Kurs:Kommutative Algebra/Teil III/Vorlesung 65

Freie Auflösungen

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Eine freie Auflösung ist ein (linksseitig unendlicher) exakter Komplex

$\dots ⟶F_2⟶F_1⟶F_0⟶M⟶0,$

wobei die $F_i$ freie endlich erzeugte $R$-Moduln sind.

Die $F_i$ haben somit die Form  $F_i=R^{r_i}$  mit  $r_i\in \mathbb{N}$.  Die $R$-Modulhomomorphismen

${\theta }_i:F_{i+1}=R^{r_{i+1}}⟶F_i=R^{r_i}$

werden durch Matrizen beschrieben. Da $F_0\to M$ surjektiv ist, muss $M$ endlich erzeugt sein, wenn es für ihn eine freie Auflösung gibt. Den Modul $M$ kann man aus der Auflösung $F_{\bullet }$, bei der man $M$ weglässt, als Kokern von ${\theta }_0$ rekonstruieren. Die Bedeutung von freien Auflösungen liegt darin, beliebig komplizierte und insbesondere hochgradig nichtfreie Moduln durch freie Moduln zu beschreiben.

Lemma

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.

Dann besitzt $M$ eine freie Auflösung mit endlich erzeugten freien Moduln.

Beweis

Zunächst gibt es einen surjektiven $R$-Modulhomomorphismus

${\theta }_{-1}:F=R^{r_0}⟶M,$

wobei die Standardvektoren $e_i$ auf ein (endliches) Erzeugendensystem $m_i$ von $M$ abgebildet werden. Somit hat man eine kurze exakte Sequenz

$0⟶M_0=\mathrm{kern}\left({\theta }_{-1}\right)⟶F_0⟶M⟶0.$

Nach Satz 23.3 ist $F_0$ ein noetherscher Modul und somit ist $M_0$ ebenfalls endlich erzeugt. Man findet daher wieder eine Surjektion

${\theta }_0:F_1⟶M_0$

und so kann man induktiv fortfahren.

$◻$

Definition

Eine freie Auflösung

$\dots ⟶F_2⟶F_1⟶F_0⟶M⟶0$

eines $R$-Moduls $M$ heißt minimal, wenn in jedem Schritt die Abbildung

${\theta }_i:F_{i+1}⟶M_i\subseteq F_i$

durch ein Erzeugendensystem von

$M_i=\mathrm{kern}{\theta }_{i-1}$

von minimaler Anzahl gegeben ist.

Lemma

Es sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring, $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul und

$\dots ⟶F_2⟶F_1⟶F_0⟶M⟶0$

eine minimale freie Auflösung von $M$.

Dann ist der Rang von $F_i$ gleich der $R/𝔪$-Dimension von $M_i{\otimes }_{R}R/𝔪$ mit  $M_i=\mathrm{kern}\left({\theta }_{i-1}\right)$. 

Beweis

Siehe Aufgabe 65.1.

$◻$

Satz

Es sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.

Dann ist die minimale freie Auflösung von $M$ im folgenden Sinne eindeutig bestimmt: Wenn

$\dots ⟶F_2⟶F_1⟶F_0⟶M⟶0$

und

$\dots ⟶G_2⟶G_1⟶G_0⟶M⟶0$

minimale freie Auflösungen von $M$ sind, dann gibt es $R$-Modulisomorphismen

${\mathrm{\Psi }}_i:F_i⟶G_i$

derart, dass die Diagramme

$\begin{array}{cccc}{F}_{i+1}& \stackrel{{\theta }_i}{⟶}& F_i& \\ {\mathrm{\Psi }}_{i+1}\downarrow & & \downarrow {\mathrm{\Psi }}_i& \\ G_{i+1}& \stackrel{{{\theta }_i}^{\prime }}{⟶}& G_i& \end{array}$

kommutieren.

Beweis

Wir konstruieren induktiv die ${\mathrm{\Psi }}_i$, $i\in \mathbb{N}$. Für  $i=0$  betrachten wir die Situation

$\begin{array}{cccc}{F}_0& \stackrel{{\theta }_{-1}}{⟶}& M& \\ ?\downarrow & \nearrow {\theta }_{{-}^{\prime }1}& \\ G_0& & & & .\end{array}$

Wegen der Minimalität rühren beide Abbildungen von einem minimalen Modulerzeugendensystem der Länge $n$ von $M$ her, sagen wir

${\theta }_{-1}(e_j)=u_j$

und

${\theta }_{{-}^{\prime }1}(e_j)=v_j.$

Es ist dann

${\theta }_{-1}(e_j)=u_j=\sum _{i=1}^n{r}_{ij}{v}_i.$

Durch die Festlegung

${\mathrm{\Psi }}_0(e_j):=\sum _{i=1}^n{r}_{ij}{e}_i$

erhält man dann einen $R$-Modulhomomorphismus von $F_0$ nach $G_0$, der mit den gegebenen Abbildungen kommutiert. Die Abbildung ist surjektiv, da andernfalls ein echter Untermodul von $G_0$ schon surjektiv auf $M$ abbildet würde, was der Minimalität von $G_0$ widerspricht (siehe Aufgabe 18.1). Dieser Isomorphismus führt somit auch die Kerne

$M_0=\mathrm{kern}{\theta }_{-1}$

und

$N_0=\mathrm{kern}{\theta }_{{-}^{\prime }1}$

ineinander über. Es sei nun vorausgesetzt, dass die Isomorphismen ${\mathrm{\Psi }}_i$ schon konstruiert sind und die Kerne ineinander überführen. Dann liegt die Situation

$\begin{array}{cccccc}{F}_{i+1}& \stackrel{{\theta }_i}{⟶}& M_i& \stackrel{}{⟶}& F_i& \\ ?\downarrow & & {\mathrm{\Psi }}_i{|}_{M_i}\downarrow & & \downarrow {\mathrm{\Psi }}_i& & \\ G_{i+1}& \stackrel{{{\theta }_i}^{\prime }}{⟶}& N_i& \stackrel{}{⟶}& G_i& \end{array}$

vor, wobei das Quadrat rechts kommutiert. Sowohl ${\theta }_i$ als auch ${{\theta }_i}^{\prime }$ rühren von einem minimalen Erzeugendensystem von $M_i$ bzw. $N_i$ her. Das im Wesentlichen gleiche Argument wie am Induktionsanfang zeigt, dass es einen Isomorphismus

${\mathrm{\Psi }}_{i+1}:F_{i+1}⟶G_{i+1}$

gibt, der die Kerne ineinander überführt.

$◻$

Endliche projektive Dimension

Definition

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Man sagt, dass $M$ eine endliche projektive Dimension besitzt, wenn es eine freie Auflösung

$\dots ⟶F_2⟶F_1⟶F_0⟶M⟶0$

mit  $F_n=0$  für  $n\ge n_0$  gibt. In diesem Fall nennt man das Minimum der $n$ mit  $F_{n+1}=0$  für alle freie Auflösungen die projektive Dimension von $M$.

Die projektive Dimension eines Moduls ist also das Maximum des Indexes, wo in jeder freien Auflösung ein Modul $\ne 0$ stehen muss. Ein endlich erzeugter freier Modul $\ne 0$ besitzt demnach die projektive Dimension $0$, der Nullmodul die projektive Dimension $-1$. Zu einem Nichtnullteiler  $f\in 𝔪$  besitzt der Restklassenmodul $R/(f)$ die projektive Dimension $1$, da eine freie Auflösung

$0⟶R\stackrel{f}{⟶}R⟶R/(f)⟶0$

vorliegt, und $R/(f)$ selbst nicht frei ist.

Beispiel

Es sei $R$ ein zweidimensionaler lokaler regulärer Ring mit dem maximalen Ideal  $𝔪=(x,y)$.  Dann ist

$0⟶R\stackrel{\left(\begin{array}{c}y\\ -x\end{array}\right)}{⟶}{R}^2\stackrel{(x,y)}{⟶}R⟶R/𝔪⟶0$

eine freie Auflösung des Restklassenkörpers $R/𝔪$. Dieser besitzt also die projektive Dimension $2$. Die einzige Stelle, an der die Exaktheit nicht direkt klar ist, ist für $R^2$. Es seien  $(a,b)\in R^2$  mit  $ax+by=0$.  Dies bedeutet  $ax=-by$  und dies bedeutet  $ax=0$  in $R/(y)$. Nach Lemma 64.4 ist dies ein regulärer Ring der Dimension $1$ und $x$ erzeugt darin das maximale Ideal. Wegen Satz 64.5 ist $R/(y)$ ein Integritätsbereich und somit ist dort  $a=0$.  Dies heißt zurückübersetzt nach $R$, dass  $a=cy$  ist. Da $y$ ein Nichtnullteiler in $R$ ist, folgt  $b=-cx$  und somit ist

$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=c\left(\begin{array}{c}y\\ -x\end{array}\right).$

Lemma

Es sei $R$ ein lokaler noetherscher Ring und  $L=M\oplus N$  ein endlich erzeugter $R$-Modul mit einer endlichen projektiven Dimension.

Dann besitzen auch die direkten Summanden $M$ und $N$ eine endliche projektive Dimension, die höchstens so groß wie die von $L$ ist.

Beweis

Wir führen Induktion über die projektive Dimension von $L$. Wenn diese gleich $0$ ist, so bedeutet dies, dass $L$ frei ist. Doch dann sind $M$ und $N$ als direkte Summanden projektiv und somit nach Lemma 47.9 selbst frei. Es sei die Aussage nun für endliche projektive Dimension $e$ bewiesen und $M\oplus N$ habe die projektive Dimension $e+1$. Es sei

$R^n⟶M\oplus N$

surjektiv und minimal. Dabei kann man annehmen, dass dies von surjektiven Abbildungen $R^{n_1}\to M$ und $R^{n_2}\to N$ mit  $n_1+n_2=n$  herrührt. Dann ist der Kern davon von der Form $M^{\prime }\oplus N^{\prime }$ und man kann darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden.

$◻$

Fußnoten

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