Kurs:Kommutative Algebra/Teil II/Vorlesung 56

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und es sei

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}),$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist die Faser über einem Primideal  ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  gleich ${}\operatorname {Spek} {\left((S/{\mathfrak {q}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})}\right)}$.

D.h. die Faser besteht aus allen Primidealen  ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$  mit  ${}{\mathfrak {q}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$  und mit  ${}{\mathfrak {p}}\cap \varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})=\emptyset$. 

Beweis

Aufgrund von Fakt ***** müssen wir nur die zweite Formulierung beweisen. Für ein Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\subseteq S$  gilt  ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {q}}$  genau dann, wenn sowohl  ${}\varphi ({\mathfrak {q}})\subseteq {\mathfrak {p}}$  als auch  ${}\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\subseteq S\setminus {\mathfrak {p}}$  gilt. Die erste Bedingung ist zu  ${}{\mathfrak {q}}S\subseteq {\mathfrak {p}}$  und die zweite Bedingung ist zu

${}\varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\cap {\mathfrak {p}}=\emptyset \,$

äquivalent.

$\Box$

Korollar

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und es sei

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}),$

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist die Faser über einem Primideal  ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  genau dann leer, wenn  ${}{\mathfrak {q}}S\cap \varphi (R\setminus {\mathfrak {q}})\neq \emptyset$. 

Beweis

Dies folgt aus Lemma 56.1 und Fakt *****  (6).

$\Box$

Die Dimension unter ganzen Erweiterungen

Lemma

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien  ${}{\mathfrak {q}}_{0}\subseteq {\mathfrak {q}}_{1}$  Primideale in ${}R$ und ${}{\mathfrak {p}}_{0}$ ein Primideal in ${}S$ mit  ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})={\mathfrak {q}}_{0}$. 

Dann gibt es ein Primideal  ${}{\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{0}$  in ${}S$ mit  ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{1})={\mathfrak {q}}_{1}$. 

Beweis

Wir betrachten die injektive Abbildung

$R/{\mathfrak {q}}_{0}\longrightarrow S/{\mathfrak {p}}_{0},$

die nach wie vor ganz ist. Wir können also annehmen, dass eine ganze Erweiterung  ${}R\subseteq S$  von Integritätsbereichen vorliegt und müssen ein Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$  finden, das auf ein vorgegebenes Primideal  ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  runterschneidet. Wir lokalisieren ${}R$ an ${}{\mathfrak {q}}$ und ${}S$ an  ${}R\setminus {\mathfrak {q}}\subseteq S$,  wobei die induzierte Abbildung

$R_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$

nach wie vor injektiv und ganz ist. Wir können also annehmen, dass ${}R$ ein lokaler Integritätsbereich ist und  ${}R\subseteq S$  eine ganze Erweiterung. Wir suchen ein Primideal aus ${}S$, das auf das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ herunterschneidet.  Nehmen wir an, dass die Faser über ${}{\mathfrak {m}}$ leer ist. Dann ist nach Korollar 56.2 das Erweiterungsideal ${}{\mathfrak {m}}S$ gleich dem Einheitsideal. Dann gibt es Elemente  ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$  und  ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$  mit  ${}s_{1}f_{1}+\cdots +s_{n}f_{n}=1$.  Diese Gleichung gilt auch im Unterring  ${}T=R[s_{1},\ldots ,s_{n}]\subseteq S$.  Die Erweiterung  ${}R\subseteq T$  ist endlich erzeugt und ganz, also nach Satz . sogar endlich. Es ist  ${}{\mathfrak {m}}T=T$  und damit  ${}T/{\mathfrak {m}}T=0$.  Aus dem Lemma von Nakayama folgt daraus  ${}T=0$,  ein Widerspruch.

$\Box$

Lemma

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

surjektiv.

Beweis

Es sei  ${}{\mathfrak {q}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  vorgegeben. Die induzierte Abbildung

$R_{\mathfrak {q}}\longrightarrow S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$

ist ebenfalls injektiv. Der Beweis zu Lemma 56.3 zeigt, dass es ein Primideal aus ${}S_{R\setminus {\mathfrak {q}}}$ gibt, das auf ${}{\mathfrak {q}}$ runterschneidet.

$\Box$

Satz

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist die Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

abgeschlossen.

Wenn ${}\varphi$ zusätzlich injektiv ist, so ist ${}\varphi ^{*}$ surjektiv.

Beweis

Wir zeigen für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge  ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ 

mit einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq S$,  dass das Bild

${}\varphi ^{*}(V({\mathfrak {a}}))=V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))\,$

ist, also insbesondere wieder abgeschlossen ist. Dafür betrachten wir den induzierten Ringhomomorphismus

$R/\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})\longrightarrow S/{\mathfrak {a}},$

der ebenfalls ganz und zusätzlich injektiv ist. Daher ist

$V({\mathfrak {a}})\cong \operatorname {Spek} {\left(S/{\mathfrak {a}}\right)}\longrightarrow V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))\cong \operatorname {Spek} {\left(R/\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})\right)}$

nach Lemma 56.4 surjektiv. Also ist  ${}\varphi ^{*}(V({\mathfrak {a}}))=V(\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}}))$.  Der Zusatz folgt ebenfalls aus Lemma 56.4.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}A$ ein Integritätsbereich und  ${}K\subseteq A$  eine ganze Erweiterung.

Dann ist auch ${}A$ ein Körper.

Beweis

Es sei ${}a\in A$, ${}a\neq 0$. Wir betrachten eine Ganzheitsgleichung

${}a^{n}+r_{n-1}a^{n-1}+\cdots +r_{1}a+r_{0}=0\,.$

Wenn  ${}r_{0}=0$  ist, so können wir ${}a$ ausklammern und erhalten, da ${}a$ ein Nichtnullteiler ist, eine Ganzheitsgleichung kleineren Grades. Wir können also annehmen, dass  ${}r_{0}\neq 0$  ist. Dann ist

${}a\cdot {\left(a^{n-1}+r_{n-1}a^{n-2}+\cdots +r_{1}\right)}\cdot {\left(-r_{0}^{-1}\right)}=1\,$

und somit ist ${}a$ eine Einheit.

$\Box$

Lemma

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ganzer Ringhomomorphismus. Es seien  ${}{\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {q}}$  Primideale in ${}S$ mit  ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}})=\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})$. 

Dann ist  ${}{\mathfrak {p}}\not \subseteq {\mathfrak {q}}$. 

D.h. die Fasern sind nulldimensional.

Beweis

Es sei  ${}{\mathfrak {r}}:=\varphi ^{*}({\mathfrak {p}})=\varphi ^{*}({\mathfrak {q}})$.  Wir machen den Übergang

$R\longrightarrow R_{\mathfrak {r}}/{\mathfrak {r}}R_{\mathfrak {r}}=\kappa ({\mathfrak {r}})$

und betrachten die induzierte Abbildung

$\kappa ({\mathfrak {r}})=:K\longrightarrow (S/{\mathfrak {r}}S)_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {r}})}=:A,$

die ebenfalls ganz ist. Nach Lemma 56.1 ist ${}\operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ die Faser von ${}\varphi ^{*}$ über ${}{\mathfrak {r}}$. Wir müssen also zeigen, dass das Spektrum einer über einem Körper ${}K$ ganzen Algebra nulldimensional ist, es also keine Inklusionen von Primidealen gibt. Es sei  ${}{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {q}}$  eine Inklusion von Primidealen aus ${}A$. Wir gehen zu ${}K\rightarrow A/{\mathfrak {p}}$ über. Somit ist ${}A/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich und eine ganze Erweiterung eines Körpers. Nach Lemma 56.6 ist ${}A/{\mathfrak {p}}$ selbst ein Körper. Also ist

${}{\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\,.$

$\Box$

Satz

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus.

Dann ist

${}\operatorname {dim} {\left(S\right)}=\operatorname {dim} {\left(R\right)}\,.$

Beweis

Zu einer Primidealkette  ${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$  aus ${}S$ ist die Kette  ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})\subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{1})\subset \ldots \subset \varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{n})$  nach Lemma 56.7 ebenfalls echt, sodass

${}\operatorname {dim} {\left(S\right)}\leq \operatorname {dim} {\left(R\right)}\,$

ist. Zu einer Primidealkette  ${}{\mathfrak {q}}_{0}\subset {\mathfrak {q}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {q}}_{n}$  aus ${}R$ gibt es zunächst nach Lemma 56.4 ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}_{0}$ aus ${}S$ mit  ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{0})={\mathfrak {q}}_{0}$.  Nach Lemma 56.3 kann man dies sukzessive zu einer Kette  ${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}$  mit  ${}\varphi ^{*}({\mathfrak {p}}_{i})={\mathfrak {q}}_{i}$  fortsetzen. Daher ist auch

${}\operatorname {dim} {\left(S\right)}\geq \operatorname {dim} {\left(R\right)}\,.$

$\Box$

Lemma

Es sei  ${}R\subseteq S$  eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen mit ${}R$ normal.

Dann gibt es zu Primidealen

${}{\mathfrak {p}}_{1}\subset {\mathfrak {p}}_{2}\,$

in ${}R$ und einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}_{2}$ in ${}S$ mit

${}{\mathfrak {q}}_{2}\cap R={\mathfrak {p}}_{2}\,$

ein Primideal ${}{\mathfrak {q}}_{1}$ mit

${}{\mathfrak {q}}_{1}\subset {\mathfrak {q}}_{2}\,$

und

${}{\mathfrak {q}}_{1}\cap R={\mathfrak {p}}_{1}\,.$

Beweis

Ganze Erweiterung/Normale Basis/Going down/Fakt/Beweis

$\Box$

Dimension von endlich erzeugte Algebren

Satz

Der Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$

besitzt die Krulldimension ${}n$.

Jedes maximale Ideal des Polynomringes besitzt die Höhe ${}n$.

Beweis

Es sei zunächst  ${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)}$.  Dann zeigt einerseits die Primidealkette

${}0\subset {\left(X_{1}\right)}\subset {\left(X_{1},X_{2}\right)}\subset \ldots \subset {\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)}\,,$

dass die Höhe von ${}{\mathfrak {m}}$ zumindest ${}n$ ist. Da das Ideal ${}n$ Erzeuger besitzt, folgt andererseits aus Satz 55.8, dass die Höhe von ${}{\mathfrak {m}}$ höchstens gleich ${}n$ ist. Die Höhe ist also genau ${}n$.

Wenn ein maximales Ideal der Form

${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n}\right)}\,$

(also ein Punktideal) mit  ${}a_{i}\in K$  vorliegt, so zeigt die gleiche Argumentation, dass seine Höhe gleich ${}n$ ist (oder man arbeitet mit einem ${}K$- Algebraautomorphismus von $K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, der ${}{\mathfrak {m}}$ in ${}{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ überführt.). Wenn ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist, so sind wir nach Satz 24.6 fertig.

Wenn ${}K$ ein beliebiger Körper ist, so gibt es eine ganze Körpererweiterung  ${}K\subseteq {\overline {K}}$  mit ${}{\overline {K}}$ algebraisch abgeschlossen. Die Erweiterung

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\subseteq {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

ist ebenfalls ganz. Sei  ${}{\mathfrak {m}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein maximales Ideal. Dazu gibt es nach Lemma 56.4 und Lemma 56.7 ein maximales Punktideal

${}{\mathfrak {n}}\subseteq {\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,,$

das auf ${}{\mathfrak {m}}$ runterschneidet. Eine Primidealkette unterhalb von ${}{\mathfrak {n}}$ der Länge ${}n$ schneidet auf eine Primidealkette unterhalb von ${}{\mathfrak {m}}$ runter, sodass die Höhe von ${}{\mathfrak {m}}$ zumindest ${}n$ ist. Umgekehrt gibt es zu einer Primidealkette unterhalb von ${}{\mathfrak {m}}$ nach Lemma 56.3 eine darüberliegende Primidealkette in ${}{\overline {K}}[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Da eine solche maximal die Länge ${}n$ besitzt, ist die Höhe von ${}{\mathfrak {m}}$ gleich ${}n$.

$\Box$

Ohne Beweis erwähnen wir den folgenden Satz.

Satz

Es sei ${}R$ ein noetherscher Ring der Dimension ${}d$.

Dann besitzt der Polynomring ${}R[X]$ die Dimension ${}d+1$.

Satz

Es sei  ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein Polynom ${}\neq 0$ über einem Körper ${}K$.

Dann besitzt der Restklassenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)$ die Dimension ${}n-1$.

Beweis

Nach Satz 24.7 gibt es eine endliche Erweiterung

${}K[Y_{1},\ldots ,Y_{n-1}]\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\,.$

Nach Satz 56.8 stimmen die Dimensionen der beiden Ringe überein. Also hat der Hyperflächenring die gleiche Dimension wie der Polynomring in ${}n-1$ Variablen, die nach Satz 56.10 gleich ${}n-1$ ist.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ eine integre ${}K$- Algebra vom endlichen Typ über einem Körper ${}K$.

Dann besitzt jede maximale Primidealkette in ${}R$ die gleiche Länge.

Beweis

Es sei ${}d$ die Dimension von ${}R$, wir führen Induktion über ${}d$. Bei  ${}d=0$  ist die Aussage klar. Zum Induktionsschluss sei

${}0\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}\,$

eine maximale Primidealkette in ${}R$. Nach Satz 24.8 gibt es eine endliche Erweiterung

${}K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\subseteq R\,.$

Wir betrachten

${}{\mathfrak {q}}_{1}:={\mathfrak {p}}_{1}\cap K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\,.$

Nach Aufgabe 41.2 ist ${}{\mathfrak {q}}_{1}$ nicht das Nullideal. Würde es ein Primideal

${}0\subset {\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {q}}_{1}\,$

geben, so würde es dazu nach Lemma 56.9 eine Primidealkette

${}0\subset {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\,$

geben, die darüber liegt, und dann wäre die Kette nicht maximal. Das bedeutet, dass ${}{\mathfrak {q}}_{1}$ die Höhe ${}1$ besitzt. Da der Polynomring faktoriell ist, ist

${}{\mathfrak {q}}_{1}=(F)\,$

ein Primhauptideal und somit ist nach Satz 56.12 die Dimension von ${}K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]/(F)$ gleich ${}d-1$. Da die induzierte Abbildung

$K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]/(F)\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}_{1}$

ebenfalls endlich und injektiv ist, folgt nach Satz 56.8, dass die Dimension von ${}R/{\mathfrak {p}}_{1}$ gleich ${}d-1$ ist. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt jede maximale Primidealkette in ${}R/{\mathfrak {p}}_{1}$ die Länge ${}d-1$. Unsere Primidealkette induziert (startend mit ${}{\mathfrak {p}}_{1}$) eine maximale Primidealkette in ${}R/{\mathfrak {p}}_{1}$, also ist

${}n-1=d-1\,$

und daher  ${}n=d$. 

$\Box$

In der vorstehenden Aussage ist die Voraussetzung der Integrität notwendig, wie jedes Beispiel zeigt, in dem die maximalen Komponenten nicht die gleiche Dimension haben. Aber auch die Voraussetzung, dass die Algebra vom endlichen Typ ist, ist entscheidend.

Beispiel

Wir betrachten den Polynomring ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ mit dem maximalen Ideal  ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$  und dem Primideal  ${}{\mathfrak {p}}=(X-1)$,  das nicht in ${}{\mathfrak {m}}$ liegt. Wir betrachten das multiplikative System

${}S={\left\{f\in K[X,Y]\mid f\notin {\mathfrak {m}}{\text{ und }}f\notin {\mathfrak {p}}\right\}}=K[X,Y]\setminus {\mathfrak {m}}\cap K[X,Y]\setminus {\mathfrak {p}}\,.$

In der Nenneraufnahme  ${}R=K[X,Y]_{S}$  sind die Primideale ${}{\mathfrak {m}}R$ und ${}{\mathfrak {p}}R$ die einzigen maximalen Ideale, das eine hat die Höhe ${}2$ und das andere die Höhe ${}1$. Die Aussage Satz 56.13 gilt also nicht für integre Algebren, die im Wesentlichen vom endlichen Typ sind.

Korollar

Es sei ${}R$ eine integre ${}K$- Algebra vom endlichen Typ über einem Körper ${}K$ und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal.

Dann ist

${}\operatorname {dim} {\left(R\right)}=\operatorname {dim} {\left({\mathfrak {p}}\right)}+\operatorname {ht} {\left({\mathfrak {p}}\right)}\,.$

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 56.13.

$\Box$

Die folgende Aussage setzt die Dimension einer integren Algebra vom endlichen Typ in Beziehung zum Transzendengrad des zugehörigen Quotientenkörpers. Für den Begriff Transzendenzgrad und seine wichtigsten Eigenschaften siehe die Vorlesung zur Galoistheorie.

Satz

Es sei ${}R$ eine integre ${}K$- Algebra vom endlichen Typ über einem Körper ${}K$ mit dem Quotientenkörper  ${}Q=Q(R)$. 

Dann stimmt die Dimension von ${}R$ mit dem Transzendenzgrad von ${}Q$ über ${}K$ überein.

Beweis

Nach Satz 24.8 gibt es algebraisch unabhängige Elemente  ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in R$  derart, dass

${}K[f_{1},\ldots ,f_{n}]\subseteq R\,$

endlich ist. Dann ist auch die Körpererweiterung der Quotientenkörper

${}Q(K[f_{1},\ldots ,f_{n}])=K(f_{1},\ldots ,f_{n})\cong K(T_{1},\ldots ,T_{n})\subseteq Q(R)\,$

endlich. Also ist ${}n$ nach Definition der Transzendenzgrad.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ eine integre ${}K$- Algebra vom endlichen Typ über einem Körper ${}K$ und  ${}f\in R$  ein von ${}0$ verschiedenes Element.

Dann stimmt die Dimension der Nenneraufnahme ${}R_{f}$ mit der Dimension von ${}R$ überein.

Beweis

Der Quotientenkörper von ${}R_{f}$ stimmt mit dem Quotientenkörper von ${}R$ überein. Da mit ${}R$ auch ${}R_{f}$ von endlichem Typ über ${}K$ ist, folgt die Aussage aus Satz 56.16.

$\Box$

Der Grad des Hilbert-Samuel Polynoms

Definition

Zu einem ${}R$- Modul ${}M$ versteht man unter der Krulldimension von ${}M$ die Krulldimension von ${}R/{\text{Ann}}_{R}M$.

Satz

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul.

Dann besteht zwischen der Dimension des Moduls und dem Grad des Hilbert-Samuel-Polynoms ${}P_{M}$ der Zusammenhang

${}\operatorname {dim} {\left(M\right)}=\operatorname {grad} \,(P_{M})+1\,.$

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