Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 24/latex

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\setcounter{section}{24}






\zwischenueberschrift{Diskrete Bewertungsringe}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionswort {diskreter Bewertungsring}{} $R$ ist ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} mit der Eigenschaft, dass es bis auf \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} genau ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} in $R$ gibt.

}





\inputfaktbeweis
{Diskreter Bewertungsring/Erste Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist}
\faktfolgerung {ein \definitionsverweis {lokaler}{}{,} \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} mit genau zwei \definitionsverweis {Primidealen}{}{,} nämlich $0$ und dem \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Ein diskreter Bewertungsring ist kein Körper. In einem Hauptidealbereich, der kein Körper ist, wird jedes maximale Ideal von einen Primelement erzeugt, und die Primerzeuger zu verschiedenen maximalen Idealen können nicht assoziiert sein. Also gibt es genau ein maximales Ideal. Nach Fakt ***** ist ein Hauptidealbereich insbesondere ein Dedekindbereich, so dass es als weiteres Primideal nur noch das Nullideal gibt.

}





\inputdefinition
{}
{

Zu einem Element \mathind { f \in R } { f \neq 0 }{,} in einem \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Primelement}{}{} $p$ heißt die Zahl
\mathl{n \in \N}{} mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{up^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $u$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} bezeichnet, die \definitionswort {Ordnung}{} von $f$. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{ord} \, (f)}{} bezeichnet.

}

Die Ordnung ist also nichts anderes als der Exponent zum \zusatzklammer {bis auf Assoziiertheit} {} {} einzigen Primelement in der Primfaktorzerlegung. Sie hat folgende Eigenschaften.

\inputfaktbeweis
{Diskreter Bewertungsring/Ordnungsfunktion/Erste Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ (p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann hat die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} \maabbeledisp {} {R \setminus \{0\} } { \N } {f} {\operatorname{ord} (f) } {,} folgende Eigenschaften. \aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (fg) }
{ = }{\operatorname{ord} \, (f) + \operatorname{ord} \, (g) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f+g) }
{ \geq }{ \min \{ \operatorname{ord} \, (f) ,\operatorname{ord} \, (g) \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ {\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f) }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ R^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe *****. }


Wir wollen eine wichtige Charakterisierung für diskrete Bewertungsringe beweisen, die insbesondere beinhaltet, dass ein normaler lokaler Integritätsbereich mit genau zwei Primidealen bereits ein diskreter Bewertungsring ist.





\inputfaktbeweis
{Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt}
{Satz}
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {lokaler}{}{} \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} mit der Eigenschaft, dass es genau zwei \definitionsverweis {Primideale}{}{}
\mathl{0 \subset {\mathfrak m}}{} gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. \aufzaehlungfuenf{$R$ ist ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.} }{$R$ ist ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.} }{$R$ ist \definitionsverweis {faktoriell}{}{.} }{$R$ ist \definitionsverweis {normal}{}{.} }{$\mathfrak m$ ist ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{.} }

}
{

$(1) \Rightarrow (2)$ folgt direkt aus der Definition *****.

$(2) \Rightarrow (3)$ folgt aus Fakt *****.

$(3) \Rightarrow (4)$ folgt aus Fakt *****.

$(4) \Rightarrow (5)$. Sei
\mathbed {f \in {\mathfrak m}} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Dann ist
\mathl{R/(f)}{} ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal \zusatzklammer {nämlich
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \tilde{ {\mathfrak m} } }
{ = }{ {\mathfrak m} R/(f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} Daher gibt es nach Fakt ***** ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{ {\mathfrak m} }^n }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zurückübersetzt nach $R$ heißt das, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n }
{ \subseteq }{ (f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Wir wählen $n$ minimal mit den Eigenschaften
\mathdisp {{\mathfrak m}^n \subseteq (f) \text{ und } {\mathfrak m}^{n-1} \not\subseteq (f)} { . }
Wähle \mathkon { g \in {\mathfrak m}^{n-1} } { mit } { g \not\in (f) }{ } und betrachte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h }
{ \defeq} {\frac{f}{g} }
{ \in} { Q(R) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} Das Inverse, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h^{-1} }
{ = }{\frac{g}{f} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} gehört nicht zu $R$, sonst wäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \in }{(f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da $R$ nach Voraussetzung normal ist, ist $h^{-1}$ auch nicht \definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$. Nach dem Modulkriterium Lemma 22.6 für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak m} }
{ \subset }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h^{-1} {\mathfrak m} }
{ \not\subseteq} { {\mathfrak m} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. Nach Wahl von $g$ ist aber auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h^{-1} {\mathfrak m} }
{ =} { \frac{g}{f} {\mathfrak m} }
{ \subseteq} { \frac{ {\mathfrak m}^n }{f} }
{ \subseteq} { R }
{ } { }
} {}{}{.}

Daher ist
\mathl{h^{-1} {\mathfrak m}}{} ein Ideal in $R$, das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist
\mathl{h^{-1} {\mathfrak m} = R}{.} Das heißt einerseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h }
{ \in }{ {\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und andererseits gilt für ein beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ {\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h^{-1}x }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{h (h^{-1}x) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{(h) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (h) }
{ = }{ {\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

$(5) \Rightarrow (1)$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ (\pi) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist $\pi$ ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Sei
\mathbed {f\in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {} keine Einheit. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ {\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{\pi g_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist $g_1$ eine Einheit oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_1 }
{ \in }{ {\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Im zweiten Fall ist wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_1 }
{ = }{ \pi g_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ = }{ \pi^2 g_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

Wir behaupten, dass man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{\pi^k u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einer Einheit $u$ schreiben kann. Andernfalls könnte man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{ \pi^n g_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit beliebig großem $n$ schreiben. Nach Fakt ***** gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\pi^m) }
{ = }{{\mathfrak m}^m }
{ \subseteq }{(f) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{m+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\pi^m }
{ = }{ af }
{ = }{ a \pi^{m+1}b }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und der Widerspruch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ = }{ ab \pi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

Es lässt sich also jede Nichteinheit $\neq 0$ als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist $R$ faktoriell. Für ein beliebiges Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{ (f_1 , \ldots , f_s) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i }
{ = }{\pi^{n_i} u_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit Einheiten $u_i$. Dann sieht man leicht, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{ (\pi^n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{ \min_{i}\{n_i\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}




\inputbeispiel{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ K[X]_{ (X)} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} am \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ (X) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.} Die beiden einzigen \definitionsverweis {Primideale}{}{} von $R$ sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(0) }
{ \subset }{ (X) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} liegt vor, da ja
\mathl{K[X]}{} ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} auch nur ein Primelement geben, nämlich $X$.


}




\inputbeispiel{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ \Z_{ (p )} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} am \definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ (p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.} Die beiden einzigen \definitionsverweis {Primideale}{}{} von $R$ sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(0) }
{ \subset }{ (p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} liegt vor, da ja
\mathl{\Z}{} ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} auch nur ein Primelement geben, nämlich $p$.


}




\inputbeispiel{}
{

Es sei $A$ ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ \subseteq }{ A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{.} Dieses ist ein Hauptideal und wird durch ein \definitionsverweis {Primelement}{}{,} sagen wir
\mathl{{\mathfrak m} =(p)}{,} erzeugt. Die \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} {A_{\mathfrak m} }
{ =} { { \left\{ { \frac{ f }{ g } } \mid f \in A , \, g \not\in {\mathfrak m} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist nach Satz 16.3 ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{} mit dem maximalen Ideal
\mathl{{\mathfrak m} A_{\mathfrak m}}{,} das ebenfalls von
\mathl{p}{} erzeugt wird. Alle \definitionsverweis {Primelemente}{}{}
\mathl{q \in A}{,} die nicht zu $p$ \definitionsverweis {assoziiert}{}{} sind, werden in der Lokalisierung zu Einheiten. Daher gibt es in der Lokalisierung bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement, und somit liegt ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} vor. Für
\mathl{A=\Z}{} und eine Primzahl $p$ ist $\Z_{(p)} \subseteq \Q$ der Unterring der rationalen Zahlen, deren Nenner kein Vielfaches von $p$ sind.


}