Kurs:Kommutative Algebra/Teil II/Vorlesung 35

Das Dachprodukt

Unter den multilinearen Abbildungen spielen die alternierenden Abbildungen eine besondere Rolle, das wichtigste Beispiel ist die Determinante. Wir führen hier eine Konstruktion für das sogenannte Dachprodukt durch, dass für die alternierenden Abbildungen eine ähnliche Rolle spielt wie das Tensorprodukt für die multilinearen Abbildungen.

Konstruktion  

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}V$ ein ${}R$- Modul und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Wir konstruieren das sogenannte ${}n$-te Dachprodukt von ${}V$ mit sich selbst, geschrieben ${}\bigwedge ^{n}V$. Dazu betrachten wir die Menge ${}S$ aller Symbole der Form

${(v_{1},\ldots ,v_{n})}{\text{ mit }}v_{i}\in V$

und die zugehörige Menge der ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$. Wir betrachten den freien Modul

${}H=R^{(S)}\,,$

das ist die Menge aller (endlichen) Summen

$a_{1}e_{s_{1}}+\cdots +a_{k}e_{s_{k}}{\text{ mit }}a_{i}\in R{\text{ und }}s_{i}\in S,$

die ${}e_{s}$ bilden eine Basis. In ${}H$ betrachten wir den Untermodul ${}U$, der von den folgenden Elementen erzeugt wird (die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$

für beliebige  ${}v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n},v,w\in V$. 

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},av,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-ae_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$

für beliebige  ${}v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n},v\in V$  und  ${}a\in R$. 

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{j-1},v,v_{j+1},\ldots ,v_{n})}$

für  ${}i<j$  und beliebige  ${}v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n},v\in V$. 

Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Relationen zu ${}0$ macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.

Man setzt nun

${}\bigwedge ^{n}V:=H/U\,,$

d.h. man bildet den Restklassenmodul von ${}H$ modulo dem Untermodul ${}U$.

Die Elemente ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ bilden dabei ein Erzeugendensystem von ${}H$. Die Restklasse von ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ modulo ${}U$ bezeichnen wir mit

$v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}.$

Die Standardrelationen werden dann zu den Rechenregeln

${}{\begin{aligned}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge (v+w)\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}&=v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\,+\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge w\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n},\,\end{aligned}}$

$v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge av\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=a\cdot v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\,$

und

${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{j-1}\wedge v\wedge v_{j+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=0\,.$

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Man nennt den (in Konstruktion 35.1 konstruierten) ${}R$-Modul ${}\bigwedge ^{n}M$ die ${}n$-te äußere Potenz (oder das ${}n$-te Dachprodukt) von ${}M$. Die Abbildung

$M^{n}\longrightarrow \bigwedge ^{n}M,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n},$

nennt man die universelle alternierende Abbildung.

Rechenregeln für das Dachprodukt

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Dann gelten für die äußeren Potenzen folgende Aussagen.

1. Die Elemente der Form ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ mit  ${}v_{i}\in M$  bilden ein Erzeugendensystem von ${}\bigwedge ^{n}M$.
2. Die Abbildung

   $M^{n}\longrightarrow \bigwedge ^{n}M,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n},$

   ist multilinear und alternierend.

3. Es ist

   $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge w\wedge v_{i+2}\wedge \ldots \wedge v_{n}=-v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge w\wedge v\wedge v_{i+2}\wedge \ldots \wedge v_{n}\,.$

4. Es seien  ${}u_{1},\ldots ,u_{m}\in M$  gegeben und seien

   ${}v_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}u_{i}\,$

   für  ${}j=1,\ldots ,n$.  Dann ist

   ${}{\begin{aligned}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}&=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{n})\in \{1,\ldots ,m\}^{n}}{\left(\prod _{j=1}^{n}a_{i_{j}j}\right)}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}\right)}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}.\end{aligned}}$

Beweis

(1) folgt direkt aus der Konstruktion.
(2). Es liegt die zusammengesetzte Abbildung

$M^{n}\longrightarrow H\cong R^{(M^{n})}\longrightarrow H/U$

vor, wobei ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ auf ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ und dies auf die Restklasse ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$abgebildet wird. Dabei sichert die Definition des Unterraums ${}U$, dass jeweils die Eigenschaften einer multilinearen alternierenden Abbildung erfüllt sind.
(3) gilt nach Lemma 21.8 für jede alternierende Abbildung.
(4). Die erste Gleichung gilt nach Lemma 21.6 für jede multilineare Abbildung. Wenn sich in dem Indextupel ${}(i_{1},\ldots ,i_{n})$ ein Eintrag wiederholt, so ist  ${}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}=0$  wegen alternierend. Wir müssen also nur noch Tupel betrachten, wo alle Einträge verschieden sind. Diese können nach Umordnen auf die Form  ${}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$  gebracht werden. Bei einem fixierten aufsteigenden Indextupel ist die Summe über alle dazu permutierten Indextupel gleich

$\sum _{\pi \in S_{n}}\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}u_{i_{\pi (1)}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{\pi (n)}}=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}\,.$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}V$ ein ${}R$- Modul. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ Vektoren in ${}V$, die miteinander in der Beziehung

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\,$

stehen, wobei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix bezeichnet.

Dann gilt in ${}\bigwedge ^{n}V$ die Beziehung

${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=(\det M)w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}\,.$

Beweis

Mit  ${}M={\left(b_{jk}\right)}$  ist  ${}v_{j}=\sum _{k=1}^{n}b_{jk}w_{k}$  und mit der transponierten Matrix  ${}{M^{\text{tr}}}=(a_{ij})$  ist  ${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}$.  Damit sind wir in der Notation von Lemma 35.3  (4) und es gilt

${}{\begin{aligned}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}&=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq n}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}\right)}w_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge w_{i_{n}}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{{\pi (j)}j}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n},\end{aligned}}$

da dann  ${}i_{j}=j$  sein muss. Daher folgt die Aussage aus der Leibniz-Formel für die Determinante.

$\Box$

Die universelle Eigenschaft des Dachproduktes

Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$- Modul und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Es sei

$\psi \colon M^{n}\longrightarrow N$

eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren ${}R$-Modul ${}N$.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Modulhomomorphismus

${\tilde {\psi }}\colon \bigwedge ^{n}M\longrightarrow N$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}M^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\bigwedge ^{n}M&\\&\searrow &\downarrow &\\&&N&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Beweis

Wir verwenden die Notation aus Konstruktion 35.1. Durch die Zuordnung

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\longmapsto \psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$

wird nach Satz 19.11 ein ${}R$- Modulhomomorphismus

${\bar {\psi }}\colon H\longrightarrow W$

definiert. Da ${}\psi$ multilinear und alternierend ist, wird unter ${}{\bar {\psi }}$ der Untermodul  ${}U\subseteq H$  auf ${}0$ abgebildet. Nach Satz 19.8 gibt es daher einen ${}R$-Modulhomomorphismus

${\tilde {\psi }}\colon H/U\longrightarrow W,$

die mit ${}{\bar {\psi }}$ verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}\bigwedge ^{n}V$ bilden und diese auf ${}\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ abgebildet werden müssen.

$\Box$

Es bezeichne ${}\operatorname {Alt} ^{n}(M,N)$ die Menge aller alternierenden Abbildungen von ${}M^{n}$ nach ${}N$. Diese Menge kann man mit einer natürlichen ${}R$- Modulstruktur versehen, siehe Aufgabe 21.3.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ und ${}N$ seien ${}R$- Moduln und  ${}n\in \mathbb {N}$. 

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

$\operatorname {Hom} _{R}{\left(\bigwedge ^{n}M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Alt} ^{n}(M,N),\,\psi \longmapsto ((v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto \psi (v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})).$

Beweis

Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung ${}\psi \mapsto \psi \circ \delta$, wobei ${}\delta \colon M\times \cdots \times M\rightarrow \bigwedge ^{n}M$ die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des Homomorphismenmoduls und des Moduls der alternierenden Abbildungen. Die Bijektivität der Abbildung folgt aus Satz 35.5.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$- Modul und  ${}n\in \mathbb {N}$. 

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

${\left(\bigwedge ^{n}M\right)}^{*}\longrightarrow \operatorname {Alt} ^{n}(M,R),\,\psi \longmapsto ((v_{1},\ldots ,v_{n})\mapsto \psi (v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})).$

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Lemma 35.6.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul und  ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. 

Dann gibt es einen kanonischen surjektiven ${}R$- Modulhomomorphismus

$V\otimes _{}\cdots \otimes _{}V\longrightarrow V\wedge \ldots \wedge V,\,v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{k}\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}.$

Beweis

Dies ergibt sich aus der alternierenden Abbildung

$V^{k}\longrightarrow \bigwedge ^{k}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{k})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k},$

gemäß Lemma 31.2  (2). Die Surjektivität beruht darauf, dass das Erzeugendensystem ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$ im Bild liegt.

$\Box$

Fußnoten

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