Kurs:Kommutative Algebra/Teil II/Vorlesung 52

Die Hilbertfunktion

Definition

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0} = K$ . Es sei $M$ ein $ℤ$ -graduierter Modul über $R$ mit der Eigenschaft, dass die homogenen Stufen $M_{n}$ endlichdimensionale $K$ -Vektorräume sind. Dann nennt man die Funktion

H_{M} : ℤ ⟶ ℤ, n ⟼ \dim_{K} (M_{n}),

die Hilbertfunktion zu $M$ .

Beispiel

Es sei $R = K [X_{1}, \dots, X_{m}]$ der Polynomring in $m$ Variablen über einem Körper $K$ . Dann gibt es nach Aufgabe 2.3 genau $(\binom{n + m - 1}{m - 1})$ Monome vom Grad $n$ . Dies ist somit die $K$ -Vektorraumdimension der $n$ -ten Stufe des standard-graduierten Polynomringes. Die Hilbertfunktion des graduierten $R$ -Moduls $R$ ist also

\begin{matrix} H_{R} (n) & = (\binom{n + m - 1}{m - 1}) \\ = \frac{(n + m - 1) \dots (n + 1)}{(m - 1)!} \\ = \frac{1}{(m - 1)!} n^{m - 1} + \frac{m}{2 (m - 2)!} n^{m - 2} + kleinere Terme . \end{matrix}

Insbesondere ist die Hilbertfunktion ein Polynom mit Koeffizienten aus $ℚ$ , das aber an jeder natürlichen Stelle eine natürliche Zahl als Wert besitzt.

In einer Variablen ist $H_{R}$ konstant $= 1$ , in zwei Variablen ist $H_{R} (n) = n + 1$ , in drei Variablen ist $H_{R} (n) = \frac{(n + 2) (n + 1)}{2} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n + 1$ , in vier Variablen ist $H_{R} (n) = \frac{(n + 3) (n + 2) (n + 1)}{6} = \frac{1}{6} n^{3} + n^{2} + \frac{11}{6} n + 1$ .

Lemma

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0} = K$ und sei $M$ ein endlich erzeugter $ℤ$ -graduierter Modul über $R$ .

Dann sind die homogenen Stufen $M_{n}$ endlichdimensionale $K$ -Vektorräume.

Beweis

Zunächst ist $R$ ein Restklassenring eines standard-graduierten Polynomringes und somit sind die homogenen Stufen von $R$ nach Beispiel 52.2 endlichdimensional. Nach Lemma 51.10 gilt dies auch für die Stufen des Moduls.

◻

Definition

Eine Funktion $f : ℤ \to ℤ$ heißt von polynomialen Typ, wenn es ein Polynom $P \in ℚ [X]$ und ein $n_{0} \in ℕ$ mit $f (n) = P (n)$ für alle $n \geq n_{0}$ gibt.

Lemma

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0} = K$ und sei $M$ ein endlich erzeugter graduierter $R$ -Modul.

Dann ist die Hilbertfunktion $H_{M}$ von polynomialem Typ.

Beweis

Zunächst sind nach Lemma 52.3 die Stufen $M_{d}$ endlichdimensional, sodass die Hilbertfunktion wohldefiniert ist. Nach Voraussetzung ist das irrelevante Ideal $R_{+} = ⨁_{d \geq 1} R_{d}$ endlich erzeugt, und zwar wird es von Elementen aus $R_{1}$ erzeugt. Wir führen Induktion über die Erzeugendenanzahl $r$ dieses Ideals. Bei $r = 0$ ist $R = R_{0} = K$ ein Körper und $M$ ist als ganzes ein endlichdimensionaler Vektorraum. Deshalb sind alle Stufen $M_{d}$ zu hinreichend großen $d$ gleich $0$ . Zum Induktionsschluss sei $R_{+} = (f_{1}, \dots, f_{r})$ und $M$ ein endlicher erzeugter graduierter $R$ -Modul. Der Restklassenring $S = R / (f_{r})$ ist ebenfalls standard-graduiert und sein irrelevantes Ideal besitzt einen Erzeuger weniger, auf ihn können wir also die Induktionsvoraussetzung anwenden. Der Restklassenmodul $N = M / (f_{r}) M$ ist (ein graduierter $R$ - und damit auch) ein graduierter $S$ -Modul. Folglich gibt es ein Polynom

Q \in ℚ [X]

mit $H_{N} (d) = Q (d)$ für $d$ hinreichend groß. Es liegt eine exakte Sequenz

0 ⟶ L = {m \in M ∣ f_{r} \cdot m = 0} ⟶ M \overset{\cdot f_{r}}{⟶} M (1) ⟶ (M / f_{r} M) (1) ⟶ 0

von graduierten endlich erzeugten $R$ -Moduln vor. Dabei ist der Modul links ebenfalls ein $S$ -Modul, und somit gibt es nach Induktionsvoraussetzung ein weiteres Polynom $T \in ℚ [X]$ mit $H_{L} (d) = T (d)$ für $d$ hinreichend groß. Da sich die Vektorraumdimensionen für exakte Komplexe von $K$ -Vektorräumen additiv verhalten, gilt

H_{M} (d + 1) - H_{M} (d) = H_{N} (d) - H_{L} (d) = Q (d) - T (d)

für $d$ hinreichend groß. Ab einem gewissen $d_{0}$ verhält sich also der Zuwachs von $H_{M} (d)$ polynomial und daher ist nach Lemma 52.9 die Funktion $H_{M} (d)$ selbst polynomial.

◻

Lemma

Es sei $F \in P = K [X_{1}, \dots, X_{m}]$ ein homogenes Polynom $\neq 0$ vom Grad $d$ .

Dann ist die Hilbertfunktion von $R = K [X_{1}, \dots, X_{m}] / (F)$ gleich (die zweite Gleichung gilt für $n \geq d$ )

$H_{R} (n) = H_{P} (n) - H_{P} (n - d) = \frac{d}{(m - 2)!} n^{m - 2} + kleinere Terme .$

Beweis

Es liegt eine kurze exakte Sequenz von graduierten $P$ -Moduln

0 ⟶ P (- d) \overset{\cdot F}{⟶} P ⟶ R ⟶ 0

und damit auch für jede Stufe eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen $K$ -Vektorräumen

0 ⟶ P_{n - d} \overset{\cdot F}{⟶} P_{n} ⟶ R_{n} ⟶ 0

vor. Daher gilt

H_{R} (n) = H_{P} (n) - H_{P} (n - d) .

Nach Beispiel 52.2 ist

H_{P} (n) = (\binom{n + m - 1}{m - 1})

für $n \geq 0$ . Somit ist für $n \geq d$

\begin{matrix} H_{R} (n) & = H_{P} (n) - H_{P} (n - d) \\ = (\binom{n + m - 1}{m - 1}) - (\binom{n - d + m - 1}{m - 1}) \\ = \frac{(n + m - 1) \dots (n + 1)}{(m - 1)!} - \frac{(n - d + m - 1) \dots (n - d + 1)}{(m - 1)!} \\ = \frac{1}{(m - 1)!} (\frac{m (m - 1)}{2} + (m - 1) d - \frac{m (m - 1)}{2}) n^{m - 2} + kleinere Terme \\ = \frac{d}{(m - 2)!} n^{m - 2} + kleinere Terme . \end{matrix}

◻

Aufgrund von Lemma 52.5 ist die folgende Definition sinnvoll.

Definition

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0} = K$ und sei $M$ ein endlicher erzeugter $ℤ$ -graduierter Modul über $R$ . Dann nennt man das eindeutig bestimmte Polynom

P_{M} \in ℚ [X]

mit $H_{M} (n) = P_{M} (n)$ für $n ≫ 0$ das Hilbertpolynom zu $M$ .

Lemma

Es sei $P \in ℚ [X]$ ein ganzwertiges Polynom vom Grad $d$ mit dem Leitkoeffizienten $α_{d}$ .

Dann ist $d! \cdot α_{d}$ ganzzahlig.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt *****.

◻

Lemma

Sei $f : ℤ \to ℤ$ eine Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

$f$ ist von polynomialen Typ.

Die Differenzfunktion $Δ f$ ist von polynomialen Typ.

Es gibt eine Iteration $Δ^{n}$ des Differenzoperators derart, dass $Δ^{n} f$ letztlich konstant ist.

Beweis

Polynom/Q/Ganzwertig/Differenzoperator/Fakt/Beweis

◻

Definition

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0} = K$ und sei $M$ ein endlicher erzeugter $ℤ$ -graduierter Modul über $R$ . Das Hilbertpolynom zu $M$ habe die Form

P_{M} (d) = α_{m} d^{m} + \dots + α_{1} d + α_{0}

mit $α_{m} \neq 0$ . Dann nennt man

e (M) := m! \cdot α_{m}

die Multiplizität von $M$ .

Wenn das Hilbertpolynom das Nullpolynom ist, so betrachtet man $\sum_{i \in ℤ} \dim_{K} (M_{i})$ als die Multiplizität. Diesen Ausnahmefall kann man umschiffen, wenn man das kumulative Hilbertpolynom betrachtet, siehe die Aufgaben.

Satz

Die Multiplizität des Polynomringes über einem Körper

ist $1$ .

Beweis

Nach Beispiel 52.2 ist das Hilbertpolynom eines Polynomringes in $m$ Variablen gleich $\frac{1}{(m - 1)!} n^{m - 1} + \frac{m}{2 (m - 2)!} n^{m - 2} + kleinere Terme$ . Multiplikation des Leitkoeffizienten mit der Fakultät des Grades ergibt $1$ .

◻

Satz

Es sei $F \in P = K [X_{1}, \dots, X_{m}]$ ein homogenes Polynom $\neq 0$ vom Grad $d$ .

Dann ist die Multiplizität von $R = K [X_{1}, \dots, X_{m}] / (F)$ gleich $d$ .

Beweis

Dies folgt aus der expliziten Berechnung in Lemma 52.6.

◻

Satz

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0} = K$ und sei $M$ ein endlicher erzeugter $ℤ$ -graduierter Modul über $R$ .

Dann ist die Multiplizität von $M$ eine natürliche Zahl.

Beweis

Diese Eigenschaft gilt nach Lemma 52.8 für jede Funktion von polynomialen Typ.

◻

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