Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 30/kontrolle

Die Multiplikationsabbildung

Zu einer ${}R$- Algebra ${}A$ definiert jedes Element  ${}f\in A$  einen ${}R$- Modulhomomorphismus ${}A\longrightarrow A$, ${}x\longmapsto fx$, die Multiplikationsabbildung. In der folgenden Aussage wird zu einem ${}R$- Modul ${}M$ mit ${}\operatorname {End} _{R}\,(M)$ der (nichtkommutative) Ring bezeichnet, der aus allen ${}R$-linearen Abbildungen besteht und wobei die Multiplikation durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist. De folgende Aussage ist eine direkte Verallgemeinerung von Lemma 3.6.

Lemma Lemma 30.1 ändern

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine ${}R$- Algebra.

Dann ist die Abbildung

$A\longrightarrow \operatorname {End} _{R}\,(A),\,f\longmapsto \mu _{f},$

ein injektiver Ringhomomorphismus.

Beweis

Dies beruht auf dem Distributivgesetz von ${}A$ und auf

${}{\left(\mu _{f}\circ \mu _{g}\right)}(z)=\mu _{f}{\left(\mu _{g}(z)\right)}=\mu _{f}{\left(gz\right)}=fgz=\mu _{fg}(z)\,.$

Die Injektivität ergibt sich aus  ${}\mu _{f}(1)=f$. 

$\Box$

Lemma Lemma 30.2 ändern

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und

$A\longrightarrow \operatorname {End} _{R}\,(A),\,f\longmapsto \mu _{f},$

der zugehörige Ringhomomorphismus in den Endomorphismenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist eine Einheit in ${}A$.
2. ${}\mu _{f}$ ist eine Einheit in ${}\operatorname {End} _{R}\,(A)$.
3. ${}\mu _{f}$ ist bijektiv.
4. ${}\mu _{f}$ ist surjektiv.

Beweis

Dies beruht auf Lemma 3.7, Lemma 19.3 und darauf, dass im surjektiven Fall die ${}1$ zum Bild gehört.

$\Box$

Wenn ${}A$ eine endlich erzeugte freie ${}R$-Algebra ist, ihre additive Struktur also die Form  ${}A=R^{n}$  besitzt, so wird dieser Multiplikationshomomorphismus bezüglich einer ${}R$- Basis von ${}A$ durch eine ${}n\times n$-Matrix beschrieben, die die Multiplikationsmatrix (zu ${}f$ bezüglich dieser Basis) heißt. In diesem Fall kann man Konzepte der Matrixtheorie der linearen Algebra auf diese Multiplikationsabbildung anwenden. Diese Situation liegt automatisch bei einer endlichen Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  oder einer endlichen Algebra ${}A$ über einem Körper vor, aber auch ein Zahlbereich ist stets nach Fakt ***** eine freie ${}\mathbb {Z}$-Algebra. Aber auch wenn  ${}R\subseteq A$  Integritätsbereiche sind mit ${}A$ endlich erzeugt als ${}R$- Modul, so kann man auch im nichtfreien Fall über die Quotientenkörper die folgenden Konzepte anwenden.

Für  ${}f\in R$  liegt bezüglich einer beliebigen Basis die Streckungsmatrix

${\begin{pmatrix}f&0&0&\ldots &0\\0&f&0&\ldots &0\\0&0&f&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0&f\end{pmatrix}}$

vor, für beliebige Elemente  ${}f\in A$  werden die Matrizen ziemlich kompliziert, was man teilweise durch Wahl einer geeigneten Basis korrigieren kann. Insbesondere sind Konzepte relevant, die nicht von der Wahl einer Basis abhängen.

Beispiel Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}F=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\in R[X]$  ein normiertes Polynom. Es sei

${}R\subseteq R[X]/{\left(X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}\right)}=:A\,$

die zugehörige endliche freie ${}R$- Algebra. Nach Lemma 18.22 bilden die Potenzen ${}x^{i}$, ${}0\leq i\leq n-1$, (wobei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ bezeichnet) eine ${}R$- Basis von ${}A$. Zu einem  ${}g\in A$  wird die Multiplikationsabbildung

$\mu _{g}\colon A\longrightarrow A,\,y\longmapsto gy,$

bezüglich der gegebenen Basis durch die ${}n\times n$- Matrix beschrieben, deren Spalten aus den Koordinaten zu den Produkten ${}g\cdot x^{i}$, ${}0\leq i\leq n-1$, bezüglich der Basis besteht. Wegen  ${}x^{0}=1$  stehen in der ersten Spalte einfach die Koordinaten von ${}g$ selbst. Zu ${}x$ ist diese Matrix gleich

${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&-a_{0}\\1&0&\ldots &0&-a_{1}\\0&1&\ldots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\ldots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}$

beschrieben. Zu einem beliebigen Element

${}g=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n-1}x^{n-1}\,$

wird die Matrix schnell kompliziert, wir führen nur die ersten beiden Spalten an

${\begin{pmatrix}b_{0}&-a_{0}b_{n-1}&\ldots &*&*\\b_{1}&b_{0}-a_{1}b_{n-1}&\ldots &*&*\\b_{2}&b_{1}-a_{2}b_{n-1}&\ldots &*&*\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\b_{n-1}&b_{n-2}-a_{n-1}b_{n-1}&\ldots &*&*\end{pmatrix}}.$

Die Spur bei einer endlichen freien Algebra

Über diese Konstruktion bzw. Zuordnung werden Norm und Spur von ${}f$ erklärt.

Definition Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S$ eine kommutative endliche freie ${}R$- Algebra. Zu einem Element  ${}f\in S$  nennt man die Spur des ${}R$- Modulhomomorphismus

$\mu _{f}\colon S\longrightarrow S,\,y\longmapsto fy,$

die Spur von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

Lemma Referenznummer erstellen

Es sei  ${}R\subseteq A$  eine endliche freie Algebra vom Rang ${}n$. Dann hat die Spur

$S\colon A\longrightarrow R,\,f\longmapsto S(f),$

folgende Eigenschaften:

1. Die Spur ist ${}R$- linear, also  ${}S(f+g)=S(f)+S(g)$  und  ${}S(\lambda f)=\lambda S(f)$  für  ${}\lambda \in R$. 
2. Für  ${}f\in R$  ist  ${}S(f)=nf$. 

Beweis

Dies folgt aus den Definitionen.

$\Box$

Lemma Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S$ eine kommutative endliche freie ${}R$- Algebra. Es sei ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ eine ${}R$- Basis von ${}S$ mit der Dualbasis ${}x_{1}^{*},\ldots ,x_{n}^{*}$.

Dann gilt für die Spur zu  ${}f\in S$  die Beziehung

${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{*}(x_{i}f)\,.$

Beweis

Wir setzen

${}fx_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}x_{i}\,,$

die Multiplikationsmatrix zu ${}f$ ist also ${}{\left(c_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$. Dann ist direkt

${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{n}c_{ii}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{*}(fx_{i})\,.$

$\Box$

Die Norm bei einer endlichen freien Algebra

Definition Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S$ eine kommutative endliche freie ${}R$- Algebra. Zu einem Element  ${}f\in S$  nennt man die Determinante des ${}R$- Modulhomomorphismus

$\mu _{f}\colon S\longrightarrow S,\,y\longmapsto fy,$

die Norm von ${}f$. Sie wird mit ${}N(f)$ bezeichnet.

Beispiel Referenznummer erstellen

Es sei  ${}K\subseteq L=K[X]/(X^{n}-a)$  eine Körpererweiterung, die durch die Hinzunahme einer ${}n$-ten Wurzel aus einem Element ${}a\in K$ entstehe. Es sei ${}x$ die Restklasse von ${}X$. Dann wird ${}\mu _{x}$ bezüglich der ${}K$- Basis ${}1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ von ${}L$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&a\\1&0&\ldots &0&0\\0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\ldots &1&0\end{pmatrix}}$

beschrieben. Somit ist die Norm von ${}x$ gleich ${}\pm a$ (das Vorzeichen hängt davon ab, ob ${}n$ gerade oder ungerade ist) und die Spur ist ${}0$.

Lemma Referenznummer erstellen

Es sei  ${}R\subseteq A$  eine endliche freie Algebra vom Rang ${}n$. Dann hat die Norm

$N\colon A\longrightarrow R,\,f\longmapsto N(f),$

folgende Eigenschaften.

1. Es ist  ${}N(fg)=N(f)N(g)$. 
2. Für  ${}f\in R$  ist  ${}N(f)=f^{n}$. 
3. ${}f$ ist genau dann eine Einheit, wenn ${}N(f)$ eine Einheit ist.

Beweis

1. Dies folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus Lemma 30.1.
2. Zu einer beliebigen Basis von ${}A$ wird die Multiplikation mit einen Element  ${}f\in R$  durch die Diagonalmatrix beschrieben, bei der jeder Diagonaleintrag ${}f$ ist. Die Determinante ist daher ${}f^{n}$ nach Lemma 21.4.
3. Dies beruht auf Lemma 30.2 und auf Korollar 22.14.

$\Box$

Norm und Spur sind Elemente aus ${}R$.

Weitere Beschreibungen des Minimalpolynoms und der Norm und der Spur finden sich in Fakt ***** und Fakt *****.

Das Minimalpolynom

Definition Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra. Es sei  ${}f\in A$  ein Element. Dann heißt ${}f$ algebraisch über ${}R$, wenn es ein von null verschiedenes Polynom  ${}P\in R[X]$  mit  ${}P(f)=0$  gibt.

Wenn ein Polynom  ${}P\neq 0$  das algebraische Element  ${}f\in A$  annulliert (also ${}P(f)=0$ ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom.

Definition Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}K$- Algebra. Es sei  ${}f\in A$  ein über ${}K$ algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom  ${}P\in K[X]$  mit  ${}P(f)=0$,  welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von ${}f$.

Wenn ${}f$ nicht algebraisch ist, so wird das Nullpolynom als Minimalpolynom betrachtet.

Beispiel Referenznummer erstellen

Bei einer Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  sind die Elemente  ${}a\in K$  trivialerweise algebraisch, und zwar ist jeweils  ${}X-a\in K[X]$  das Minimalpolynom. Weitere Beispiele liefern über  ${}K=\mathbb {Q}$  die komplexen Zahlen ${}{\sqrt {2}},{\mathrm {i} },3^{1/5}$, etc. Annullierende Polynome aus ${}\mathbb {Q} [X]$ sind dafür ${}X^{2}-2$, ${}X^{2}+1$, ${}X^{5}-3$ (es handelt sich dabei übrigens um die Minimalpolynome, was in den ersten beiden Fällen einfach und im dritten Fall etwas schwieriger zu zeigen ist). Man beachte, dass beispielsweise ${}X-{\sqrt {2}}$ zwar ein annullierendes Polynom für ${}{\sqrt {2}}$ ist, dessen Koeffizienten aber nicht zu ${}\mathbb {Q}$ gehören.

Lemma Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}A$ eine ${}K$- Algebra und  ${}f\in A$  ein Element. Es sei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$ über ${}K$.

Dann ist der Kern des kanonischen ${}K$- Algebrahomomorphismus

$K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f,$

das von ${}P$ erzeugte Hauptideal.

Beweis

Wir betrachten den kanonischen Einsetzungshomorphismus

$K[X]\longrightarrow A,\,X\longmapsto f.$

Dessen Kern ist nach Lemma 4.6 ein Ideal und nach Korollar 5.17 ein Hauptideal, sagen wir  ${}{\mathfrak {a}}=(F)$,  wobei wir ${}F$ als normiert annehmen dürfen (im nicht-algebraischen Fall liegt das Nullideal vor und die Aussage ist trivialerweise richtig). Das Minimalpolynom ${}P$ gehört zu ${}{\mathfrak {a}}$. Andererseits ist der Grad von ${}F$ größer oder gleich dem Grad von ${}P$, da ja dessen Grad minimal gewählt ist. Daher muss der Grad gleich sein und somit ist  ${}P=F$,  da beide normiert sind.

$\Box$