Kurs:Kommutative Algebra/Teil II/Vorlesung 32

Tensorprodukt von Homomorphismen

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $V_1,\dots ,V_n,W_1,\dots ,W_n$ Moduln über $R$. Es seien

${\phi }_i:V_i⟶W_i$

$R$-Modulhomomorphismen.

Dann gibt es einen wohldefinierte $R$-Modulhomomorphismus

$V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n⟶W_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{W}_n$

mit

$\psi (v_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{v}_n):={\phi }_1(v_1){\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{\phi }_n(v_n).$

Beweis

Die Gesamtabbildung

$V_1\times \cdots \times V_n\stackrel{{\phi }_1\times \cdots \times {\phi }_n}{⟶}{W}_1\times \cdots \times W_n\stackrel{\pi }{⟶}{W}_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{W}_n$

ist nach Aufgabe 21.2 multilinear. Dies induziert nach Lemma 31.2 einen Homomorphismus

$V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n⟶W_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{W}_n,v_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{v}_n⟼\phi (v_1){\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}\phi (v_n).$

$◻$

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $V_1,\dots ,V_n,W_1,\dots ,W_n$ Moduln über $R$. Zu $R$-Modulhomomorphismen

${\phi }_i:V_i⟶W_i$

heißt der Homomorphismus

$V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n⟶W_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{W}_n,v_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{v}_n⟼{\phi }_1(v_1){\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{\phi }_n(v_n),$

das Tensorprodukt der ${\phi }_i$. Es wird mit ${\phi }_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{\phi }_n$ bezeichnet.

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $V_1,\dots ,V_n,W_1,\dots ,W_n$ Moduln über $R$. Es seien

${\phi }_i:V_i⟶W_i$

surjektive $R$-Modulhomomorphismen.

Dann ist auch der Modulhomomorphismus

${\phi }_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{\phi }_n:V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n⟶W_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{W}_n$

surjektiv.

Beweis

Dies ist klar, da die zerlegbaren Tensoren $w_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{w}_n$ ein $R$-Modulerzeugendensystem von $W_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{W}_n$ bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.

$◻$

Die folgende Eigenschaft nennt man die Rechtsexaktheit des Tensorproduktes.

Proposition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und seien $U,V,W,M$ $R$-Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem $R$-Modulhomomorphismus $\phi :U\to V$ gibt es einen natürlichen $R$-Modulhomomorphismus $\phi {\otimes }_R{\mathrm{Id}}_M:U{\otimes }_{R}M\to V{\otimes }_{R}M$.
2. Zu einer exakten Sequenz

   $U⟶V⟶W⟶0$

   von $R$-Moduln ist auch

   $U{\otimes }_{R}M⟶V{\otimes }_{R}M⟶W{\otimes }_{R}M⟶0$

   exakt.

Beweis

(1). Dies folgt aus Lemma 32.1. (2). Die Surjektivität ist ein Spezialfall von Lemma 32.3. Für die Exaktheit an der anderen Stelle müssen wir die Isomorphie

$V{\otimes }_{R}M/\mathrm{bild}\left(U{\otimes }_{R}M\right)\cong W{\otimes }_{R}M$

nachweisen. Dazu beweisen wir für diesen Restklassenmodul, dass er die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Es sei also

$W\times M⟶N$

eine $R$-multilineare Abbildung in einen $R$-Modul $N$. Somit liegt auch eine eindeutige multilineare Abbildung

$\psi :V\times M⟶N$

und damit eine $R$-lineare Abbildung

$\tilde{\psi }:V{\otimes }_{R}M⟶N$

vor. Wegen

$\psi (\mathrm{bild}U\times M)=0$

ist

$\tilde{\psi }(\mathrm{bild}U{\otimes }_{R}M)=0$

und daher gibt es eine eindeutige Faktorisierung

$V{\otimes }_{R}M/\mathrm{bild}\left(U{\otimes }_{R}M\right)⟶N.$

$◻$

Ringwechsel

Definition

Zu einem $R$-Modul $M$ und einem Ringhomomorphismus

$R⟶R^{\prime }$

zwischen kommutativen Ringen nennt man $R^{\prime }{\otimes }_{R}M$ den durch Ringwechsel gewonnenen $R^{\prime }$-Modul.

Proposition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$-Modul und $R\to R^{\prime }$ ein Ringhomomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Tensorprodukt $R^{\prime }{\otimes }_{R}M$ ist ein $R^{\prime }$-Modul.
2. Es gibt einen kanonischen $R$-Modulhomomorphismus

   $M⟶R^{\prime }{\otimes }_{R}M,v⟼1\otimes v.$

   Bei  $R=R^{\prime }$  ist dies ein Isomorphismus.

3. Zu einem $R$-Modulhomomorphismus $\phi :M\to N$ ist die induzierte Abbildung

   ${\mathrm{Id}}_{R^{\prime }}\otimes \phi :R^{\prime }{\otimes }_{R}M⟶R^{\prime }{\otimes }_{R}N$

   ein $R^{\prime }$-Modulhomomorphismus.

4. Zu  $M=R^n$  ist

   $R^{\prime }{\otimes }_R{R}^n\cong {\left(R^{\prime }\right)}^n.$

5. Zu einem weiteren Ringhomomorphismus $R^{\prime }\to R^{\prime \prime }$ ist

   $R^{\prime \prime }{\otimes }_{R}M\cong R^{\prime \prime }{\otimes }_{R^{\prime }}\left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right)$

   (eine Isomorphie von $R^{\prime \prime }$-Moduln).

Beweis

(1). Die Multiplikation

$R^{\prime }\times R^{\prime }⟶R^{\prime },(r,s)⟼rs,$

ist $R^{\prime }$-bilinear und führt nach Lemma 31.2 zu einer $R^{\prime }$-linearen Abbildung

$R^{\prime }{\otimes }_R{R}^{\prime }⟶R^{\prime }.$

Dies induziert nach Proposition 31.3  (2) und nach Proposition 32.4 einen $R$-Modulhomomorphismus

$R^{\prime }{\otimes }_R\left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right)\cong \left(R^{\prime }{\otimes }_R{R}^{\prime }\right){\otimes }_{R}M⟶R^{\prime }{\otimes }_{R}M.$

Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation

$R^{\prime }\times \left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right)⟶\left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right),$

die explizit durch

$s\cdot (\sum _{j=1}^n{r}_j\otimes m_j)=\sum _{j=1}^n\left(s{r}_j\right)\otimes m_j$

gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die $R$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei  $R^{\prime }=R$  ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation $R\times M\to M$ induziert eine $R$-lineare Abbildung

$R{\otimes }_{R}M⟶M.$

Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung $M\to R{\otimes }_{R}M$ mit dieser Abbildung ist die Identität auf $M$, sodass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus Proposition 31.3  (3).
(5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine $R$-lineare Abbildung $M\to R^{\prime }{\otimes }_{R}M$. Dies führt zu einer $R$-multilinearen Abbildung

$R^{\prime \prime }\times M⟶R^{\prime \prime }\times \left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right)⟶R^{\prime \prime }{\otimes }_{R^{\prime }}\left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right),$

die eine $R$-lineare Abbildung

$R^{\prime \prime }{\otimes }_{R}M⟶R^{\prime \prime }{\otimes }_{R^{\prime }}\left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right)$

induziert. Andererseits haben wir eine $R^{\prime }$-lineare Abbildung

$R^{\prime }{\otimes }_{R}M⟶R^{\prime \prime }{\otimes }_{R}M.$

Rechts steht ein $R^{\prime \prime }$-Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine $R^{\prime }$-multilineare Abbildung

$R^{\prime \prime }\times \left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right)⟶R^{\prime \prime }{\otimes }_{R}M$

auffassen, die ihrerseits zu einer $R^{\prime }$-linearen Abbildung

$R^{\prime \prime }{\otimes }_{R^{\prime }}\left(R^{\prime }{\otimes }_{R}M\right)⟶R^{\prime \prime }{\otimes }_{R}M$

führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die $R^{\prime \prime }$-Multiplikationen entsprechen.

$◻$

Proposition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem multiplikativen System  $S\subseteq R$  ist  $M_S\cong R_S{\otimes }_{R}M$. 
2. Zu einem Ideal  $I\subseteq R$  ist  $M/IM\cong R/I{\otimes }_{R}M$. 

Beweis

Siehe Aufgabe 32.1.

$◻$

Das Tensorprodukt von einem injektiven Homomorphismus ist im Allgemeinen nicht wieder injektiv. Insbesondere kann man Proposition 32.4 nicht verbessern.

Beispiel

Es sei  $f\in R$  ein Nichtnullteiler in einem kommutativen Ring $R$, was den injektiven $R$-Modulhomomorphismus

$R⟶R,z⟼fz,$

ergibt. Für ein Ideal  $𝔞\subseteq R$  ist $f$ im Allgemeinen kein Nichtnullteiler, im Fall  $f\in 𝔞$  wird sogar $f$ zu $0$. Daher ist die mit dem $R$-Modul $R/𝔞$ tensorierte Abbildung

$R/𝔞⟶R/𝔞,z⟼fz,$

im Allgemeinen nicht injektiv.

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$-Modul und $S$ eine kommutative $R$-Algebra.

Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus

${\mathrm{Hom}}_S(M{\otimes }_{R}S,S)⟶{\mathrm{Hom}}_R(M,S)$

von $S$-Moduln.

Beweis

Eine $S$-lineare Abbildung

$\theta :M{\otimes }_{R}S⟶S$

induziert über

$M⟶M{\otimes }_{R}S,m⟼m\otimes 1,$

eine $R$-lineare Abbildung von $M$ nach $S$. Umgekehrt definiert eine $R$-lineare Abbildung $\psi$ von $M$ nach $S$ eine $R$-bilineare Abbildung

$M\times S⟶S,(m,s)⟼s\psi (m),$

was eine $S$-lineare Abbildung von $M{\otimes }_{R}S$ nach $S$ festlegt. Diese beiden Zuordnungen sind invers zueinander.

$◻$

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