Kurs:Lineare Algebra/Teil I/17/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 9 4 6 3 4 3 2 6 3 5 3 4 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein neutrales Element zu einer Verknüpfung
  2. Die direkte Summe zu einer Familie , , von -Vektorräumen.
  3. Ein Fehlstand zu einer Permutation
  4. Das Minimalpolynom zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  5. Eine diagonalisierbare lineare Abbildung

    auf einem -Vektorraum .

  6. Eine affin unabhängige Familie von Punkten in einem affinen Raum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper .
  2. Der Determinantenmultiplikationssatz.
  3. Der Satz von Cayley-Hamilton.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über das inverse Element in einer Gruppe .


Aufgabe * (9 (1+1+7) Punkte)

Aus den Rohstoffen und werden verschiedene Produkte hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

6 2 3
4 1 2
0 5 2
2 1 5

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?


Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Wir betrachten die Menge

die mit der stellenweisen Addition von Funktionen eine kommutative Gruppe ist. Auf dieser Menge bildet die Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine assoziative Verknüpfung mit der Identität als neutralem Element.

  1. Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form

    gilt.

  2. Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form

    nicht gilt.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und seien Untervektorräume von , deren Summe ergibt. Zeige, dass diese Summe genau dann direkt ist, wenn die Dimensionsbeziehung

gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die drei reellen Matrizen

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Determinantenmultiplikationssatz für den Spezialfall, wo die linke der beteiligten Matrizen eine Diagonalmatrix ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

mit Hilfe der Cramerschen Regel.


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über und sei ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ein Teiler von . Zeige, dass ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors in durch seine Vielfachheit in beschränkt ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige direkt (ohne charakteristisches Polynom), dass ein Diagonalelement von ein Eigenwert zu sein muss.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

über diagonalisierbar ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die jordansche Normalform.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den -Vektorräumen bzw. . Zeige, dass zu einer bijektiven affin-linearen Abbildung

auch die Umkehrabbildung affin-linear ist.