Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 1

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Löse die quadratische Gleichung über .


Aufgabe

Bestätige folgende Aussagen.

  1. Die dritten Einheitswurzeln in sind und .
  2. Es ist und .
  3. Es ist .
  4. Es ist .


Aufgabe

Eliminiere in der kubischen Gleichung

den quadratischen Term.


Aufgabe *

Eliminiere in der kubischen Gleichung

den quadratischen Term.


Aufgabe

Finde die Nullstellen des Polynoms

ohne die Formeln von Cardano.


Aufgabe *

Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.


Aufgabe

Finde die Lösungen der kubischen Gleichung

() direkt und mit Hilfe der Formel von Cardano.


Aufgabe *

Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.


Aufgabe *

Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung

mit der Cardanoschen Formel.


Aufgabe

Bestimme die Lösungen der Gleichung

mit der Cardanoschen Formel.


Aufgabe

Bestimme die komplexen Eigenwerte der Matrix


Aufgabe

Löse die biquadratische Gleichung über .


Aufgabe *

Es sei

  1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von .
  2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ?


Aufgabe

Es sei eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl irrational ist.


Aufgabe

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe

Es sei eine kubische Gleichung mit . Eliminiere den linearen Term. Ist dies stets über möglich?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine polynomiale Gleichung mit , .

Zeige, dass es eine äquivalente polynomiale Gleichung der Form
gibt.


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Gleichung

mit der Cardanoschen Formel.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Lösungen der polynomialen Gleichung


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass nicht endlich sein kann.


In der nächsten Aufgabe soll über dem Körper aus Beispiel 1.7 gerechnet werden.

Aufgabe (4 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.



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