Kurs:Kommutative Algebra/Teil II/Vorlesung 32

Tensorprodukt von Homomorphismen

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Moduln über ${}R$. Es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

${}R$- Modulhomomorphismen.

Dann gibt es einen wohldefinierte ${}R$-Modulhomomorphismus

$V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n}$

mit

${}\psi (v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}):=\varphi _{1}(v_{1})\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n}(v_{n})\,.$

Beweis

Die Gesamtabbildung

$V_{1}\times \cdots \times V_{n}{\stackrel {\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}}{\longrightarrow }}W_{1}\times \cdots \times W_{n}{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n}$

ist nach Aufgabe 21.2 multilinear. Dies induziert nach Lemma 31.2 einen Homomorphismus

$V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n},\,v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\longmapsto \varphi (v_{1})\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi (v_{n}).$

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Moduln über ${}R$. Zu ${}R$- Modulhomomorphismen

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

heißt der Homomorphismus

$V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n},\,v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\longmapsto \varphi _{1}(v_{1})\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n}(v_{n}),$

das Tensorprodukt der ${}\varphi _{i}$. Es wird mit ${}\varphi _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n}$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ Moduln über ${}R$. Es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

surjektive ${}R$- Modulhomomorphismen.

Dann ist auch der Modulhomomorphismus

$\varphi _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\varphi _{n}\colon V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}\longrightarrow W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n}$

surjektiv.

Beweis

Dies ist klar, da die zerlegbaren Tensoren ${}w_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}w_{n}$ ein ${}R$- Modulerzeugendensystem von ${}W_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}W_{n}$ bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.

$\Box$

Die folgende Eigenschaft nennt man die Rechtsexaktheit des Tensorproduktes.

Proposition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}U,V,W,M$ ${}R$- Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem ${}R$- Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ gibt es einen natürlichen ${}R$- Modulhomomorphismus ${}\varphi \otimes _{R}\operatorname {Id} _{M}\colon U\otimes _{R}M\rightarrow V\otimes _{R}M$.
2. Zu einer exakten Sequenz

   $U\longrightarrow V\longrightarrow W\longrightarrow 0$

   von ${}R$- Moduln ist auch

   $U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M\longrightarrow W\otimes _{R}M\longrightarrow 0$

   exakt.

Beweis

(1). Dies folgt aus Lemma 32.1. (2). Die Surjektivität ist ein Spezialfall von Lemma 32.3. Für die Exaktheit an der anderen Stelle müssen wir die Isomorphie

${}V\otimes _{R}M/\operatorname {bild} {\left(U\otimes _{R}M\right)}\cong W\otimes _{R}M\,$

nachweisen. Dazu beweisen wir für diesen Restklassenmodul, dass er die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Es sei also

$W\times M\longrightarrow N$

eine ${}R$- multilineare Abbildung in einen ${}R$-Modul ${}N$. Somit liegt auch eine eindeutige multilineare Abbildung

$\psi \colon V\times M\longrightarrow N$

und damit eine ${}R$-lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon V\otimes _{R}M\longrightarrow N$

vor. Wegen

${}\psi (\operatorname {bild} U\times M)=0\,$

ist

${}{\tilde {\psi }}{\left(\operatorname {bild} U\otimes _{R}M\right)}=0\,$

und daher gibt es eine eindeutige Faktorisierung

$V\otimes _{R}M/\operatorname {bild} {\left(U\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow N.$

$\Box$

Ringwechsel

Definition

Zu einem ${}R$- Modul ${}M$ und einem Ringhomomorphismus

$R\longrightarrow R'$

zwischen kommutativen Ringen nennt man ${}R'\otimes _{R}M$ den durch Ringwechsel gewonnenen ${}R'$-Modul.

Proposition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$- Modul und ${}R\rightarrow R'$ ein Ringhomomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Tensorprodukt ${}R'\otimes _{R}M$ ist ein ${}R'$-Modul.
2. Es gibt einen kanonischen ${}R$- Modulhomomorphismus

   $M\longrightarrow R'\otimes _{R}M,\,v\longmapsto 1\otimes v.$

   Bei ${}R=R'$ ist dies ein Isomorphismus.

3. Zu einem ${}R$- Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ist die induzierte Abbildung

   $\operatorname {Id} _{R'}\otimes \varphi \colon R'\otimes _{R}M\longrightarrow R'\otimes _{R}N$

   ein ${}R'$-Modulhomomorphismus.

4. Zu ${}M=R^{n}$ ist

   ${}R'\otimes _{R}R^{n}\cong {\left(R'\right)}^{n}\,.$

5. Zu einem weiteren Ringhomomorphismus ${}R'\rightarrow R^{\prime \prime }$ ist

   ${}R^{\prime \prime }\otimes _{R}M\cong R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R^{\prime }\otimes _{R}M\right)}\,$

   (eine Isomorphie von $R^{\prime \prime }$-Moduln).

Beweis

(1). Die Multiplikation

$R'\times R'\longrightarrow R',\,(r,s)\longmapsto rs,$

ist ${}R'$- bilinear und führt nach Lemma 31.2 zu einer ${}R'$- linearen Abbildung

$R'\otimes _{R}R'\longrightarrow R'.$

Dies induziert nach Proposition 31.3  (2) und nach Proposition 32.4 einen ${}R$- Modulhomomorphismus

$R'\otimes _{R}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\cong {\left(R'\otimes _{R}R'\right)}\otimes _{R}M\longrightarrow R'\otimes _{R}M.$

Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation

$R'\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow {\left(R'\otimes _{R}M\right)},$

die explizit durch

${}s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}r_{j}\otimes m_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(sr_{j}\right)}\otimes m_{j}\,$

gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Skalarmultiplikation.
(2). Die ${}R$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei ${}R'=R$ ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation ${}R\times M\rightarrow M$ induziert eine ${}R$- lineare Abbildung

$R\otimes _{R}M\longrightarrow M.$

Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung ${}M\rightarrow R\otimes _{R}M$ mit dieser Abbildung ist die Identität auf ${}M$, sodass die erste Abbildung auch injektiv ist.
(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).
(4) folgt aus Proposition 31.3  (3).
(5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine ${}R$-lineare Abbildung ${}M\rightarrow R'\otimes _{R}M$. Dies führt zu einer ${}R$-multilinearen Abbildung

$R^{\prime \prime }\times M\longrightarrow R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)},$

die eine ${}R$-lineare Abbildung

$R^{\prime \prime }\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}$

induziert. Andererseits haben wir eine ${}R'$-lineare Abbildung

$R'\otimes _{R}M\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M.$

Rechts steht ein ${}R^{\prime \prime }$-Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine ${}R'$-multilineare Abbildung

$R^{\prime \prime }\times {\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M$

auffassen, die ihrerseits zu einer ${}R'$-linearen Abbildung

$R^{\prime \prime }\otimes _{R'}{\left(R'\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow R^{\prime \prime }\otimes _{R}M$

führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die ${}R^{\prime \prime }$-Multiplikationen entsprechen.

$\Box$

Proposition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem multiplikativen System ${}S\subseteq R$ ist ${}M_{S}\cong R_{S}\otimes _{R}M$.
2. Zu einem Ideal ${}I\subseteq R$ ist ${}M/IM\cong R/I\otimes _{R}M$.

Beweis

Siehe Aufgabe 32.1.

$\Box$

Das Tensorprodukt von einem injektiven Homomorphismus ist im Allgemeinen nicht wieder injektiv. Insbesondere kann man Proposition 32.4 nicht verbessern.

Beispiel

Es sei ${}f\in R$ ein Nichtnullteiler in einem kommutativen Ring ${}R$, was den injektiven ${}R$- Modulhomomorphismus

$R\longrightarrow R,\,z\longmapsto fz,$

ergibt. Für ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist ${}f$ im Allgemeinen kein Nichtnullteiler, im Fall ${}f\in {\mathfrak {a}}$ wird sogar ${}f$ zu ${}0$. Daher ist die mit dem ${}R$- Modul ${}R/{\mathfrak {a}}$ tensorierte Abbildung

$R/{\mathfrak {a}}\longrightarrow R/{\mathfrak {a}},\,z\longmapsto fz,$

im Allgemeinen nicht injektiv.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$- Modul und ${}S$ eine kommutative ${}R$- Algebra.

Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus

$\operatorname {Hom} _{S}{\left(M\otimes _{R}S,S\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left(M,S\right)}$

von ${}S$- Moduln.

Beweis

Eine ${}S$- lineare Abbildung

$\theta \colon M\otimes _{R}S\longrightarrow S$

induziert über

$M\longrightarrow M\otimes _{R}S,\,m\longmapsto m\otimes 1,$

eine ${}R$-lineare Abbildung von ${}M$ nach ${}S$. Umgekehrt definiert eine ${}R$-lineare Abbildung ${}\psi$ von ${}M$ nach ${}S$ eine ${}R$- bilineare Abbildung

$M\times S\longrightarrow S,\,(m,s)\longmapsto s\psi (m),$

was eine ${}S$-lineare Abbildung von ${}M\otimes _{R}S$ nach ${}S$ festlegt. Diese beiden Zuordnungen sind invers zueinander.

$\Box$

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