Kurs:Kommutative Algebra/Teil III/Vorlesung 71

Differentialoperatoren auf dem Polynomring

Definition

Es sei $K$ ein Körper. Zu einem Polynom

$F=\sum _{\nu }{a}_{\nu }{X}^{\nu }\in K[X_1,\dots ,X_n]$

und $i$, $1\le i\le n$, heißt das Polynom

${\partial }_{i}F:=\frac{\partial F}{\partial X_i}:=\sum _{\nu }{\nu }_i{a}_{\nu }{X}_1^{{\nu }_1}\cdots X_{i-1}^{{\nu }_{i-1}}{X}_i^{{\nu }_i-1}{X}_{i+1}^{{\nu }_{i+1}}\cdots X_n^{{\nu }_n}$

die formale partielle Ableitung von $F$ nach $X_i$.

Es wird also einfach algebraisch gemäß der üblichen Formel abgeleitet. Wenn ${\nu }_i$ ein Vielfaches der Charakteristik des Körpers ist, so kann diese Ableitung „überraschenderweise“ $0$ ergeben. Statt $\frac{\partial F}{{\partial }_{X_i}}$ schreibt man auch kurz ${\partial }_i(F)$. Insgesamt handelt es sich um eine $K$-lineare Abbildung

${\partial }_i:K[X_1,\dots ,X_n]⟶K[X_1,\dots ,X_n].$

Es gilt die Produktregel (oder Leibnizregel)

${\partial }_i(FG)=F{\partial }_i(G)+G{\partial }_i(F).$

Diese partiellen Ableitungen kann man miteinander verknüpfen. Hierzu empfiehlt sich Monomschreibweise. Zu einem Tupel (einem Multiindex)

$\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\in {\mathbb{N}}^n$

setzen wir

${\partial }^{\alpha }={\partial }_1^{{\alpha }_1}\cdots {\partial }_n^{{\alpha }_n},$

wobei ${\partial }_i^{{\alpha }_i}$ die ${\alpha }_i$-fache Hintereinanderschaltung von ${\partial }_i$ bezeichnet. Bei dieser Gesamtkomposition kommt es nicht auf die Reihenfolge an, was hier im algebraischen Kontext einfacher ist als der analytische Satz von Schwarz. Die Summe

$|\alpha |={\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n$

nennt man die Ordnung der Hintereinanderschaltung. Zu einem Monom $X^{\beta }$ ist

${\partial }^{\alpha }\left(X^{\beta }\right)=\frac{\beta !}{(\beta -\alpha )!}{X}^{\beta -\alpha }$

wobei zu einem Tupel $\gamma$ die Fakultät als

$\gamma !={\gamma }_1!\cdots {\gamma }_n!$

definiert wird und wobei dieser Ausdruck als $0$ zu verstehen ist, wenn $\beta -\alpha$ in einer Komponente negativ ist.

Definition

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$. Unter einem (formalen) Differentialoperator auf $K[X_1,\dots ,X_n]$ versteht man eine endliche Summe

$\sum _{\alpha }{g}_{\alpha }{\partial }^{\alpha }$

mit polynomialen Koeffizientenfunktionen $g_{\alpha }\in K[X_1,\dots ,X_n]$, wobei die Indizes Tupel aus ${\mathbb{N}}^n$ sind.

Die Ordnung eines Operators ist das maximale $|\alpha |$ mit  $g_{\alpha }\ne 0$.  Ein solcher Differentialoperator $E$ ist eine $K$-lineare Abbildung

$K[X_1,\dots ,X_n]⟶K[X_1,\dots ,X_n],f⟼E(f)=\sum _{\alpha }{g}_{\alpha }\cdot {\partial }^{\alpha }(f).$

Er führt also polynomiale Funktionen auf dem $K^n$ in ebensolche Funktionen über. Im physikalischen Kontext sind die Koeffizientenfunktionen häufig nur stetige Funktionen auf einer offenen Menge  $U\subseteq {ℝ}^n$,  und da beim Anwenden des Operators der Differenzierbarkeitsgrad heruntergeht, sind die Funktionenräume, die aus hinreichend oft differenzierbaren Funktionen bestehen und die als Definitionsbereich und als Wertebereich auftreten, nicht unbedingt identisch. Die beschriebenen Differentialoperatoren nennt man genauer lineare partielle Differentialoperatoren. Partiell bezieht sich dabei darauf, dass es mehr als eine Variable gibt (sonst spricht man von gewöhnlichen Differentialgleichungen) und linear darauf, dass die einzelnen ${\partial }^{\alpha }$ nur mit Koeffizientenfunktionen multipliziert werden, aber beispielsweise nicht quadriert werden. Insbesondere ist der Operator als Abbildung $K$-linear. Ein nichtlinearer partieller Differentialoperator ist beispielsweise der Monge-Ampère-Operator

${\partial }_1^2\cdot {\partial }_2^2-({\partial }_1{\partial }_2{)}^2.$

Hier steht links nicht die Verknüpfung der Operatoren, sondern das Produkt! Die Wirkungsweise auf eine Funktion $f$ ist also ${\partial }_1^2(f)\cdot {\partial }_2^2(f)-({\partial }_1{\partial }_2(f){)}^2$.

Bemerkung  

Ein Differentialoperator $E$ auf

$R=K[X_1,\dots ,X_n]$

und ein Polynom $g\in K[X_1,\dots ,X_n]$ gibt Anlass zur (linearen) partiellen Differentialgleichung

$E(f)=g,$

wobei nach den Lösungen $f\in K[X_1,\dots ,X_n]$ (bzw. realistischer im Ring der hinreichend oft differenzierbaren Funktionen auf dem $K^n$, $K=ℝ,ℂ$) gesucht wird. Prominente partielle Differentialgleichungen sind die Wärmeleitungsgleichung mit

$E={\partial }_t-{\partial }_x^2$

(in $K[t,x]$) oder die Wellengleichung

$E={\partial }_t^2-\sum _{j=1}^n{\partial }_{x_j}^2$

(in $K[t,x_1,\dots ,x_n]$).

Beispiel

Den Operator

$x_1{\partial }_1+\cdots +x_n{\partial }_n$

nennt man den Homogenitätsoperator oder die Euler-Derivation. Er bildet ein Monom $X^{\mu }$ auf $|\mu |X^{\mu }$ ab. Allgemeiner wird ein homogenes Polynom $f$ von Grad $m$ durch diesen Operator auf $mf$ abgebildet. Die homogenen Polynome vom Grad $m$ sind also die Eigenvektoren zum Eigenwert $m$ zu diesem Operator.

Bemerkung  

Die Differentialoperatoren $\frac{{\partial }^{\alpha }}{\alpha !}$ haben die besondere Eigenschaft, dass sie $X^{\alpha }$ auf $1$ abbilden. Generell gibt es für jedes Polynom  $f\ne 0$  einen Operator, der dieses Polynom auf $1$ abbildet. Wenn $f$ die Form

$f=\sum _{\beta =d}{c}_{\beta }{X}^{\beta }+\sum _{\beta <d}{c}_{\beta }{X}^{\beta }$

mit einem  $c_{\alpha }\ne 0$  vom Grad $d$ für ein bestimmtes $\alpha$, so ist $\frac{{\partial }^{\alpha }}{\alpha !}$ ein Operator, der $f$ auf $c_{\alpha }$ abbildet.

Wir nennen einen Differentialoperator $E$ unitär, wenn es ein Polynom $f$ mit

$E(f)=1$

gibt, wenn also die partielle Differentialgleichung  $E(-)=1$  eine Lösung besitzt. Wegen der Existenz der Operatoren $\frac{{\partial }^{\alpha }}{\alpha !}$ gibt es in einem Polynomring viele unitäre Operatoren. Ein Operator wie $X{\partial }_X$ ist nicht unitär.

Die Operatoren $\frac{{\partial }^{\alpha }}{\alpha !}$ sind in positiver Charakteristik zunächst nicht definiert, wenn $\alpha !$ ein Vielfaches der Charakteristik ist. Dennoch kann man dieses Operatoren auch in diesem Fall sinnvoll interpretieren.

Bemerkung  

Die mehrdimensionale Taylor-Formel (bis zur Ordnung $k$) hat die Form (siehe Satz 49.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)))

$f(P+v)\sim \sum _{|\alpha |\le k}\frac{{\partial }^{\alpha }(f)}{\alpha !}\cdot v^{\alpha }.$

Dabei ist $f$ eine hinreichend oft differenzierbare Funktion in einer Umgebung eines Punktes $P\in {ℝ}^n$, $v$ repräsentiert einen von $P$ ausgehenden Vektor und $\sim$ bedeutet, dass der Fehlerterm in einem gewissen Sinne klein ist. Wenn $f$ ein Polynom über einem beliebigen Körper ist, so gilt diese Beziehung nach wie vor (bei $k$ hinreichend groß handelt es sich um eine Gleichung), und zwar im Polynomring $K[X_1,\dots ,X_n,V_1,\dots ,V_n]$, und diese Beziehung lässt sich direkt algebraisch beweisen. Beispielsweise ist für  $f=X^2+XY+Y^3$ 

$\begin{array}{cc}(X+U{)}^2+(X+U)(Y+V)+(Y+V{)}^3& =X^2+2XU+U^2+XY+XV+UY+UV+Y^3+3Y{V}^2+3Y^{2}V+V^3\\ & =X^2+XY+Y^3+(2X+Y)U+(X+3Y^2)V+UV+U^2+3Y{V}^2+V^3.\end{array}$

Die Koeffizientenfunktion vor $U^2$, also die konstante Funktion $1$, kann man als ${\partial }_X(f)/2!$ erhalten. Da die Gleichung aber algebraisch ist, gilt sie in jeder Charakteristik. In der Tat kann man den Ausdrücken $\frac{{\partial }^{\alpha }}{\alpha !}(f)$ auch in positiver Charakteristik einen wohldefinierten Sinn zuordnen, nämlich eben als Koeffizientenfunktion zu $V^{\alpha }$ in der Taylor-Entwicklung. Zur Berechnung kann man dabei so vorgehen, dass man „normal“ vollständig ableitet und die vorgezogenen Exponenten erstmal in $\mathbb{Z}$ belässt, dann mit $\alpha !$ kürzt (das Ergebnis bleibt in $\mathbb{Z}$) und erst dann diese Zahl in $K$ interpretiert.

Über einem Körper der Charakteristik $p$ gibt es also auch die Differentialoperatoren $\frac{{\partial }^{\alpha }}{\alpha !}$. Insbesondere ist

$\frac{{\partial }^{\alpha }}{\alpha !}(X^{\alpha })=1.$

Diese Operatoren sind aber nicht, wie in Charakteristik $0$, als eine Hintereinanderschaltung von partiellen Ableitungen realisierbar. Der Ring aller Differentialoperatoren ist in positiver Charakteristik nicht endlich erzeugt.

Bemerkung  

Einen Differentialoperator auf $K^n$ bzw. auf $K[X_1,\dots ,X_n]$ kann man auf jede offene Menge  $U\subseteq K^n$  einschränken. Er ist dann definiert auf der entsprechenden Funktionsklasse auf $U$. Dies gilt auch im algebraischen Kontext.

Die partiellen Ableitungen ${\partial }_i$ sind lokal in dem Sinne, dass $({\partial }_i(f))(P)$ nur von einer offenen Umgebung des Punktes $P$ abhängt und $f$ auch nur auf einer solchen Umgebung definiert sein muss. Insbesondere ist ${\partial }_i\left(\frac{f}{g}\right)$ für rationale Funktionen (also $f,g$ Polynome mit $g\ne 0$) wohldefiniert, und ergibt wieder eine rationale Funktion, die außerhalb der Nullstellenmenge von $g$ definiert ist. Dies überträgt sich auf alle Differentialoperatoren. Insbesondere führt ein Differentialoperator $E$ auf $K[X_1,\dots ,X_n]$ zu einem Differentialoperator auf dem Körper der rationalen Funktionen

$K(X_1,\dots ,X_n)=\{\frac{f}{g}\mid f,g\in K[X_1,\dots ,X_n],g\ne 0\}.$

Umgekehrt lässt sich nicht jeder auf einer offenen Menge definierte Differentialoperator sinnvoll auf den Gesamtraum fortsetzen. Beispielsweise ist ein Operator wie $\frac{1}{X}{\partial }_X$ auf der Nenneraufnahme $K[X{]}_X$ (geometrisch: dort, wo $X\ne 0$ ist) definiert, aber nicht überall. Alle unter der Verwendung verschiedener Nennerpolynome aufgestellten Differentialoperatoren kann man als Differentialoperator auf $K(X_1,\dots ,X_n)$ auffassen und vergleichen. Dabei gilt, dass ein Differentialoperator

$E:K(X_1,\dots ,X_n)⟶K(X_1,\dots ,X_n)$

genau dann auf einem Unterring

$R\subseteq K(X_1,\dots ,X_n)$

einen sinnvollen Differentialoperator definiert, wenn  $E(R)\subseteq R$  gilt. Es wird dann einfach der Definitionsbereich und der Bildbereich auf $R$ eingeschränkt.

Differentialoperatoren

Definition

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra. Das Konzept eines Differentialoperators wird induktiv definiert, wobei es sich um spezielle $K$-lineare Abbildungen von $R$ nach $R$ handelt.

1. Ein Differentialoperator der Ordnung $0$ ist die Multiplikationsabbildung

   ${\mu }_f:R⟶R,x⟼xf,$

   zu einem Element  $f\in R$. 

2. Ein Differentialoperator $E$ der Ordnung $\le n$ ist eine lineare Abbildung $E:R\to R$ mit der Eigenschaft, dass für jedes  $f\in R$  die Abbildung

   $E\circ {\mu }_f-{\mu }_f\circ E$

   ein Differentialoperator der Ordnung $\le n-1$ ist.

Man sagt, dass ein Differentialoperator die Ordnung (genau) $n$ besitzt, wenn er eine Ordnung $\le n$, aber nicht $\le n-1$ besitzt. Differentialoperatoren der Ordnung $1$ sind einfach Derivationen, also $K$-lineare Abbildungen $D:R\to R$, die die Leibniz-Regel

$D(fg)=fD(g)+gD(f)$

erfüllen. Diese Regel kann man auch (was zunächst komplizierter aussieht) als

$D(fg)=fD(g)+gD(f)-fgD(1)$

schreiben, da eine Derivation die Konstanten auf $0$ abbildet. Diese so formulierte Regel wird auch von dem Multiplikationsabbildungen erfüllt, d.h. sie gilt für alle Differentialoperatoren der Ordnung $\le 1$. Sie besitzt die folgende Verallgemeinerung.

Lemma

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und sei $E:R\to R$ eine $K$-lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. $E$ ist ein Differentialoperator der Ordnung $\le n$.
2. Für beliebige Elemente $f_0,f_1,\dots ,f_n\in R$ gilt

   $\begin{array}{cc}E(f_0\cdots f_n)& =\sum _{s=1}^{n+1}(-1{)}^{s+1}\sum _{I\subseteq \{0,\dots ,n\},\mathrm{\#}\left(I\right)=s}\prod _{i\in I}{f}_i\cdot E\left(\prod _{i\notin I}{f}_i\right)\\ & =\sum _{I\subseteq \{0,\dots ,n\},I\ne \mathrm{\varnothing }}(-1{)}^{\mathrm{\#}\left(I\right)+1}\prod _{i\in I}{f}_i\cdot E\left(\prod _{i\notin I}{f}_i\right).\end{array}$

Beweis

Wir beweisen beide Richtungen durch Induktion über $n$. Wenn $E$ ein Operator der Ordnung $0$ ist, so handelt es sich nach Definition um die Multiplikation ${\mu }_g$ mit einem Element $g$. Somit gilt

$E(f_0)=g{f}_0=E(1)f_0.$

Es sei nun $E$ ein Operator der Ordnung $\le n+1$ und Elemente $f_0,\dots ,f_{n+1}\in R$ gegeben. Aufgrund der induktiven Definition ist

$D:=E\circ {\mu }_{f_{n+1}}-{\mu }_{f_{n+1}}\circ E$

ein Operator der Ordnung $\le n$ und erfüllt somit nach Induktionsvoraussetzung die angegebene Produktformel. Somit ist

$\begin{array}{cc}E(f_0\cdots f_{n+1})& =E\circ {\mu }_{f_{n+1}}(f_0\cdots f_n)\\ & =D(f_0\cdots f_n)+{\mu }_{f_{n+1}}\circ E(f_0\cdots f_n)\\ & =\sum _{I\subseteq \{0,\dots ,n\},I\ne \mathrm{\varnothing }}(-1{)}^{\mathrm{\#}\left(I\right)+1}\prod _{i\in I}{f}_i\cdot D\left(\prod _{i\notin I}{f}_i\right)+f_{n+1}E(f_0\cdots f_n)\\ & =\sum _{I\subseteq \{0,\dots ,n\},I\ne \mathrm{\varnothing }}(-1{)}^{\mathrm{\#}\left(I\right)+1}\prod _{i\in I}{f}_i\cdot (E(\prod _{i\notin I}{f}_i\cdot f_{n+1})-f_{n+1}E\left(\prod _{i\notin I}{f}_i\right))+f_{n+1}E(f_0\cdots f_n)\\ & =\sum _{I\subseteq \{0,\dots ,n\},I\ne \mathrm{\varnothing }}(-1{)}^{\mathrm{\#}\left(I\right)+1}\prod _{i\in I}{f}_i\cdot E(\prod _{i\notin I}{f}_i\cdot f_{n+1})+\sum _{I\subseteq \{0,\dots ,n\}}(-1{)}^{\mathrm{\#}\left(I\right)}\prod _{i\in I}{f}_i\cdot f_{n+1}\cdot E\left(\prod _{i\notin I}{f}_i\right)\\ & =\sum _{J\subseteq \{0,\dots ,n+1\},J\ne \mathrm{\varnothing }}(-1{)}^{\mathrm{\#}\left(J\right)+1}\prod _{i\in J}{f}_i\cdot E\left(\prod _{i\notin J}{f}_i\right).\end{array}$

Es sei nun umgekehrt die Produktbedingung erfüllt. Bei  $n=0$  bedeutet dies

$E(f_0)=f_{0}E(1)$

und es liegt die Multiplikation mit $E(1)$ vor, also ein Operator der Ordnung $0$. Es sei nun $E$ eine $K$-lineare Abbildung, die die Produktformel für $n+1$ Elemente erfülle. Wir zeigen, dass dann die Abbildung

$E\circ {\mu }_{f_{n+1}}-{\mu }_{f_{n+1}}\circ E$

die Produktformel für $n$ Elemente besitzt und daher nach Induktionsvoraussetzung ein Operator der Ordnung $\le n$ ist, sodass $E$ selbst ein Operator der Ordnung $\le n+1$ ist. Es ist

$\begin{array}{cc}(E\circ {\mu }_{f_{n+1}}-{\mu }_{f_{n+1}}\circ E)(f_0\cdots f_n)& =E(f_0\cdots f_n\cdot f_{n+1})-f_{n+1}E(f_0\cdots f_n)\\ & =\sum _{J\subseteq \{0,\dots ,n+1\},J\ne \mathrm{\varnothing }}(-1{)}^{\mathrm{\#}\left(J\right)+1}\prod _{i\in J}{f}_i\cdot E\left(\prod _{i\notin J}{f}_i\right)-f_{n+1}E(f_0\cdots f_n)\\ & =\sum _{J\subseteq \{0,\dots ,n+1\},J\ne \mathrm{\varnothing },\{n+1\}}(-1{)}^{\mathrm{\#}\left(J\right)+1}\prod _{i\in J}{f}_i\cdot E\left(\prod _{i\notin J}{f}_i\right)\\ & =\sum _{J\subseteq \{0,\dots ,n+1\},J\ne \mathrm{\varnothing },n+1\notin J}(-1{)}^{\mathrm{\#}\left(J\right)+1}\prod _{i\in J}{f}_i\cdot E\left(\prod _{i\notin J}{f}_i\right)+\sum _{J\subseteq \{0,\dots ,n+1\},n+1\in J,J\ne \{n+1\}}(-1{)}^{\mathrm{\#}\left(J\right)+1}\prod _{i\in J}{f}_i\cdot E\left(\prod _{i\notin J}{f}_i\right)\\ & =\sum _{I\subseteq \{0,\dots ,n\},I\ne \mathrm{\varnothing }}(-1{)}^{\mathrm{\#}\left(I\right)+1}\prod _{i\in I}{f}_i\cdot E(\prod _{i\notin I}{f}_i\cdot f_{n+1})+\sum _{I\subseteq \{0,\dots ,n,I\ne \mathrm{\varnothing }\}}(-1{)}^{\mathrm{\#}\left(I\right)}\prod _{i\in I}{f}_i\cdot f_{n+1}E\left(\prod _{i\notin I}{f}_i\right)\\ & =\sum _{I\subseteq \{0,\dots ,n\},I\ne \mathrm{\varnothing }}(-1{)}^{\mathrm{\#}\left(I\right)+1}\prod _{i\in I}{f}_i\cdot (E(\prod _{i\notin I}{f}_i\cdot f_{n+1})-f_{n+1}E\left(\prod _{i\notin I}{f}_i\right))\\ & =\sum _{I\subseteq \{0,\dots ,n\},I\ne \mathrm{\varnothing }}(-1{)}^{\mathrm{\#}\left(I\right)+1}\prod _{i\in I}{f}_i\cdot (E\circ {\mu }_{f_{n+1}}-{\mu }_{f_{n+1}}\circ E)\left(\prod _{i\notin I}{f}_i\right).\end{array}$

$◻$

Bemerkung  

Ein Differentialoperator $E:R\to R$ auf einer $K$-Algebra $R$ besitzt eine eindeutige Fortsetzung $\tilde{E}$ auf der Nenneraufnahme $R_W$ zu einem multiplikativen System  $W\subseteq R$.  Diese wird induktiv über die Ordnung von $E$ definiert. Für die Ordnung $0$ ist

$\tilde{E}\left(\frac{f}{w}\right)=\frac{E(f)}{w}.$

Es sei die Fortsetzung nun für alle Operatoren der Ordnung $\le n$ definiert und sei $E$ ein Operator der Ordnung $\le n+1$. Dann setzt man

$\tilde{E}\left(\frac{f}{w}\right)=\frac{E(f)-\widetilde{[E,{\mu }_w]}\left(\frac{f}{w}\right)}{w},$

wobei die Fortsetzung rechts aufgrund der kleineren Ordnung schon definiert ist.

Lemma

Es sei $P$ eine kommutative $K$-Algebra und  $𝔞\subseteq P$  ein Ideal mit Restklassenring  $R=P/𝔞$ 

Dann induziert ein Differentialoperator $D:P\to P$ der Ordnung $\le n$ einen Differentialoperator auf $R$ der Ordnung $\le n$, wenn

$D(𝔞)\subseteq 𝔞$

ist.

Beweis

Der Operator $D$ induziert unter der gegebenen Voraussetzung eine $K$-lineare Abbildung $\tilde{D}:R\to R$, die wir als Differentialoperator nachweisen müssen. Dies geschieht durch Induktion über die Ordnung des Operators $D$ auf $P$. Für Ordnung $0$ liegt Multiplikation mit einem Element $x\in P$ vor. Die Bedingung  $x𝔞\subseteq 𝔞$  ist automatisch erfüllt. Dies induziert auf dem Restklassenring die Multiplikation mit $\tilde{x}$, ist also wieder ein Differentialoperator der Ordnung $0$. Es sei nun die Aussage für ein $n$ und jeden Differentialoperator auf $P$ der Ordnung $\le n$ bereits bewiesen. Es sei $D$ ein Differentialoperator auf $P$ der Ordnung $\le n+1$. Zu $h\in 𝔞$ ist

$(D\circ {\mu }_x)(h)=D(xh)\in 𝔞$

und

$({\mu }_x\circ D)(h)=xD(h)\in 𝔞,$

somit erfüllt auch der Kommutator $[D,{\mu }_x]$ die Voraussetzung. Dabei ist

$\widetilde{[D,{\mu }_x]}=[\tilde{D},{\mu }_{\tilde{x}}]$

und somit ist $[\tilde{D},{\mu }_{\tilde{x}}]$ nach Induktionsvoraussetzung ein Differentialoperator der Ordnung $\le n$ auf $R$, also ist $\tilde{D}$ ein Differentialoperator der Ordnung $\le n+1$ auf $R$.

$◻$

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