Kurs:Kommutative Algebra/Teil II/Vorlesung 51

Graduierungen

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $D$ eine kommutative Gruppe. Eine $R$ -Algebra $A$ heißt $D$ -graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

A = ⨁_{d \in D} A_{d}

mit $R$ -Untermoduln $A_{d}$ derart gibt, dass $R \subseteq A_{0}$ ist und für die Multiplikation auf $A$ die Beziehung

A_{d} \cdot A_{e} \subseteq A_{d + e}

gilt.

Eine einfache Überlegung zeigt, dass $1 \in A_{0}$ ist und dass somit $A_{0}$ eine $R$ -Unteralgebra von $A$ ist. Häufig spricht man einfach von einem $D$ -graduierten Ring $A$ . Statt $R$ kann man stets $ℤ$ oder $A_{0}$ als Grundring wählen.

Bemerkung

In einer $D$ -graduierten $R$ -Algebra besitzt jedes Element $a \in A$ eine eindeutige Darstellung

a = \sum_{d \in D} a_{d} mit a_{d} \in A_{d},

wobei nur endlich viele der $a_{d}$ ungleich $0$ sein können. Die $a_{d}$ heißen dabei die homogenen Komponenten von $a$ , die $A_{d}$ heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von $A$ (oder $d$ -ten Stufen) und Elemente $a \in A_{d}$ heißen homogen vom Grad $d$ . Die Gruppe $D$ heißt die graduierende Gruppe. Der Fall $A_{d} = 0$ ist erlaubt.

Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra $A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente $a \in A_{d}$ und $b \in A_{e}$ die Produkte $a b \in A_{d + e}$ kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.

Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R [X_{1}, \dots, X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $R$ . Dieser ist in naheliegender Weise $ℤ$ -graduiert. Man definiert für ein Monom $X_{1}^{k_{1}} X_{2}^{k_{2}} \dots X_{n}^{k_{n}}$ den Grad durch $k_{1} + k_{2} + \dots + k_{n}$ und setzt $A_{d}$ als den $R$ -Modul aller Polynome an, die $R$ -Linearkombinationen von Monomen von Grad $d$ sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, sodass dadurch eine graduierte $R$ -Algebra entsteht. Es ist $A_{0} = R$ und $A_{n} = 0$ für negativen Grad $n$ . Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.

Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R [X_{1}, \dots, X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen über $R$ . Die additive Gruppe des Polynomrings ist einfach

⨁_{ν \in ℕ^{n}} R \cdot X^{ν} .

Daher ist der Polynomring $ℤ^{n}$ -graduiert, wobei die $ν = (ν_{1}, \dots, ν_{n})$ - te Stufe einfach aus allen $R$ -Vielfachen des Monoms

X^{ν} = X_{1}^{ν_{1}} \dots X_{n}^{ν_{n}}

besteht. Die Stufen zu

$ν \in ℕ^{n}$ sind also isomorph zu $R$ , die anderen Stufen, bei denen mindestens eine Komponente negativ ist, sind $0$ . Diese Graduierung nennt man die feine Graduierung des Polynomringes.

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, $a \in K$ und $n \in ℕ$ . Dann besitzt die Restklassenalgebra $A = K [X] / (X^{n} - a)$ eine Graduierung mit der graduierenden Gruppe $D = ℤ / (n)$ , und zwar setzt man (wobei $x$ die Restklasse von $X$ sei)

A_{d} = {λ x^{d} ∣ λ \in K} .

Jedes Element $f \in A$ kann man durch ein Polynom repräsentieren, das maximal den Grad $n - 1$ besitzt. Daher besitzt jedes $f$ eine Summendarstellung mit Summanden aus den $A_{d}$ . Diese Summenzerlegung ist direkt, da man mit der einzigen gegebenen Gleichung $X^{n} = a$ nicht weiter reduzieren kann. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus $λ x^{d} \cdot μ x^{e} = λ μ x^{d + e}$ , und dies ist gleich $λ μ a x^{d + e - n}$ , falls $d + e \geq n$ ist, und andernfalls gleich $λ μ x^{d + e}$ . So oder so ist es ein Element aus $A_{d + e}$ .

Definition

Ein kommutativer $ℕ$ -graduierter Ring $R$ heißt standard-graduiert, wenn er als $R_{0}$ -Algebra von der ersten Stufe $R_{1}$ endlich erzeugt wird.

Definition

Es sei $R = ⨁_{d \in ℤ} R_{d}$ ein kommutativer $ℤ$ -graduierter Ring. Ein $R$ -Modul $M$ mit einer direkten Summenzerlegung

M = ⨁_{d \in ℤ} M_{d},

wobei die $M_{d}$ Moduln über $R_{0}$ sind und wobei die Skalarmultiplikation die Eigenschaft

R_{d} \cdot M_{e} \subseteq M_{d + e}

für alle $d, e \in ℤ$ erfüllt, heißt $ℤ$ -graduierter Modul über $R$ .

Dabei heißt $M_{d}$ die $d$ -te Stufe des Moduls. Wenn $R_{d} = 0$ bzw. $M_{d} = 0$ für negative $d$ ist, so spricht man von $ℕ$ -graduierten Ringen bzw. Moduln. Wenn

R_{0} = K

ein Körper ist, so sind sämtliche Stufen $M_{d}$ Vektorräume über $K$ . Ein $ℤ$ -graduierter Ring $R$ ist ein graduierter Modul über sich selbst. Ebenso ist jedes homogene Ideal (also ein von homogenen Elementen erzeugtes Ideal) $I \subseteq R$ ein graduierter Untermodul und

R / I = ⨁_{d \in ℤ} R_{d} / I_{d}

ist ein graduierter Restklassenmodul.

Definition

Es sei $R = ⨁_{d \in ℤ} R_{d}$ ein kommutativer $ℤ$ -graduierter Ring und seien $M = ⨁_{d \in ℤ} M_{d}$ und $N = ⨁_{d \in ℤ} N_{d}$ graduierte Moduln über $R$ . Ein $R$ -Modulhomomorphismus

φ : M ⟶ N

heißt homogen, wenn $φ (M_{d}) \subseteq N_{d}$ für alle $d \in ℤ$ gilt.

Manchmal nennt man die vorstehenden Homomorphismen auch graduierte Homomorphismen vom Grad $0$ und nennt auch solche Homomorphismen homogen, bei denen der Grad um eine bestimmte Zahl verschoben wird. Solche Verschiebungen kann man aber auch durch Verschiebungen in der Graduierung beschreiben.

Definition

Es sei $R = ⨁_{d \in ℤ} R_{d}$ ein kommutativer graduierter Ring und $M = ⨁_{d \in ℤ} M_{d}$ ein $ℤ$ -graduierter Modul über $R$ . Zu $n \in ℤ$ versteht man unter $M (n)$ den gleichen, aber mit der Graduierung

{(M (n))}_{d} := M_{n + d}

versehenen Modul. Man nennt ihn den um den Grad $n$ verschobenen Modul.

Speziell spielen die $R (n)$ eine wichtige Rolle. Wenn $v \in M$ ein homogenes Element vom Grad $d$ eines graduierten $R$ -Moduls ist, so gehört dazu der homogene Modulhomomorphismus

R (- d) ⟶ M, 1 ⟼ v .

Lemma

Es sei $R = ⨁_{d \in ℤ} R_{d}$ ein kommutativer $ℤ$ -graduierter Ring und $M = ⨁_{d \in ℤ} M_{d}$ ein $ℤ$ -graduierter Modul über $R$ .

Wenn $M$ ein endlich erzeugter $R$ -Modul ist, so wird er auch von endlich vielen homogenen Elementen erzeugt und es gibt einen surjektiven homogenen Modulhomomorphismus der Form

$⨁_{i = 1}^{k} R (- d_{i}) ⟶ M .$

Beweis

Siehe Aufgabe 51.1.

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