Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Definitionsliste

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Definition:Algebraisch abgeschlossener Körper

Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle in besitzt.



Definition:Unterkörper

Es sei ein Körper. Ein Unterring , der zugleich ein Körper ist, heißt Unterkörper von .



Definition:Körpererweiterung

Es sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von und die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.



Definition:Endliche Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.



Definition:Grad einer Körpererweiterung

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Dann nennt man die - Vektorraumdimension von den Grad der Körpererweiterung.



Definition:Quadratische Körpererweiterung

Eine endliche Körpererweiterung vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.



Definition:Einheitswurzeln

Es sei ein Körper und . Dann heißen die Nullstellen des Polynoms

in die -ten Einheitswurzeln in .



Definition:Norm eines algebraischen Elementes

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element nennt man die Determinante der - linearen Abbildung

die Norm von . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Spur eines algebraischen Elementes

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zu einem Element nennt man die Spur der - linearen Abbildung

die Spur von . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Diskriminate einer Basis

Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien Elemente in . Dann wird die Diskriminante von durch

definiert.



Definition:Ideal

Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. .
  2. Für alle ist auch .
  3. Für alle und ist auch .


Definition:Hauptideal

Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form

heißt Hauptideal.



Definition:Erzeugtes Ideal

Zu einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring bezeichnet das von den erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

wobei eine endliche Teilmenge und ist.



Definition:Integritätsbereich

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.



Definition:Einheit

Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Einheit, wenn es ein Element mit gibt.



Definition:Teilen (kommutativer Ring)

Es sei ein kommutativer Ring, und Elemente in . Man sagt, dass das Element teilt (oder dass von geteilt wird, oder dass ein Vielfaches von ist), wenn es ein derart gibt, dass ist. Man schreibt dafür auch .



Definition:Teilerfremd

Es sei ein kommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente teilerfremd sind, wenn jedes Element , das sowohl als auch teilt, eine Einheit ist.



Definition:Irreduzibles Element

Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.



Definition:Primelement

Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ein Produkt  mit , so teilt einen der Faktoren.



Definition:Hauptidealbereich

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.



Definition:Gruppenhomomorphismus

Seien und Gruppen. Eine Abbildung

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

für alle gilt.



Definition:Gruppenisomorphismus

Seien und Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie). Die beiden Gruppen heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.



Definition:Kern (Gruppenhomomorphismus)

Es seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von , geschrieben



Definition:Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe

Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Wir setzen (und sagen, dass und äquivalent sind) wenn .



Definition:Nebenklassen

Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Dann heißt zu jedem die Teilmenge

die Linksnebenklasse von in bezüglich . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Linksnebenklasse. Entsprechend heißt eine Menge der Form

Rechtsnebenklasse (zu ).



Definition:Gruppenordnung

Zu einer endlichen Gruppe bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als Gruppenordnung oder als die Ordnung der Gruppe, geschrieben



Definition:Ordnung eines Gruppenelementes

Es sei eine Gruppe und ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl mit die Ordnung von . Man schreibt hierfür . Wenn alle positiven Potenzen von vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man .



Definition:Index (Untergruppe)

Zu einer Untergruppe heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts-)Nebenklassen der Index von in , geschrieben



Definition:Innerer Automorphismus

Es sei eine Gruppe und fixiert. Die durch definierte Abbildung

heißt innerer Automorphismus.



Definition:Normalteiler

Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Man nennt einen Normalteiler, wenn

für alle ist, wenn also die Linksnebenklasse zu mit der Rechtsnebenklasse zu übereinstimmt.



Definition:Restklassengruppe

Es sei eine Gruppe und ein Normalteiler. Die Quotientenmenge

mit der aufgrund von Satz 5.7 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo . Die Elemente heißen Restklassen. Für eine Restklasse heißt jedes Element mit ein Repräsentant von .



Definition:Ringhomomorphismus

Es seien und Ringe. Eine Abbildung

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

  1. .
  2. .
  3. .


Definition:Charakteristik

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ist die kleinste positive natürliche Zahl mit der Eigenschaft . Die Charakteristik ist , falls keine solche Zahl existiert.



Definition:Algebra

Seien und kommutative Ringe und sei ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man eine -Algebra.



Definition:Algebrahomomorphismus

Es seien und kommutative - Algebren über einem kommutativen Grundring . Dann nennt man einen Ringhomomorphismus

einen -Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen und verträglich ist.



Definition:Algebraisches Element

Es sei ein Körper und eine kommutative - Algebra. Es sei ein Element. Dann heißt algebraisch über , wenn es ein von verschiedenes Polynom mit gibt.



Definition:Minimalpolynom

Es sei ein Körper und eine - Algebra. Es sei ein über algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom mit , welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von .



Definition:Algebraische Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung , heißt algebraisch, wenn jedes Element algebraisch über ist.



Definition:Erzeugte Algebra

Es sei eine -Algebra und sei , , eine Familie von Elementen aus . Dann heißt die kleinste -Unteralgebra von , die alle enthält, die von diesen Elementen erzeugte -Algebra.[[Kategorie:erzeugte -Algebra (MSW)|~]] Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Primkörper

Es sei ein Körper. Der Primkörper von ist der kleinste Unterkörper von .



Definition:Einfache Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung , heißt einfach, wenn es ein Element mit

gibt.



Definition:Einfache Radikalerweiterung

Eine Körpererweiterung heißt eine einfache Radikalerweiterung, wenn es ein gibt mit und ein mit .



Definition:Radikalerweiterung

Eine Körpererweiterung heißt eine Radikalerweiterung, wenn es Zwischenkörper

derart gibt, dass für jedes eine einfache Radikalerweiterung ist.



Definition:Nebenklasse (Ideal)

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Zu heißt die Teilmenge

die Nebenklasse von zum Ideal . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu .



Definition:Restklassenring

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Dann ist der Restklassenring (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.

  1. Als Menge ist die Menge der Nebenklassen zu .
  2. Durch

    wird eine Addition von Nebenklassen definiert.

  3. Durch

    wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.

  4. definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
  5. definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).


Definition:Exponent einer Gruppe

Der Exponent einer endlichen Gruppe ist die kleinste positive Zahl mit der Eigenschaft, dass für alle ist.



Definition:Primitive Einheitswurzel

Eine -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung besitzt.



Definition:Algebraische Zahlen

Eine komplexe Zahl heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ist. Andernfalls heißt sie transzendent.



Definition:Algebraischer Abschluss in Erweiterung

Es sei eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge

den algebraischen Abschluss von in .



Definition:Algebraautomorphismus

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative - Algebra. Ein bijektiver - Algebrahomomorphismus

heißt -Algebraautomorphismus.



Definition:Automorphismengruppe (Algebra)

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Algebra. Die Menge der - Algebra-Automorphismen

mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung heißt Automorphismengruppe der Algebra. Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Galoisgruppe

Es sei eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Automorphismengruppe

die Galoisgruppe der Körpererweiterung.



Definition:Endlicher Körper

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.



Definition:Zerfällungskörper

Es sei ein Körper, ein Polynom und eine Körpererweiterung, über der in Linearfaktoren zerfällt. Es seien die Nullstellen von . Dann nennt man

einen Zerfällungskörper von .



Definition:Formale Ableitung

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zu einem Polynom heißt das Polynom

die formale Ableitung von .



Definition:Graduierte Algebra

Es sei ein Körper und eine kommutative Gruppe. Eine - Algebra heißt -graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

mit - Untervektorräumen derart gibt, dass ist und für die Multiplikation auf die Beziehung

gilt.



Definition:Graduierte Körpererweiterung

Es sei ein Körper und eine endliche kommutative Gruppe. Unter einer -graduierten Körpererweiterung versteht man eine Körpererweiterung , bei der auf eine - Graduierung mit und für alle gegeben ist.



Definition:Charakter (Monoid)

Es sei ein Monoid und ein Körper. Dann heißt ein Monoidhomomorphismus

ein Charakter von in .



Definition:Charaktergruppe

Es sei ein Gruppe und ein Körper. Dann nennt man die Menge der Charaktere

die Charaktergruppe von (in ).



Definition:Separables Polynom

Es sei ein Körper. Ein Polynom heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper mehrfache Nullstellen besitzt.



Definition:Separable Körpererweiterung

Eine endliche Körpererweiterung heißt separabel, wenn für jedes Element das Minimalpolynom separabel ist.



Definition:Vollkommener Körper

Ein Körper heißt vollkommen, wenn jedes irreduzible Polynom separabel ist.



Definition:Konjugierte Elemente

Es sei ein Körper und eine kommutative - Algebra. Zwei über algebraische Elemente heißen konjugiert, wenn ihre Minimalpolynome übereinstimmen.



Definition:Galoiserweiterung

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Sie heißt eine Galoiserweiterung, wenn

gilt.



Definition:Normale Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung heißt normal, wenn es zu jedem ein Polynom , , mit gibt, das über zerfällt.



Definition:Fixkörper

Es sei ein Körper und eine Untergruppe der Automorphismengruppe von . Dann heißt

der Fixkörper zu .



Definition:Frobeniushomomorphismus

Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte. Der Frobeniushomomorphismus ist der Ringhomomorphismus




Definition:Kreisteilungskörper

Der -te Kreisteilungskörper ist der Zerfällungskörper des Polynoms

über .



Definition:Eulersche -Funktion

Zu einer natürlichen Zahl bezeichnet die Anzahl der Elemente von . Man nennt die Eulersche Funktion.



Definition:Kreisteilungspolynom

Es sei und seien die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

das -te Kreisteilungspolynom.



Definition:Kompositum

Es sei eine Körpererweiterung und seien zwei Zwischenkörper. Dann nennt man den von und erzeugten Unterkörper das Kompositum der beiden Körper (in ). Es wird mit bezeichnet.



Definition:Auflösbare Gruppe

Eine Gruppe heißt auflösbar, wenn es eine Filtrierung

derart gibt, dass ein Normalteiler in ist und die Restklassengruppe abelsch ist (für jedes ).



Definition:Kommutatorgruppe

Zu einer Gruppe heißt die von allen Kommutatoren , , erzeugte Untergruppe die Kommutatorgruppe von . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Iterierte Kommutatorgruppe

Es sei eine Gruppe. Die -te iterierte Kommutatoruntergruppe wird induktiv durch

definiert.



Definition:Normale Hülle

Es sei eine algebraische Körpererweiterung. Man nennt einen Körper mit eine normale Hülle von über , wenn der gemeinsame Zerfällungskörper aller Minimalpolynome von Elementen aus ist.



Definition:Auflösbare Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung heißt auflösbar, wenn es eine Radikalerweiterung mit gibt.



Definition:Auflösbare Gleichung

Es sei ein Körper und ein Polynom. Man sagt, dass das Polynom auflösbar ist (bzw., dass die Gleichung auflösbar ist), wenn die Körpererweiterung auflösbar ist.



Definition:Transitive Untergruppe einer Permutationsgruppe

Es sei eine Menge und sei die zugehörige Permutationsgruppe. Eine Untergruppe heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen ein mit gibt.



Definition:Elementar konstruierbare Geraden und Kreise

Es sei eine Teilmenge der Ebene . Eine Gerade heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte , , derart gibt, dass die Verbindungsgerade von und gleich ist. Ein Kreis heißt aus elementar konstruierbar, wenn es zwei Punkte , , derart gibt, dass der Kreis mit dem Mittelpunkt und durch den Punkt gleich ist.



Definition:Konstruierbar in einem Schritt

Es sei eine Teilmenge der Ebene . Dann heißt ein Punkt aus in einem Schritt konstruierbar, wenn eine der folgenden Möglichkeiten zutrifft.

  1. Es gibt zwei aus elementar konstruierbare Geraden und mit .
  2. Es gibt eine aus elementar konstruierbare Gerade und einen aus elementar konstruierbaren Kreis derart, dass ein Schnittpunkt von und ist.
  3. Es gibt zwei aus elementar konstruierbare Kreise und derart, dass ein Schnittpunkt der beiden Kreise ist.


Definition:Konstruierbare Punkte aus einer Startmenge

Es sei eine Teilmenge der Ebene . Dann heißt ein Punkt aus konstruierbar (oder mit Zirkel und Lineal konstruierbar), wenn es eine Folge von Punkten

gibt derart, dass jeweils aus in einem Schritt konstruierbar ist.



Definition:Konstruierbare Zahl

Eine Zahl heißt konstruierbar oder konstruierbare Zahl, wenn sie aus der Startmenge mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.



Definition:Konjugationsklassen

Zu einer Gruppe nennt man die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent (oder konjugiert) gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.



Definition:Konstruierbares regelmäßiges n-Eck

Es sei . Man sagt, dass das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl

eine konstruierbare Zahl ist.



Definition:Fermatsche Primzahl

Eine Primzahl der Form , wobei eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.



Definition:Fermat-Zahl

Eine Zahl der Form , wobei eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.



Definition:Körper der rationalen Funktionen in Variablen

Es sei ein Körper. Den Quotientenkörper des Polynomringes nennt man Körper der rationalen Funktionen in Variablen. Er wird mit bezeichnet.



Definition:Algebraisch unabhängig

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative - Algebra. Die Elemente heißen algebraisch unabhängig (über ), wenn für jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom bei der Einsetzung

gilt.



Definition:Transzendenzbasis

Es sei ein Grundkörper und eine Körpererweiterung. Man sagt, dass eine Transzendenzbasis von über ist, wenn die algebraisch unabhängig sind und eine algebraische Körpererweiterung ist.



Definition:Rein transzendente Körpererweiterung

Eine Körpererweiterung heißt rein transzendent, wenn es algebraisch unabhängige Elemente mit gibt.



Definition:Transzendenzgrad

Es sei ein Grundkörper und eine Körpererweiterung mit einer endlichen Transzendenzbasis. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in einer jeden Transzendenzbasis von über den Transzendenzgrad von über . Dafür schreibt man .