Kurs:Kommutative Algebra/Teil II/Vorlesung 40/latex
\setcounter{section}{40}
\zwischenueberschrift{Homotopien}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Ein
\definitionswort {Kettenkomplex}{}
\zusatzklammer {oder einfach Komplex} {} {}
ist eine Folge
\mathbed {M_n} {}
{n \in \Z} {}
{} {} {} {,}
von
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
zusammen mit einer Folge von
\definitionsverweis {Modulhomomorphismen}{}{}
\maabbdisp {d_n} {M_{n+1} } { M_n
} {}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d_{n-1} \circ d_n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Dies bedeutet, dass an jeder Stelle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} d_n
}
{ \subseteq} {\operatorname{kern} d_{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Kettenkomplex}{}{}
über einem kommutativen Ring heißt
\definitionswort {exakt}{}
an der Stelle $n$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} d_{n-1}
}
{ =} { \operatorname{bild} d_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Er heißt
\definitionswort {exakt}{,}
wenn er an jeder Stelle exakt ist.
}
Dies bedeutet wiederum, dass an jeder Stelle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} d_n
}
{ \supseteq} {\operatorname{kern} d_{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Kettenkomplex}{}{}
$G_\bullet$ nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H_n
}
{ =} { H_n(G_\bullet)
}
{ \defeq} { \operatorname{kern} d_{n-1} / \operatorname{bild} d_n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die $n$-te
\definitionswort {Homologie}{}
des Komplexes.
}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(F_\bullet,d)} {und} {(G_\bullet,e)} {}
\definitionsverweis {Kettenkomplexe}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{.}
Unter einem
\definitionswort {Homomorphismus}{}
\maabbdisp {\varphi} {F_\bullet} { G_\bullet
} {}
versteht man eine Familie
\maabbdisp {\varphi_n} {F_n } { G_n
} {}
von
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{,}
die mit den Komplexabbildungen kommutieren
\zusatzklammer {es gilt also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_n \circ d_n
}
{ = }{ e_n \circ \varphi_{n-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$} {} {.}
}
\inputfaktbeweis
{Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismus/Induzierter Homologiehomomorphismus/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {(F_\bullet,d)} {und} {(G_\bullet,e)} {}
\definitionsverweis {Kettenkomplexe}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann induziert ein
\definitionsverweis {Homomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {F_\bullet} { G_\bullet
} {}
von Kettenkomplexen einen Homomorphismus in der
\definitionsverweis {Homologie}{}{,}
\maabbdisp {H (\varphi)} { H (F_\bullet)} { H(G_\bullet)
} {.}
Es gibt also für jedes $n$ einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {H_n(\varphi)} {H_n(F_\bullet)} { H_n(G_\bullet)
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} F_{n-1} & \stackrel{ d_n }{\longrightarrow} & F_n & \stackrel{ d_{n+1} }{\longrightarrow} & F_{n+1} & \\ \!\!\!\!\! \varphi_{n-1} \downarrow & & \!\!\!\!\! \varphi_{n} \downarrow & & \downarrow \varphi_{n+1} \!\!\!\!\! & & \\ G_{n-1} & \stackrel{ e_n }{\longrightarrow} & G_n & \stackrel{ e_{n+1} }{\longrightarrow} & G_{n+1} & \!\!\!\!\! . \\ \end{matrix}} { }
Dabei wird der Kern von $d_{n+1}$ unter $\varphi_n$ in den Kern von $e_{n+1}$ abgebildet. Unter dem Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi_n} { \operatorname{kern} d_{n+1} } { \operatorname{kern} e_{n+1}
} {}
wird das Bild von $d_n$ in das Bild von $e_n$ abgebildet. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {} {H_n(F_\bullet) = \operatorname{kern} d_{n+1} / \operatorname{bild} d_{n } } { H_n(G_\bullet) = \operatorname{kern} e_{n+1} / \operatorname{bild} e_{n }
} {.}
\inputfaktbeweis
{Kurze exakte Sequenzen/Komplex/Verbindender Homomorphismus/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $C_\bullet$, $D_\bullet$ und $E_\bullet$
\definitionsverweis {Komplexe}{}{}
in einer
\definitionsverweis {abelschen Kategorie}{}{}
mit
\definitionsverweis {Homomorphismen von Komplexen}{}{}
\maabb {\varphi} {C_\bullet} {D_\bullet
} {}
und
\maabb {\psi} {D_\bullet} {E_\bullet
} {}
derart, dass kurze exake Sequenzen
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, C_n \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, D_n \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, E_n \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
für jedes $n$ vorliegen.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen natürlichen Homomorphismus
\maabbdisp {} {H^{n-1} (E_\bullet)} { H^n(C_\bullet)
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} 0 & \longrightarrow & C_{n-1} & \longrightarrow & D_{n-1} & \longrightarrow & E_{n-1} & \longrightarrow & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \longrightarrow & C_{n} & \longrightarrow & D_{n} & \longrightarrow & E_{n} & \longrightarrow & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \longrightarrow & C_{n+1} & \longrightarrow & D_{n+1} & \longrightarrow & E_{n+1} & \longrightarrow & 0 . \\ \end{matrix}} { }
Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ H^{n-1} (E_\bullet)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird repräsentiert durch ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{ E_{n-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das unter der rechten vertikalen Abbildung auf $0$ abgebildet wird. Wegen der Exaktheit der $n-1$-ten Zeile gibt es ein
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ \in} { D_{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das auf $y$ abbildet. Dieses Element wird unter der mittleren vertikalen Abbildung auf ein Element $u$ abgebildet, das nach rechts auf $0$ geht. Wegen der Exaktheit der $n$-ten Zeile ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ = }{ v
}
{ \in }{ C_n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $u$ auf $0$ in $D_{n+1}$ abgebildet wird, und da
\maabb {} {C_{n+1}} {D_{n+1}
} {}
injektiv ist, folgt, dass $v$ auf $0$ in $C_{n+1}$ abgebildet wird. Daher definiert $v$ eine Klasse in
\mathl{H^n(C_\bullet)}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(F_\bullet,d)} {und} {(G_\bullet,e)} {}
\definitionsverweis {Kettenkomplexe}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{.}
Man nennt zwei
\definitionsverweis {Homomorphismen}{}{}
von Kettenkomplexen
\maabbdisp {\varphi, \psi} {F_\bullet} { G_\bullet
} {}
\definitionswort {homotop}{,}
wenn es Gruppenhomomorphismen
\maabbdisp {\Theta_n} { F_{n+1}} { G_n
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_n - \psi_n
}
{ =} { e_{n} \circ \Theta_{n-1} + \Theta_n \circ d_{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Es liegt also ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} F_{n-1} & \stackrel{ d_n }{\longrightarrow} & F_n & \stackrel{ d_{n+1} }{\longrightarrow} & F_{n+1} & \\ \downarrow & \Theta_{n-1} \swarrow & \downarrow &
\Theta_n \swarrow & \downarrow & & \\ G_{n-1} & \stackrel{ e_n }{\longrightarrow} & G_n & \stackrel{ e_{n+1} }{\longrightarrow} & G_{n+1} &\!\!\!\!\! . \\ \end{matrix}} { }
vor. Die $\Theta_n$ nennt man \stichwort {Homotopien} {.}
\inputfaktbeweis
{Gruppe/Kettenkomplex/Homotope Homomorphismen/Induzierter Homologiehomomorphismus/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {(F_\bullet,d)} {und} {(G_\bullet,e)} {}
\definitionsverweis {Kettenkomplexe}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{}
und es seien
\maabbdisp {\varphi, \psi} {F_\bullet} { G_\bullet
} {}
\definitionsverweis {homotope}{}{}
\definitionsverweis {Homomorphismen}{}{}
von Kettenkomplexen.}
\faktfolgerung {Dann gilt für die zugehörigen Homologiehomomorphismen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H(\varphi)
}
{ =} { H(\psi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien $\Theta_n$ die Homomorphismen, die die Homotopie zwischen
\mathkor {} {\varphi} {und} {\psi} {}
bewirken. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \left( d_{n+1} \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(\varphi_n- \psi_n)(x)
}
{ =} { (e_n \circ \Theta_{n-1} + \Theta_n \circ d_{n+1}) (x)
}
{ =} { e_n(\Theta_{n-1} (x)) + \Theta_n (d_{n+1}(x))
}
{ =} { e_n(\Theta_{n-1} (x))
}
{ \in} { \operatorname{bild} { \left( e_n \right) }
}
}
{}
{}{.}
Somit ist die Klasse von
\mathl{(\varphi_n- \psi_n)(x)}{} in
\mathl{H^n(G_\bullet)}{} gleich $0$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_n (x)
}
{ = }{ \psi_n)(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Gruppe/Kettenkomplex/Homotope Homomorphismen/Kovarianter Funktor/Homotopie/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {(F_\bullet,d)} {und} {(G_\bullet,e)} {}
\definitionsverweis {Kettenkomplexe}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{.}
Es seien
\maabbdisp {\varphi, \psi} {F_\bullet} { G_\bullet
} {}
\definitionsverweis {homotope}{}{}
\definitionsverweis {Homomorphismen}{}{}
von Kettenkomplexen. Es sei ${\mathcal F}$ ein
\definitionsverweis {additiver}{}{}
\definitionsverweis {kovarianter Funktor}{}{}
von der
\definitionsverweis {Kategorie der kommutativen Gruppen}{}{}
in die Kategorie der kommutativen Gruppen.}
\faktfolgerung {Dann sind auch die induzierten Homomorphismen
\maabbdisp {{\mathcal F} (\varphi) , {\mathcal F} (\psi)} {{\mathcal F} (F_\bullet) } {{\mathcal F} (G_\bullet)
} {}
zueinander homotop.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien $\Theta_n$ die Homotopien zwischen
\mathkor {} {F_\bullet} {und} {G_\bullet} {,}
die es nach Voraussetzung gibt. Es gilt also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_n - \psi_n
}
{ =} { e_{n} \circ \Theta_{n-1} + \Theta_n \circ d_{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der Additivität des Funktors gilt auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal F} (\varphi_n) - {\mathcal F} (\psi_n)
}
{ =} { {\mathcal F} ( e_{n} ) \circ {\mathcal F} ( \Theta_{n-1}) + {\mathcal F} (\Theta_n) \circ {\mathcal F} (d_{n+1})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {total geordnete}{}{}
endliche Indexmenge. Zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definieren wir
\mathl{\operatorname{ord} { \left( k , K \right) }}{} durch $1$ bzw. $-1$, je nachdem, ob $k$ in der induzierten Ordnung auf $K$ ein gerades oder ein ungerades Element ist. Die Elemente von $K$ haben also abwechselnd das Vorzeichen $1,-1,1$ etc, beginnend mit $1$. Wir betrachten die freie Gruppe $F_n$ zur Basis $e_J$, wobei $J$ die $n$-elementigen Teilmengen von $I$ durchläuft. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_n
}
{ =} { \Z^{ \binom { I } { n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wir mit
\mathl{\binom { I } { n }}{} die Menge der $n$-elementigen Teilmengen von $I$ bezeichnen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {total geordnete}{}{}
endliche Indexmenge. Auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_n
}
{ = }{ \Z^{ \binom { I } { n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definieren wir
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
\maabb {d} {F_n } { F_{n-1}
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( e_K \right) }
}
{ \defeq} { \sum_{k \in K} \operatorname{ord} { \left( k , K \right) } e_{ K \setminus \{ k \} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nennen
\mathl{{ \left( F_\bullet, d \right) }}{} den
\definitionswort {absteigenden Binomialkomplex}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $I$ eine
\definitionsverweis {total geordnete}{}{}
endliche Indexmenge. Auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_n
}
{ = }{ \Z^{ \binom { I } { n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definieren wir
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
\maabb {\delta} {F_n } { F_{n+1}
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \delta { \left( \alpha \right) } \right) }_J
}
{ \defeq} { \sum_{j \in J} \operatorname{ord} { \left( j , J \right) } \alpha_{ J \setminus \{j \} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für $n+1$-elementiges $J$ und nennen
\mathl{{ \left( F_\bullet, \delta \right) }}{} den
\definitionswort {aufsteigenden Binomialkomplex}{.}
}
Für einen Standardvektor $e_K$ bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta (e_K)
}
{ =} { \sum_{\ell \in I \setminus K} \operatorname{ord} { \left( \ell , K \cup \{ \ell \} \right) } e_{ K \cup \{\ell \} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In diesem Fall entspricht $e_K$ dem Tupel $\alpha$, das genau an der Stelle $K$ eine $1$ und sonst überall eine $0$ stehen hat. Sagen wir $K$ besitzt $n$ Elemente. Für eine $n+1$-elementige Menge $J$ ist somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(\alpha)_J
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \not\subseteq }{J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und im anderen Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{J
}
{ =} { K \cup \{ \ell \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ = }{ \ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das
\mathl{e_{K \cup \{ \ell \} }}{.}
\inputfaktbeweis
{Binomialkomplex/Aufsteigend/Homotopie/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Der
\definitionsverweis {aufsteigende Binomialkomplex}{}{}}
\faktvoraussetzung {zu einer nichtleeren Indexmenge $I$}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {exakt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $0$ das kleinste Element von $I$. Wir definieren einen
\definitionsverweis {Komplex-Homomorphismus}{}{}
\maabbdisp {h} { F_n } { F_{n-1}
} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(e_J)
}
{ \defeq} { \begin{cases} e_{J \setminus \{0\} },\, \text{ falls } 0 \in J\, ,\\ 0 \text{ sonst} \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta \circ h + h \circ \delta
}
{ =} {
\operatorname{Id}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei dazu $e_K$ gegeben. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \notin }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta (h(e_K))
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ h { \left( \delta (e_K) \right) }
}
{ =} { h { \left( \sum_{ \ell \in I \setminus K} \operatorname{ord} { \left( \ell , K \cup \{ \ell \} \right) } e_{ K \cup \{ \ell \} } \right) }
}
{ =} { \sum_{ \ell \in I \setminus K} \operatorname{ord} { \left( \ell , K \cup \{ \ell \} \right) } h { \left( e_{ K \cup \{ \ell \} } \right) }
}
{ =} { \operatorname{ord} { \left( 0 , K \cup \{ 0 \} \right) }e_{ K }
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \delta { \left( h(e_K) \right) }
}
{ =} { \delta { \left( e_{K \setminus \{0\} } \right) }
}
{ =} { \sum_{\ell \in I \setminus (K \setminus \{0\} ) } \operatorname{ord} { \left( \ell , K \setminus \{0\} \cup \{ \ell \} \right) } e_{ K \setminus \{0\} \cup \{ \ell \} }
}
{ =} { \sum_{\ell \in I \setminus K } \operatorname{ord} { \left( \ell , K \setminus \{0\} \cup \{ \ell \} \right) } e_{ K \setminus \{0\} \cup \{ \ell \} } +
\operatorname{ord} { \left( 0 , K \right) } e_{ K }
}
{ =} {\sum_{\ell \in I \setminus K } \operatorname{ord} { \left( \ell , K \setminus \{0\} \cup \{ \ell \} \right) } e_{ K \setminus \{0\} \cup \{ \ell \} } + e_K
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ h { \left( \delta (e_K) \right) }
}
{ =} { h { \left( \sum_{ \ell \in I \setminus K} \operatorname{ord} { \left( \ell , K \cup \{ \ell \} \right) } e_{ K \cup \{ \ell \} } \right) }
}
{ =} { \sum_{ \ell \in I \setminus K} \operatorname{ord} { \left( \ell , K \cup \{ \ell \} \right) } h { \left( e_{ K \cup \{ \ell \} } \right) }
}
{ =} { \sum_{ \ell \in I \setminus K} \operatorname{ord} { \left( \ell , K \cup \{ \ell \} \right) } e_{ K \cup \{ \ell \} \setminus \{ 0 \} }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Da $0$ das Anfangsglied ist, unterscheiden sich
\mathkor {} {\operatorname{ord} { \left( \ell , K \setminus \{0\} \cup \{ \ell \} \right) }} {und} {\operatorname{ord} { \left( \ell , K \cup \{ \ell \} \right) }} {}
um das Vorzeichen.
Somit liegt eine Homotopie zwischen der Identität und der Nullabbildung des Komplexes auf sich selbst vor. Nach
Lemma 40.8
gilt daher auf der Ebene der
\definitionsverweis {Homologieabbildungen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { H(0)
}
{ =} { H(
\operatorname{Id} )
}
{ =} {
\operatorname{Id}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher sind die Homologien trivial.
Bei leerem $I$ ist der Komplex gleich
\mathl{0 \rightarrow \Z \rightarrow 0}{} und daher nicht exakt.