Kurs:Kommutative Algebra/Teil II/Vorlesung 58

Zu einem Dedekindbereich ${}R$ und einem Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$  ist nach Satz 43.9 die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring und somit ergibt sich insgesamt eine Abbildung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow R_{\mathfrak {p}}\setminus \{0\}{\stackrel {\text{ord}}{\longrightarrow }}\mathbb {N} .$

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich,  ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$  ein Primideal in ${}R$ und  ${}f\in R$,   ${}f\neq 0$.  Dann heißt die Ordnung ${}\operatorname {ord} \,(f)$ im diskreten Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ die Ordnung von ${}f$ am Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ (oder an der Primstelle ${}{\mathfrak {p}}$ oder in ${}R_{\mathfrak {p}}$). Sie wird mit ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und  ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$  ein Primideal in ${}R$. Dann hat die Ordnung an ${}{\mathfrak {p}}$, also die Abbildung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),$

folgende Eigenschaften.

1.  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(fg)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)+\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)$. 
2.  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f+g)\geq {\min {\left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)\right)}}$. 
3. Es ist  ${}f\in {\mathfrak {p}}$  genau dann, wenn  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 1$. 

Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus Lemma 43.4. Bei (3) ist zu beachten, dass für  ${}f\in R$  gilt, dass  ${}f\in {\mathfrak {p}}$  genau dann gilt, wenn  ${}f\in {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$  ist. Letzteres bedeutet nämlich, dass  ${}f=q_{1}f_{1}+\cdots +q_{n}f_{n}$  mit  ${}f_{i}\in {\mathfrak {p}}$  und  ${}q_{i}\in R_{\mathfrak {p}}$  ist, also  ${}q_{i}={\frac {r_{i}}{s_{i}}}$  mit  ${}s_{i}\notin {\mathfrak {p}}$.  Mit dem Hauptnenner  ${}s=s_{1}\cdots s_{n}$  ist dann  ${}sf=a_{1}f_{1}+\cdots +a_{n}f_{n}\in {\mathfrak {p}}$,  woraus  ${}f\in {\mathfrak {p}}$  folgt. Damit folgt die Behauptung aus Lemma 43.4.

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$  in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ zuordnet, der durch ${}f$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ bezeichnet und als formale Summe

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\cdot {\mathfrak {p}}\,$

geschrieben.

Die Ordnung an einem Primideal nennt man in diesem Zusammenhang auch die Verschwindungsordnung. Die Ordnung ist ja genau dann positiv, wenn ${}f$ zum Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ gehört, und dies ist genau dann der Fall, wenn unter der Abbildung

$R\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}\longrightarrow Q(R/{\mathfrak {p}})$

das Element ${}f$ auf ${}0$ abgebildet wird, also an dieser Stelle verschwindet. Eine höhere Verschwindungsordnung bedeutet, dass ${}f$ nicht nur einfach, sondern mit einer gewissen Vielfachheit verschwindet. Der Hauptdivisor zu ${}f$ notiert also, mit welcher Verschwindungsordnung die Funktion ${}f$ an den verschiedenen Primstellen verschwindet.

Bemerkung  

Es sei ${}R$ ein faktorieller Dedekindbereich. Dann lässt sich der Hauptdivisor zu einem Ringelement ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, unmittelbar aus der Primfaktorzerlegung ablesen. Wenn

${}f=up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$

mit einer Einheit ${}u$ und paarweise nicht assoziierten Primelementen ${}p_{i}$ ist, so ist der Hauptdivisor zu ${}f$ gleich

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{k}r_{i}(p_{i})\,.$

Dies beruht einfach darauf, dass die Ordnung von ${}f$ in der Lokalisierung ${}R_{(p_{i})}$ gleich ${}r_{i}$ ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Dann hat die Abbildung, die einem Ringelement ${}\neq 0$ den Hauptdivisor zuordnet, also

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \operatorname {Hauptdivisoren} ,\,f\longmapsto \operatorname {div} {\left(f\right)},$

folgende Eigenschaften.

1. ${}\operatorname {div} {\left(fg\right)}=\operatorname {div} {\left(f\right)}+\operatorname {div} {\left(g\right)}\,.$

2. ${}\operatorname {div} {\left(f+g\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f\right)},\operatorname {div} {\left(g\right)}\right)}}\,.$

3. Es ist ${}f$ genau dann eine Einheit, wenn  ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=0$  ist.

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 58.2 durch Betrachtung an den einzelnen Primidealen.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$.

Dann ist nur für endlich viele Primideale  ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$  in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)$ von ${}0$ verschieden.

Das heißt, dass der Hauptdivisor  ${}\operatorname {div} (f)=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\cdot {\mathfrak {p}}$  eine endliche Summe ist.

Beweis

Es ist ${}R/(f)$ nulldimensional, deshalb folgt die Aussage aus Satz 55.6.

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Ein effektiver Divisor ist eine formale Summe

$\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$

die sich über alle Primideale  ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$  aus ${}R$ erstreckt und wobei ${}n_{\mathfrak {p}}$ natürliche Zahlen sind mit  ${}n_{\mathfrak {p}}=0$  für fast alle ${}{\mathfrak {p}}$.

Lemma 58.6 zeigt, dass ein Hauptdivisor zu einem Ringelement ${}\neq 0$ wirklich ein effektiver Divisor ist. Ein effektiver Divisor gibt für jede Primstelle eine „Verschwindungsordnung“ an. Eine naheliegende Frage ist dann, ob dieses Ordnungsverhalten durch eine Funktion realisiert werden kann, also ob der Divisor ein Hauptdivisor ist. Wir werden im Weiteren sehen, dass die Frage, welche Divisoren Hauptdivisoren sind, eng mit der Frage nach der Faktorialität von Dedekindbereichen zusammenhängt. Der Zugang über Divisoren hat den Vorteil, dass er erlaubt (siehe weiter unten), eine Gruppe, die sogenannte Divisorenklassengruppe einzuführen, die die Abweichung von der Faktorialität messen kann. Die Menge der effektiven Divisoren wird mit ${}\operatorname {Eff\,Div} {\left(R\right)}$ bezeichnet, es handelt sich um ein kommutatives additives Monoid, das als Monoid von den Primdivisoren ${}{\mathfrak {p}}$ erzeugt wird.

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und  ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$  ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}R$. Dann nennt man den Divisor

${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$

mit

${}m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,({\mathfrak {a}}):=\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f){|}f\in {\mathfrak {a}},\,f\neq 0\right)\,$

den Divisor zum Ideal ${}{\mathfrak {a}}$.

Bemerkung  

Man kann den Divisor zu einem Ideal auch durch

${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}=\operatorname {min} {\left\{\operatorname {div} {\left(f\right)}\mid f\in {\mathfrak {a}},\,f\neq 0\right\}}\,$

definieren, wobei das Minimum über Divisoren komponentenweise erklärt ist. Es gibt im Allgemeinen kein Element, das an allen Primstellen simultan das Minimum annimmt. Da zu einem einzelnen Element  ${}0\neq f\in {\mathfrak {a}}$  der zugehörige Hauptdivisor nur an endlich vielen Stellen von ${}0$ verschieden ist, gilt das erst recht für den Divisor zu einem Ideal.

Die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,({\mathfrak {a}})$ kann man auch als Ordnung des Ideals ${}\operatorname {ord} ({\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}})$ im diskreten Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ ansehen. Dabei ist ${}{\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$ das Erweiterungsideal zu ${}{\mathfrak {a}}$ in ${}R_{\mathfrak {p}}$. Dieses Ideal hat einen Erzeuger ${}p^{k}$, wobei ${}p$ ein Primelement im diskreten Bewertungsring ist; die Ordnung ist dann ${}k$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Dann erfüllt die Zuordnung (für von ${}0$ verschiedene Ideale)

${\mathfrak {a}}\longmapsto \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$

folgende Eigenschaften.

1. ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {p}}\right)}=1\cdot {\mathfrak {p}}\,$

   für ein Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$. 

2. ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\right)}=\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}+\operatorname {div} {\left({\mathfrak {b}}\right)}\,.$

3. Für  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$  ist  ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}\geq \operatorname {div} \operatorname {div} {\left({\mathfrak {b}}\right)}$. 

4. ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}\right)}=\operatorname {min} \{\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)},\operatorname {div} {\left({\mathfrak {b}}\right)}\}\,.$

Beweis

1. Für jedes Element  ${}f\in {\mathfrak {p}}$  gilt auch  ${}f\in {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$  und daher ist  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 1$.  Umgekehrt besitzt der diskrete Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein Element ${}p$, das das maximale Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ erzeugt und die Ordnung ${}1$ hat. Man kann  ${}p={\frac {a}{b}}$  mit  ${}a,b\in R$  und  ${}b\notin {\mathfrak {p}}$  schreiben. Dabei ist  ${}a\in {\mathfrak {p}}$  und ${}a$ hat in ${}R_{\mathfrak {p}}$ die Ordnung ${}1$. Es sei nun  ${}{\mathfrak {q}}\neq {\mathfrak {p}}$  ein weiteres Primideal ${}\neq 0$. Da beide Ideale maximal sind gibt es ein Element  ${}g\in {\mathfrak {p}}$,   ${}g\notin {\mathfrak {q}}$.  Dieses hat dann in ${}{\mathfrak {q}}$ die Ordnung ${}0$.
2. Fixiere ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$. Sei  ${}h\in {\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}$  und schreibe  ${}h=\sum _{i=1}^{k}f_{i}g_{i}$  mit  ${}f_{i}\in {\mathfrak {a}}$  und  ${}g_{i}\in {\mathfrak {b}}$.  Dann ist nach Lemma 58.5

   ${}\operatorname {div} {\left(h\right)}\geq \operatorname {min} \{\operatorname {div} {\left(f_{i}g_{i}\right)}:i=1,\ldots ,k\}\geq \operatorname {min} \{\operatorname {div} {\left(f_{i}\right)}+\operatorname {div} {\left(g_{i}\right)}:i=1,\ldots ,k\}\geq \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}+\operatorname {div} {\left({\mathfrak {b}}\right)}\,.$

   Für die Umkehrung schreiben wir ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}=\sum _{\mathfrak {q}}n_{\mathfrak {q}}\cdot {\mathfrak {q}}$ und ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {b}}\right)}=\sum _{\mathfrak {q}}m_{\mathfrak {q}}\cdot {\mathfrak {q}}$. Zu fixiertem ${}{\mathfrak {p}}$ gibt es ein  ${}f\in {\mathfrak {a}}$  und ein  ${}g\in {\mathfrak {b}}$  mit  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)=n_{\mathfrak {p}}$  und  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)=m_{\mathfrak {p}}$.  Dann ist  ${}fg\in {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$  und

   ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(fg)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)+\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)=n_{\mathfrak {p}}+m_{\mathfrak {p}}\,.$

3. Das ist trivial.
4. Die Abschätzung „${}\geq$“ folgt aus  ${}\operatorname {div} {\left(f+g\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f\right)},\operatorname {div} {\left(g\right)}\right)}}$.  Die Abschätzung „${}\leq$“ folgt aus Teil (3).

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und

${}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$

ein effektiver Divisor (wobei ${}{\mathfrak {p}}$ durch die Menge der Primideale ${}\neq 0$ läuft). Dann nennt man

${\left\{f\in R\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$

das Ideal zum Divisor ${}D$. Es wird mit ${}\operatorname {Id} (D)$ bezeichnet.

In der vorstehenden Definition verwenden wir die Konvention, dass in Ungleichungen der Ausdruck ${}\operatorname {div} {\left(0\right)}$ als ${}\infty$ zu verstehen ist. Damit gehört also ${}0$ zu ${}\operatorname {Id} (D)$. Es ergibt sich sofort, dass es sich in der Tat um ein Ideal handelt. Es ist auch nicht das Nullideal, da wir zu den endlich vielen Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$, mit  ${}n_{i}=n_{{\mathfrak {p}}_{i}}>0$  Elemente  ${}0\neq f_{i}\in {\mathfrak {p}}_{i}$  mit  ${}\operatorname {ord} _{{\mathfrak {p}}_{i}}\,(f_{i})=1$  wählen können. Dann gehört aber das Produkt ${}f_{1}^{n_{1}}\cdots f_{k}^{n_{k}}$ zu dem zu ${}D$ gehörenden Ideal.

Der folgende Satz zeigt, dass die beiden soeben eingeführten Zuordnungen zwischen den effektiven Divisoren und den von ${}0$ verschiedenen Idealen in einem Dedekindbereich invers zueinander sind. Dies sollte man als eine einfache und übersichtliche Beschreibung für die Menge aller Ideale ansehen.

Satz

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich.

Dann sind die Zuordnungen

${\mathfrak {a}}\longmapsto \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}{\text{ und }}D\longmapsto \operatorname {Id} (D)$

zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von ${}0$ verschiedenen Ideale und der Menge der effektiven Divisoren.

Diese Bijektion übersetzt das Produkt von Idealen in die Summe von Divisoren.

Beweis

Wir starten mit einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$  und vergleichen ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}\operatorname {Id} (\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$. Es sei zunächst  ${}f\in {\mathfrak {a}}$.  Es ist dann  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq \operatorname {min} {\left\{\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)\mid g\in {\mathfrak {a}}\right\}}$  für jedes Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$,  sodass natürlich  ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$  gilt. Also ist  ${}f\in \operatorname {Id} (\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$.  Ist hingegen  ${}f\notin {\mathfrak {a}}$,  so gibt es nach Aufgabe 26.6 auch ein Primideal  ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$  mit  ${}f\notin {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$.  Da ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein diskreter Bewertungsring ist, gilt  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)<\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,({\mathfrak {a}})$.  Also ist  ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\not \geq \operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$  und somit  ${}f\notin \operatorname {Id} (\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)})$.  Insbesondere ist die Abbildung injektiv. Die Surjektivität ergibt sich aus Lemma 58.10  (1) in Verbindung mit Lemma 58.10  (2), was auch den Zusatz ergibt.

$\Box$

Idealzerlegung in einem Dedekindbereich

Korollar

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und seien ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ Ideale in ${}R$.

Dann gilt  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$  genau dann, wenn es ein Ideal ${}{\mathfrak {c}}$ mit  ${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$  gibt.

Bei  ${}{\mathfrak {b}}\neq 0$  ist ${}{\mathfrak {c}}$ eindeutig bestimmt.

Beweis

Die Implikation „ ${}\Leftarrow$ “ gilt in beliebigen kommutativen Ringen. Die andere Implikation ist richtig, wenn  ${}{\mathfrak {a}}=0$  ist. Wir können also annehmen, dass die beteiligten Ideale von ${}0$ verschieden sind. Die Bedingung impliziert nach Lemma 58.10  (3), dass  ${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})\geq \operatorname {div} ({\mathfrak {b}})$  ist. Somit ist

${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\operatorname {div} ({\mathfrak {b}})+E\,$

mit einem effektiven Divisor ${}E$. Nach Satz 58.12 übersetzt sich dies zurück zu  ${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}\cdot \operatorname {Id} (E)$,  sodass mit  ${}{\mathfrak {c}}=\operatorname {Id} (E)$  die rechte Seite erfüllt ist.

$\Box$

DDR-Briefmarke

Die folgende Aussage heißt Satz von Dedekind. Sie liefert für jeden Zahlbereich auf der Idealebene einen Ersatz für die eindeutige Primfaktorzerlegung.

Satz

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und  ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$  ein Ideal in ${}R$.

Dann gibt es eine Produktdarstellung

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen  ${}{\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$  aus ${}R$ und eindeutig bestimmten Exponenten ${}r_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$.

Beweis

Wir benutzen Satz 58.12, also die bijektive Beziehung zwischen Idealen ${}\neq 0$ und effektiven Divisoren. Auf der Seite der Divisoren haben wir offenbar eine eindeutige Darstellung

${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\sum _{i=1}^{k}r_{i}{\mathfrak {p}}_{i}\,$

mit geeigneten Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}$. Wendet man auf diese Darstellung die Abbildung ${}D\mapsto \operatorname {Id} (D)$ an, so erhält man links das Ideal zurück. Es genügt also zu zeigen, dass der Divisor rechts auf das Ideal ${}{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}$ abgebildet wird. Dies folgt aber direkt aus Satz 58.12.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$.

Dann gibt es eine Produktdarstellung für das Hauptideal

${}(f)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen  ${}{\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$  aus ${}R$ und eindeutig bestimmten Exponenten ${}r_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 58.14.

$\Box$

Satz

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal ${}\neq 0$ in einem Dedekindbereich mit der eindeutigen Primidealzerlegung

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Dann gibt es einen natürlichen Ringisomorphismus

${}R/{\mathfrak {a}}\cong R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Beweis

Da Dedekindbereiche eindimensional sind und die Primideale in der Zerlegung verschieden sind, gilt  ${}{\mathfrak {p}}_{i}+{\mathfrak {p}}_{j}=R$  für  ${}i\neq j$.  Dies überträgt sich direkt auf die Potenzen. Somit folgt die Aussage aus Lemma 8.5.

$\Box$

Definition

Zu einem gebrochenen Ideal  ${}{\mathfrak {f}}\neq 0$  in einem Dedekindbereich ${}R$ nennt man

${}{\mathfrak {f}}^{-1}:={\left\{q\in Q(R)\mid q\cdot {\mathfrak {f}}\subseteq R\right\}}\,$

das zugehörige inverse gebrochene Ideal.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu gebrochenen Idealen mit der Beziehung  ${}{\mathfrak {g}}=r{\mathfrak {f}}$  mit  ${}r\in Q(R)$,   ${}r\neq 0$,  gilt für die inversen gebrochenen Ideale die Beziehung  ${}{\mathfrak {g}}^{-1}=r^{-1}{\mathfrak {f}}^{-1}$. 
2. Zu einem gebrochenen Ideal ${}{\mathfrak {f}}$ ist das inverse gebrochene Ideal in der Tat ein gebrochenes Ideal.
3. Es ist  ${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {f}}^{-1}=R$. 

Beweis

1. Der ${}R$- Modulisomorphismus ${}{\mathfrak {f}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}$, ${}f\longmapsto rf$, führt direkt zu einem Isomorphismus ${}{\mathfrak {f}}^{-1}\longrightarrow r^{-1}{\mathfrak {g}}^{-1}$, ${}q\longmapsto r^{-1}q$, da ja  ${}q{\mathfrak {f}}\subseteq R$  zu  ${}{\left(r^{-1}q\right)}{\left(r{\mathfrak {f}}\right)}\subseteq R$  äquivalent ist.
2. Es ist klar, dass ${}{\mathfrak {f}}^{-1}$ ein von ${}0$ verschiedener ${}R$- Untermodul von ${}Q(R)$ ist. Wenn ${}{\mathfrak {f}}$ durch ${}{\frac {a_{1}}{b_{1}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ erzeugt wird, so betrachten wir  ${}{\mathfrak {g}}={\frac {\mathfrak {f}}{a}}$  mit  ${}a=a_{1}\cdots a_{n}$,  wobei jetzt ${}{\mathfrak {g}}$ ein Erzeugendensystem der Form ${}{\frac {1}{c_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{c_{n}}}$ mit  ${}c_{i}\in R$  besitzt. Die Bedingung

   ${}q{\frac {1}{c_{i}}}\in R\,$

   impliziert  ${}q\in R$.  Daher ist das inverse gebrochene Ideal zu ${}{\mathfrak {g}}$ selbst ein Ideal, also endlich erzeugt. Dies überträgt sich wegen (1) auf ${}{\mathfrak {f}}$.

3. Für das Produkt ist offenbar

   ${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {f}}^{-1}\subseteq R\,.$

   Wenn diese Inklusion echt wäre, so würde es auch ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ oberhalb von ${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {f}}^{-1}$ geben. Es sei  ${}{\mathfrak {f}}_{\mathfrak {p}}=(\pi ^{n})$  mit einer Ortsuniformisierenden ${}\pi$ und mit  ${}n\in \mathbb {Z}$.  Es gibt dann auch ein Element  ${}f\in {\mathfrak {f}}$,  das an der Stelle ${}{\mathfrak {p}}$ die Ordnung ${}n$ besitzt. Dazu gibt es auch ein  ${}q\in Q(R)$,  das an der Stelle ${}{\mathfrak {p}}$ die Ordnung ${}-n$ und sonst überall eine hinreichend große Ordnung besitzt derart, dass  ${}fq\in R$  ist. Dies ist ein Widerspruch, da ${}fg$ an der Stelle ${}{\mathfrak {p}}$ die Ordnung ${}0$ besitzt.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ das Ideal

${}{\mathfrak {a}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,.$

Aufgrund der Gleichung

${}2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\,$

ist beispielsweise

${\frac {1-{\sqrt {-5}}}{2}}\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R,\,{\frac {3}{1+{\sqrt {-5}}}}\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R,\,1\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R.$

Wir behaupten, dass das inverse gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {a}}^{-1}$ gleich

${}{\mathfrak {f}}=R{\left(1,{\frac {1-{\sqrt {-5}}}{2}}\right)}\,$

ist, wobei sich die Inklusion  ${}{\mathfrak {f}}\subseteq {\mathfrak {a}}^{-1}$  aus der vorstehenden Zeile ergibt. Andererseits gilt wegen

${}-2\cdot 1+(1+{\sqrt {-5}}){\frac {1-{\sqrt {-5}}}{2}}=-2+3=1\,$

für das Produkt

${}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {f}}=R\,,$

und dies impliziert nach Aufgabe 26.7 die Gleichheit  ${}{\mathfrak {f}}={\mathfrak {a}}^{-1}$. 

Bemerkung  

Ein gebrochenes Ideal  ${}{\mathfrak {f}}\neq 0$  in einem Dedekindbereich ist ein sogenannter invertierbarer Modul. D.h. es ist lokal isomorph zum Ring selbst. Mit diesen Formulierungen ist folgendes gemeint: Für ein maximales Ideal (also für ein von ${}0$ verschiedenes Primideal) ${}{\mathfrak {p}}$ ist  ${}{\mathfrak {f}}R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {f}}_{\mathfrak {p}}$  (dies ist die Lokalisierung eines Moduls an einem Primideal) ein endlich erzeugter ${}R_{\mathfrak {p}}$-Modul ${}\neq 0$, der zugleich im Quotientenkörper liegt. Solche Moduln sind isomorph zu ${}R_{\mathfrak {p}}$. Siehe Aufgabe *****.

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und

${}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$

ein Divisor (wobei ${}{\mathfrak {p}}$ durch die Menge der Primideale ${}\neq 0$ läuft). Dann nennt man

${\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$

das gebrochene Ideal zum Divisor ${}D$. Es wird mit ${}\operatorname {Id} (D)$ bezeichnet.

Das folgende Lemma zeigt, dass man in der Tat ein gebrochenes Ideal erhält, und dass diese Definition mit der früheren Definition 58.11 verträglich ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und  ${}D=\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}$  ein Divisor.

Dann ist die Menge ${}{\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$ ein gebrochenes Ideal.

Ist ${}D$ ein effektiver Divisor, dann ist das so definierte gebrochene Ideal ein Ideal und stimmt mit dem Ideal überein, das einem effektiven Divisor gemäß der Definition 58.11 zugeordnet wird.

Beweis

Es sei  ${}{\mathfrak {f}}={\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\right\}}$.  Gemäß der Konvention, dass  ${}\operatorname {div} {\left(0\right)}=\infty$  zu interpretieren ist, ist  ${}0\in {\mathfrak {f}}$.  Für Elemente  ${}f_{1},f_{2}\in Q(R)$  mit  ${}\operatorname {div} {\left(f_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(f_{2}\right)}\geq D$  gilt nach Fakt *****

${}\operatorname {div} {\left(f_{1}+f_{2}\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f_{1}\right)},\operatorname {div} {\left(f_{2}\right)}\right)}}\geq D\,$

und

${}\operatorname {div} {\left(rf\right)}=\operatorname {div} {\left(r\right)}+\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq D\,$

für  ${}r\in R$,  da ja ${}\operatorname {div} {\left(r\right)}$ effektiv ist. Also liegt in der Tat ein ${}R$-Modul vor.

Bevor wir die endliche Erzeugtheit nachweisen, betrachten wir die zweite Aussage. Es sei also ${}E$ ein effektiver Divisor. Wir müssen zeigen, dass

${}{\left\{f\in Q(R)\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq E\right\}}={\left\{f\in R\mid \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq E\right\}}\,$

ist, wobei die Inklusion ${}\supseteq$ klar ist. Die andere Inklusion folgt aus Fakt *****  (3).

Zum Nachweis der endlichen Erzeugtheit bemerken wir, dass es nach Fakt *****  (4) zu jedem Divisor ${}D$ ein  ${}r\in R$  derart gibt, dass  ${}D'=D+\operatorname {div} {\left(r\right)}$  effektiv ist. Das zu ${}D'$ gehörige gebrochene Ideal ist dann ein Ideal, also endlich erzeugt, und dies überträgt sich auf das gebrochene Ideal zu ${}D$.

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und  ${}{\mathfrak {f}}\neq 0$  ein von ${}0$ verschiedenes gebrochenes Ideal. Dann nennt man den Divisor

${}\operatorname {div} ({\mathfrak {f}})=\sum _{\mathfrak {p}}m_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}}\,$

mit

${}m_{\mathfrak {p}}=\operatorname {min} \left(\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f){|}f\in {\mathfrak {f}},\,f\neq 0\right)\,$

den Divisor zum gebrochenen Ideal ${}{\mathfrak {f}}$.

Da das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {f}}$ nach Definition endlich erzeugt ist, muss man das Minimum nur über eine endliche Menge nehmen. Insbesondere ist der zugehörige Divisor wohldefiniert. Für ein Ideal stimmt diese Definition offensichtlich mit der alten überein.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es sei ${}{\mathfrak {f}}$ ein gebrochenes Ideal mit einer Darstellung  ${}{\mathfrak {f}}={\frac {\mathfrak {a}}{h}}$  mit  ${}h\in R$  und einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$.  Dann ist

   ${}\operatorname {div} {\left({\mathfrak {f}}\right)}=\operatorname {div} {\left({\mathfrak {a}}\right)}-\operatorname {div} {\left(h\right)}\,.$

2. Zu einem Divisor ${}D$ mit  ${}E=D+\operatorname {div} {\left(h\right)}$  effektiv ist

   ${}\operatorname {Id} (D)={\frac {\operatorname {Id} (E)}{h}}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe *****.

$\Box$

Auch die Einzelheiten des Beweises des folgenden Satzes überlassen wir dem Leser, siehe Aufgabe *****.

Satz

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Dann sind die Zuordnungen

${\mathfrak {f}}\longmapsto \operatorname {div} ({\mathfrak {f}})\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,D\longmapsto \operatorname {Id} (D)$

zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von ${}0$ verschiedenen gebrochenen Ideale und der Menge der Divisoren. Diese Bijektion ist ein Isomorphismus von Gruppen.

Beweis

Wir müssen zeigen, dass die hintereinandergeschalteten Abbildungen jeweils die Identität ergeben. Dies kann man mittels Lemma 58.24 auf den effektiven Fall zurückführen. Die Zuordnung ${}{\mathfrak {f}}\mapsto \operatorname {div} ({\mathfrak {f}})$ führt die Multiplikation von gebrochenen Idealen in die Addition von Divisoren über, da dies an jedem diskreten Bewertungsring ${}R_{\mathfrak {p}}$ gilt. Wegen der Bijektivität liegt dann auch links eine Gruppe vor und die Abbildungen sind Gruppenisomorphismen.

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Die Divisorenklassengruppe

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich mit dem Quotientenkörper

${}K=Q(R)\,.$

Wegen der Normalität sind die Lokalisierungen ${}R_{\mathfrak {p}}$ an Primidealen der Höhe ${}1$ diskrete Bewertungsringe. D.h. dass es ein Element ${}\pi$ mit

${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=(\pi )\,$

gibt. Jedes Element ${}f\in K$, ${}f\neq 0$, besitzt somit in ${}R_{\mathfrak {p}}$ eine eindeutige Darstellung  ${}f=u\pi ^{n}$  mit einer Einheit ${}u\in R_{\mathfrak {p}}^{\times }$ und mit ${}n\in \mathbb {Z}$. Die Zahl ${}n$ nennt man die Ordnung von ${}f$ in ${}{\mathfrak {p}}$. Bei  ${}n\geq 1$  spricht man auch von der Verschwindungsordnung und bei  ${}n\leq -1$  nennt man ${}-n$ auch die Polordnung. Zu zwei Elementen  ${}f,g\in K$  ist

${}\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)\,.$

Für ein Element ${}a\in R$, ${}a\neq 0$, ist dabei die Ordnung in ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann positiv, wenn  ${}f\in {\mathfrak {p}}$  ist. Da es oberhalb von ${}(a)$ nur endlich viele minimale Primoberideale gibt, besitzt ${}a$ nur in endlich vielen Primidealen der Höhe ${}1$ eine positive verschwindungsordnung, sonst ist die Ordnung gleich ${}0$. Wenn  ${}f=a/b$  ist, so ergibt sich aus dieser Beobachtung, dass die Ordnung von ${}f$ nur an endlich vielen Primidealen der Höhe ${}1$ eine Ordnung besitzt, die nicht ${}0$ ist. Abweichendes Verhalten gibt es nur bei den minimalen Primoberidealen von ${}a$ und von ${}b$.

Definition

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich mit Quotientenkörper  ${}K=Q(R)$.  Es sei ${}f\in K$, ${}f\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ der Höhe ${}1$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)$ zuordnet, der durch ${}f$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit ${}\operatorname {div} (f)$ bezeichnet und als formale Summe

${}\operatorname {div} (f)=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)\cdot {\mathfrak {p}}\,$

geschrieben.

Definition

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe

$\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$

die sich über alle Primideale der Höhe ${}1$ aus ${}R$ erstreckt und wobei ${}n_{\mathfrak {p}}$ ganze Zahlen mit  ${}n_{\mathfrak {p}}=0$  für fast alle ${}{\mathfrak {p}}$ sind.

Definition

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich. Es sei ${}\operatorname {Div} (R)$ die Gruppe der Divisoren und  ${}H\subseteq \operatorname {Div} (R)$  sei die Untergruppe der Hauptdivisoren. Dann nennt man die Restklassengruppe

${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=\operatorname {Div} (R)/H\,$

die Divisorenklassengruppe von ${}R$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}R$ der Höhe ${}1$. Dann hat die Ordnung an ${}{\mathfrak {p}}$, also die Abbildung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),$

folgende Eigenschaften.

1.  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(fg)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)+\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)$. 
2.  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f+g)\geq \min\{\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)\}$. 
3. ${}f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann, wenn  ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 1$. 

Beweis

Normaler noetherscher Bereich/Ordnung an Primstelle/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Satz

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich und es bezeichne ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ die Divisorenklassengruppe von ${}R$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist faktoriell.
2. Jedes Primideal der Höhe ${}1$ ist ein Hauptideal.
3. Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
4. Es ist  ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=0$. 

Beweis

Sei (1) erfüllt und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal der Höhe ${}1$. Es gibt ein Element ${}f\in {\mathfrak {p}}$, ${}f\neq 0$. Dieses hat eine Primfaktorzerlegung  ${}f=p_{1}\cdots p_{n}$  und aufgrund der Primeigenschaft muss  ${}p_{i}\in {\mathfrak {p}}$  für ein ${}i$ sein. Dann ist aber wegen der Höhenbedingung  ${}(p_{i})={\mathfrak {p}}$.  Sei nun jedes Primideal der Höhe ${}1$ Hauptideal. Dann gilt mit

${}{\mathfrak {p}}=(p)\,$

die Divisorbeziehung

${}\operatorname {div} {\left(p\right)}=1\cdot {\mathfrak {p}}\,,$

da ${}p$ in keinem anderen Primideal der Höhe ${}1$ enthalten ist und da ${}p$ auch in ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein Erzeuger von ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ist. Somit sind die Gruppenerzeuger der Divisorenklassengruppe Hauptdivisoren und damit sind überhaupt alle Divisoren Hauptdivisoren. Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar. Es sei nun vorausgesetzt, dass jeder Divisor ein Hauptdivisor ist. Dann gibt es zu einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ der Höhe ${}1$ ein ${}f\in Q(R)$, ${}f\neq 0$, mit

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=1\cdot {\mathfrak {p}}\,.$

Wegen der Nichtnegativität des Hauptdivisors ist nach Satz 44.13  ${}f\in R$.  Somit ist ${}f$ nur in ${}{\mathfrak {p}}$ als einzigem Primideal der Höhe ${}1$ enthalten. Sei  ${}{\mathfrak {p}}=(g_{1},\ldots ,g_{n})$.  Dann ist

${}\operatorname {div} {\left(g_{i}\right)}\geq \operatorname {div} {\left(f\right)}\,$

und somit ist  ${}{\frac {g_{i}}{f}}\in R$,  also  ${}g_{i}\in (f)$  und damit  ${}{\mathfrak {p}}=(f)$. 

Sei schließlich (2) erfüllt, und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Es seien ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{s}$ die minimalen Primoberideale von ${}f$. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzen diese alle die Höhe ${}1$. Sei  ${}{\mathfrak {p}}_{i}=(p_{i})$  mit Primelementen ${}p_{1}$. Es ist

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{s}n_{i}{\mathfrak {p}}_{i}\,.$

Das Element ${}\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}}$ besitzt den gleichen Hauptdivisor. Deshalb ist der Quotient ${}f/\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}}$ eine Einheit und

${}f=u\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}}\,$

mit einer Einheit ${}u$. Daher ist ${}R$ faktoriell.

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Endlichkeit des ganzen Abschlusses

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine integre ${}K$- Algebra vom endlichen Typ mit Quotientenkörper ${}L$. Es sei  ${}L\subseteq M$  eine endliche Körpererweiterung.

Dann ist der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}M$ eine endliche ${}R$- Algebra.

Beweis

Endlicher Typ/K/Integer/Ganzer Abschluss/Fakt/Beweis

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Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine integre ${}K$- Algebra vom endlichen Typ.

Dann ist die Normalisierung von ${}R$ eine endliche ${}R$- Algebra.

Beweis

Dies ist der Spezialfall von Satz 58.31 für  ${}M=L=Q(R)$. 

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Das Lemma von Hironaka

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ sei die Lokalisierung einer ${}K$- Algebra vom endlichen Typ. Es sei  ${}f\in R$ 

ein Element, das die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. ${}f$ besitzt ein einziges minimales Primoberideal ${}{\mathfrak {p}}$.
2. In der Lokalisierung wird ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ von ${}f$ erzeugt.
3. Der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ist normal.

Dann ist  ${}{\mathfrak {p}}=(f)$  und ${}R$ ist selbst normal.

Beweis

Bei  ${}f=0$  ist nichts zu zeigen, sei also  ${}f\neq 0$  und somit ${}{\mathfrak {p}}$ nach Satz 55.7 ein Primideal der Höhe ${}1$. Es sei ${}S$ die Normalisierung von ${}R$. Da in ${}R_{\mathfrak {p}}$ das maximale Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ von einem Element erzeugt wird, ist ${}R_{\mathfrak {p}}$ nach Satz 43.5 ein diskreter Bewertungsring und insbesondere normal. Daher liegt oberhalb von ${}{\mathfrak {p}}$ genau ein Primideal, das wir ${}{\mathfrak {q}}$ nennen. Dabei gilt  ${}R_{\mathfrak {p}}\cong S_{\mathfrak {q}}$.  Wir zeigen zuerst  ${}{\mathfrak {q}}=fS$.  Es sei dazu  ${}g\in {\mathfrak {q}}$  und ${}{\mathfrak {r}}$ ein Primideal der Höhe ${}1$ von ${}S$. Nach Korollar 58.32 ist ${}S$ vom endlichen Typ und insbesondere noethersch, daher ist gemäß Korollar 44.14 die Zugehörigkeit  ${}g\in fS_{\mathfrak {r}}$  für alle ${}{\mathfrak {r}}$ zu zeigen. Bei  ${}f\notin {\mathfrak {r}}$  ist das richtig, da dann ${}f$ eine Einheit in ${}S_{\mathfrak {r}}$ ist. Es sei also  ${}f\in {\mathfrak {r}}$.  Doch dann ist  ${}f\in {\mathfrak {r}}\cap R={\mathfrak {p}}$  und somit  ${}{\mathfrak {r}}={\mathfrak {q}}$  und dann ist es auch richtig.

Wir betrachten nun die Hintereinanderschaltung

$R\longrightarrow S\longrightarrow S/{\mathfrak {q}}=S/fS,$

die eine endliche Erweiterung von Integritätsbereichen

$R/{\mathfrak {p}}\longrightarrow S/{\mathfrak {q}}$

induziert. Für die Quotientenkörper gilt dabei nach Lemma 12.5

${}Q(R/{\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}S_{\mathfrak {q}}=Q(S/{\mathfrak {q}})\,.$

Da ${}R/{\mathfrak {p}}$ nach Voraussetzung normal ist, liegt ein Isomorphismus  ${}R/{\mathfrak {p}}=S/{\mathfrak {q}}=S/fS$  vor. Somit wird jedes  ${}s\in S$  modulo ${}fS$ durch ein Element aus ${}R$. repräsentiert. Also ist

${}S=R+fS\,.$

Wegen Korollar 58.32 können wir Korollar 29.6 anwenden und erhalten  ${}R=S$.  Also ist ${}R$ normal und ${}f$ erzeugt ${}{\mathfrak {p}}$ bereits in ${}R$.

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