eine eindeutige Darstellung als $K$-Linearkombination mit den Potenzen
\mathbed {X^n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
besitzt, genügt es, die Aussage für
\mathl{F=X^n}{} zu zeigen. Die gleiche Überlegung zeigt, dass man lediglich
\mathl{G=X^m}{} betrachten muss. Dann gilt einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X^n \cdot X^m)'
}
{ =} {(X^{n+m})'
}
{ =} {(n+m) X^{n+m-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{X^n \cdot (X^m)' + (X^n)' \cdot X^m
}
{ =} { m X^n X^{m-1} + n X^{n-1} X^m
}
{ =} { m X^{n+m-1} + nX^{n+m-1}
}
{ =} { (n+m) X^{n+m-1}
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
so dass Gleichheit gilt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise das Lemma von Dedekind für zwei Charaktere \maabbdisp {\chi_1, \chi_2} {G} {K } {} auf einem Monoid $G$ in einen Körper $K$.
}
{
Wir müssen zeigen, dass
\mathkor {} {\chi_1} {und} {\chi_2} {}
als Abbildungen von $G$ nach $K$ linear unabhängig sind. Das bedeutet, dass sie sich nicht um einen konstanten Faktor unterscheiden. Wir nehmen
\mathl{\chi_2=a \cdot \chi_1}{} mit $a \in K^\times$ an. Wegen $\chi_1(e)= \chi_2(e)=1$ für das neutrale Element
\mathl{e \in G}{} muss $a=1$ sein. Dann ist aber $\chi_2=\chi_1$ und es würden nicht zwei verschiedene Charaktere vorliegen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\Phi} {{\mathbb F}_{25}} {{\mathbb F}_{25} } {} bezüglich einer geeigneten ${\mathbb F}_5$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von ${\mathbb F}_{25}$.
}
{
Wegen
\mathl{1^2=(-1)^2=1}{} und
\mathl{2^2=3^2=4}{} in
\mathl{{\mathbb F}_5= \Z/(5)}{} ist
\mathl{X^2-2}{} irreduzibel über ${\mathbb F}_5$. Daher ist
\mathl{{\mathbb F}_{25}= \Z/(5)[X]/(X^2-2)}{.} Wir betrachten den Frobeniushomomorphismus bezüglich der Basis
\mathkor {} {1} {und} {x} {}
\zusatzklammer {$x$ sei die Restklasse von $X$} {} {.}
Dabei ist $1^5=1$ und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^5
}
{ =} {x^2 \cdot x^2 \cdot x
}
{ =} {2 \cdot 2 \cdot x
}
{ =} {4x
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}} { }
die beschreibende Matrix.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Wie viele Unterkörper besitzt der endliche Körper
\mathl{{\mathbb F}_{625}}{?}
}
{
Wegen
\mathl{625=5^4}{} ist die Galoisgruppe der Körpererweiterung
\mathl{{\mathbb F}_5 \subset {\mathbb F}_{625}}{} zyklisch der Ordnung $4$, also isomorph zu
\mathl{\Z/(4)}{.} Diese Gruppe besitzt drei Untergruppen, nämlich $0$, die durch $2$ erzeugte Untergruppe und sich selbst. Nach dem Satz über die Galoiskorrespondenz besitzt daher
\mathl{{\mathbb F}_{625}}{} drei Zwischenkörper.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei
\mathl{D= \Z/(n)}{} und sei $K$ ein Körper, der eine $n$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
$\zeta$ enthält. Es sei
\mathl{L}{} eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{}
von $K$. Beschreibe die Matrizen der
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{}
auf $L$
\zusatzklammer {also die Elemente der Galoisgruppe $\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )$} {} {}
bezüglich einer geeigneten $K$-Basis von $L$.
}
{
Die Automorphismen auf $L$ entsprechen den Charakteren auf
\mathl{D= \Z/(n)}{.} Diese entsprechen wiederum eindeutig dem Bild der $1$, welches eine $n$-te Einheitswurzel sein muss, also sich mittels der gegebenen primitiven Einheitswurzel als
\mathl{\zeta^{i}}{} mit einem eindeutigen $i$ zwischen
\mathkor {} {0} {und} {n-1} {}
schreiben lässt. Es sei
\mathl{x \in L_1}{} ein von $0$ verschiedenes Element der ersten Stufe. Dann bilden die
\mathbed {x^d} {}
{0 \leq d \leq n-1} {}
{} {} {} {,}
eine $K$-Basis von $L$. Der zu einem Charakter $\chi$ gehörende Automorphismus wirkt dabei in der $d$-ten Stufe durch Multiplikation mit $\chi(d)$. Daher besitzt der Automorphismus zum Charakter $\chi$ mit $\chi(1)= \zeta^{i}$ bzgl. dieser Basis die Matrixdarstellung
\mathdisp {\begin{pmatrix} \zeta^0 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\ 0 & \zeta^{i} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \zeta^{2i} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \zeta^{i(n-1)} \end{pmatrix}} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{} mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$ und es seien
\mathl{H_1,H_2 \subseteq G}{}
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
mit den zugehörigen
\definitionsverweis {Fixkörpern}{}{}
\mathkor {} {K_1 = \operatorname{Fix}\, ( H_1 )} {und} {K_2 = \operatorname{Fix}\, ( H_2 )} {.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Durchschnitt}{}{}
\mathl{K_1 \cap K_2}{} gleich dem Fixkörper zu $H$ ist, wobei $H$ die von
\mathkor {} {H_1} {und} {H_2} {}
\definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{}
bezeichnet
\zusatzklammer {das ist die kleinste Untergruppe von $G$, die sowohl $H_1$ als auch $H_2$ enthält} {} {.}
}
{
Es sei zuerst
\mathl{x \in \operatorname{Fix}\, ( H )}{.} Wegen
\mathl{H_1 , H_2 \subseteq H}{} ist insbesondere
\mathl{x \in \operatorname{Fix}\, ( H_1 )}{} und
\mathl{x \in \operatorname{Fix}\, ( H_2 )}{,} also auch
\mathl{x \in \operatorname{Fix}\, ( H_1 ) \cap \operatorname{Fix}\, ( H_2 )=K_1 \cap K_2}{.}
Aufgrund der Galoiskorrespondenz können wir die andere Inklusion
\mathl{K_1 \cap K_2 \subseteq \operatorname{Fix}\, ( H )}{} dadurch zeigen, dass wir die umgekehrte Inklusion der Galoisgruppen nachweisen. D.h. wir müssen
\mathl{H \subseteq \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K_1 \cap K_2 )}{} zeigen. Da rechts eine Gruppe steht und $H$ die von
\mathkor {} {H_1} {und} {H_2} {}
erzeugte Untergruppe ist, müssen wir lediglich
\mathl{H_1,H_2 \subseteq \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K_1 \cap K_2 )}{} zeigen. Wegen
\mathl{K_1 \cap K_2\subseteq K_1}{} ist aber
\mathl{H_1 \subseteq \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K_1 \cap K_2 )}{}
\zusatzklammer {ebenso für $H_2$} {} {.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{10 (4+6)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ K_{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {in ${\mathbb C}$} {} {}
der $n$-te Kreisteilungskörper und sei $\zeta$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel. Wir betrachten die Elemente
\mathbed {\zeta^{i}} {}
{i \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}} {}
{} {} {} {.}
a) Zeige, dass für eine Primzahl $n=p$ diese Elemente eine $\Q$-Basis von $K_{ n }$ bilden.
b) Es sei $p$ eine Primzahl und
\mathl{n=p^2}{.} Zeige, dass diese Elemente keine $\Q$-Basis von $K_{ n }$ bilden.
}
{
a) Der Kreisteilungskörper $K_n$ wird beschrieben als
\mathl{K_n=\Q[X]/( \Phi_{n} )}{} mit dem $n$-ten Kreisteilungspolynom $\Phi_{n}$. Dieses hat den Grad $\varphi(n)$
\zusatzklammer {mit der eulerschen $\varphi$-Funktion} {} {,}
und $X$ wird durch $\zeta$ ersetzt. Daher ist
\mathl{\zeta^0, \zeta^1 , \ldots , \zeta^{\varphi(n)-1}}{} eine $\Q$-Basis von $K_n$. Bei
\mathl{n=p}{} ist
\mathl{\varphi(p)=p-1}{} und wir betrachten die Elemente
\mathl{\zeta^{ i},\, i=1 , \ldots , p-1}{.} Das $p$-te Kreisteilungspolynom ist
\mathl{X^{p-1}+X^{p-2} + \cdots + X + 1}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} {- \zeta^{p-1} -\zeta^{p-2} - \cdots - \zeta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass man die $1$ als Linearkombination der angegebenen Elemente darstellen kann. Daher bilden sie ein Erzeugendensystem und somit auch eine Basis, da es sich um $\varphi(p)$ Elemente handelt.
b) Die Einheiten in
\mathl{\Z/(p^2)}{} sind alle Zahlen, die keine Vielfachen von $p$ sind. Es gilt
\mathdisp {0 = 1+ \zeta + \zeta^2 + \cdots + \zeta^{n-1}} { . }
Wir schreiben diese Summe als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {\sum_{i = 0}^{n-1} \zeta^{i}
}
{ =} { \sum _{i = 0,\, p {{|}} i }^{n-1} \zeta^{i} + \sum _{i = 0,\, p \not \, {{|}} \,\, i}^{n-1}\zeta^{i}
}
{ =} {\sum _{j = 0 }^{p-1} \zeta^{p j } + \sum _{i = 0,\, p \not \, {{|}} \,\, i}^{n-1}\zeta^{i}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $\zeta$ eine $p^2$-te primitive Einheitswurzel ist, ist $\zeta^p$ eine $p$-te primitive Einheitswurzel. Die linke Summe ist daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum _{j = 0 }^{p-1} \zeta^{p j }
}
{ =} {\sum _{j = 0 }^{p-1} (\zeta^{p})^j
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist auch die rechte Summe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum _{i = 0,\, p \not \, {{|}} \,\, i}^{n-1}\zeta^{i}
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist aber die Summe über alle Elemente aus unserer Familie, so dass diese Familie linear abhängig ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {auflösbare Gruppe}{}{} und \maabbdisp {q} {G} {H } {} ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass auch $H$ auflösbar ist.
}
{
Wir fixieren eine
\definitionsverweis {auflösende Filtrierung}{}{}
\mathdisp {\{e\} = G_0 \subseteq G_1 \subseteq G_2 \subseteq \ldots \subseteq G_{k-1} \subseteq G_k =G} { . }
Es sei
\maabbdisp {q} {G} {H
} {} der Restklassenhomomorphismus. Wir setzen
\mathl{H_i =q(G_i)}{,} dies ist eine Filtrierung von $H$ mit Untergruppen. Wir betrachten das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}
G_i & \stackrel{ }{\longrightarrow} & G_{i+1}
& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ H_i & \stackrel{ }{\longrightarrow} & H_{i+1}
& \!\!\!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
wobei die vertikalen Homomorphismen surjektiv sind. Wir behaupten, dass $H_i$ ein Normalteiler in
\mathl{H_{i+1}}{} ist, und ziehen dazu
Lemma 5.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
heran. Es sei also
\mathl{h \in H_i}{} und
\mathl{x \in H_{i+1}}{,} die wir durch
\mathl{\tilde{h} \in G_i}{} bzw.
\mathl{\tilde{x} \in G_{i+1}}{} repräsentieren. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xhx^{-1}
}
{ = }{q ( \tilde{x} \tilde{h} \tilde{x}^{-1} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wegen der Normalität von $G_i$ ist
\mathl{\tilde{x} \tilde{h} \tilde{x}^{-1} \in G_i}{} und somit
\mathl{xhx^{-1} \in H_i}{.} Wir betrachten die
\definitionsverweis {zusammengesetzte}{}{}
surjektive Abbildung
\mathdisp {G_{i+1} \longrightarrow H_{i+1} \longrightarrow H_{i+1}/H_i} { . }
Da $G_i$ zum
\definitionsverweis {Kern}{}{} dieser Abbildung gehört, gibt es aufgrund von
Satz 5.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
eine surjektive Abbildung
\maabbdisp {} {G_{i+1}/G_i} {H_{i+1}/H_i
} {,}
weshalb
\mathl{H_{i+1}/H_i}{} ebenfalls kommutativ ist.
}