Kurs:Lineare Algebra/Teil I/17/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 9 4 6 3 4 3 2 6 3 5 3 4 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein neutrales Element zu einer Verknüpfung
  2. Die direkte Summe zu einer Familie , , von -Vektorräumen.
  3. Ein Fehlstand zu einer Permutation
  4. Das Minimalpolynom zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  5. Eine diagonalisierbare lineare Abbildung

    auf einem -Vektorraum .

  6. Eine affin unabhängige Familie von Punkten in einem affinen Raum .


Lösung

  1. Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

    gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.

  2. Man nennt die Menge

    die direkte Summe der .

  3. Ein Indexpaar

    heißt ein Fehlstand zu , wenn ist.

  4. Das eindeutig bestimmte normierte Polynom minimalen Grades mit

    heißt das Minimalpolynom von .

  5. Der Endomorphismus heißt diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren zu besitzt.
  6. Man nennt die Punktfamilie affin-unabhängig, wenn eine Gleichheit

    mit

    nur bei

    für alle möglich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Lösungsmenge zu einem linearen Gleichungssystem in Dreiecksgestalt über einem Körper .
  2. Der Determinantenmultiplikationssatz.
  3. Der Satz von Cayley-Hamilton.


Lösung

  1. Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper in Dreiecksgestalt
    gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente alle ungleich seien. Dann stehen die Lösungen in Bijektion zu den Tupeln .
  2. Es sei ein Körper und . Dann gilt für Matrizen die Beziehung
  3. Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Es sei

    das charakteristische Polynom zu . Dann gilt


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über das inverse Element in einer Gruppe .


Lösung

Sei

und

Dann ist


Aufgabe (9 (1+1+7) Punkte)

Aus den Rohstoffen und werden verschiedene Produkte hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

6 2 3
4 1 2
0 5 2
2 1 5

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

Welche Produkttupel kann man daraus ohne Abfall produzieren?


Lösung

a) Die Matrix ist

da in der -ten Spalte die für das -te Produkt benötigte Rohstoffmenge stehen muss.

b) Die benötigte Rohstoffmenge ist

c) Es geht um das lineare Gleichungssystem

das wir zunächst ohne Berücksichtigung der Tatsache lösen, dass nur nichtnegative Tupel sinnvoll interpretiert werden können. Wir ziehen vom -fachen der dritten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile ab und erhalten

Jetzt ziehen wir von der dritten Zeile das Doppelte der ersten Zeile ab und erhalten

Mit

erhalten wir die eindeutige Lösung

und

Mit

erhalten wir die eindeutige Lösung

und

Alle Lösungen des linearen Gleichungssystems haben somit die Form

mit . Wegen der ersten Zeile muss sein und damit ist auch die vierte Zeile erfüllt. Die zweite Zeile führt auf die Bedingung

also

Die dritte Zeile führt auf die Bedingung

also

Damit alle Einträge nichtnegativ sind, muss der Parameter aus

gewählt werden.


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Wir betrachten die Menge

die mit der stellenweisen Addition von Funktionen eine kommutative Gruppe ist. Auf dieser Menge bildet die Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine assoziative Verknüpfung mit der Identität als neutralem Element.

  1. Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form

    gilt.

  2. Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form

    nicht gilt.


Lösung

  1. Es ist
    für alle , somit ist

    für beliebige .

  2. Es sei die Quadratabbildung, also

    und es sei

    die identische Abbildung, also

    Dann ist einerseits

    und andererseits

    Somit ist


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und seien Untervektorräume von , deren Summe ergibt. Zeige, dass diese Summe genau dann direkt ist, wenn die Dimensionsbeziehung

gilt.


Lösung

Sei zunächst die Summe direkt. Wir führen Induktion über , wobei der Induktionsanfang klar ist. Sei die Dimensionsaussage für ein schon bewiesen, und es liegen Untervektorräume vor. Die ersten Untervektorräume davon erfüllen dann ebenfalls die Durchschnittsbedingung, d.h. ihre Summe ist direkt und es gilt nach Induktionsvoraussetzung

Da auch

ist, folgt nach Fakt ***** die Gleichung

Zum Beweis der Umkehrung nehmen wir an, dass

ist für ein . Wir wenden Fakt ***** auf und an und erhalten

Somit kann die Dimensionsbedingung nicht gelten.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.


Lösung

Wir betrachten das kommutative Diagramm

Da die Koordinatenabbildungen biljektiv sind, ist genau dann surjektiv, wenn surjektiv ist. Der Bildvektor des -ten Standardvektors unter ist die -te Spalte von und der Bildraum zu ist der von den Spalten erzeugte Untervektorraum. Somit ist die Surjektivität äquivalent dazu, dass die Spalten ein Erzeugendensystem des bilden.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die drei reellen Matrizen

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.


Lösung

Zur Abkürzung sei

Es ist

und dies ist die dritte der angeführten Matrizen. Ferner ist

Daher sind sämtliche Produkte, die man aus den drei Matrizen bilden kann, wieder eine der Matrizen. Die Matrizenmultiplikation ist also eine Verknüpfung auf der gegebenen Menge. Die Verknüpfung ist assoziativ, da dies ganz allgemein für die Matrizenmultiplikation gilt. Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Verknüpfung, und nach obiger Rechnung sind und invers zueinander.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Determinantenmultiplikationssatz für den Spezialfall, wo die linke der beteiligten Matrizen eine Diagonalmatrix ist.


Lösung Determinantenmultiplikationssatz/Diagonalmatrix/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

mit Hilfe der Cramerschen Regel.


Lösung

Es ist

und


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über und sei ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ein Teiler von . Zeige, dass ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors in durch seine Vielfachheit in beschränkt ist.


Lösung

Wir arbeiten mit normierten Polynomen und schreiben

mit verschiedenen und führen Induktion über den Grad von . Die Teilbarkeitsbeziehung bedeutet die Existenz eines Polynoms mit

Damit ist

Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper gilt oder . Nach Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) bedeutet dies, dass oder von geteilt wird. Im zweiten Fall schreiben wir

Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft im Polynomring folgt daraus

und wir können auf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Im ersten Fall ist

woraus sich

und somit

ergibt. Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf bedeutet, dass in Linearfaktoren zerfällt und dass nur Linearfaktoren aus mit einer Vielfachheit vorkommen, die durch die Vielfachheit von beschränkt ist. Da die Vielfachheiten zu in und in für übereinstimmen und die Vielfachheit von sich um reduziert, dies aber auch beim Übergang von nach zutrifft, folgt die Aussage.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.


Lösung

Wenn ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann enthält ein Element , das eine Einheit ist. Damit ist und damit .

Sei umgekehrt ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann nicht der Nullring sein. Sei nun ein von verschiedenes Element in . Das von erzeugte Hauptideal ist und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass ist. Das bedeutet also für ein , so dass eine Einheit ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige direkt (ohne charakteristisches Polynom), dass ein Diagonalelement von ein Eigenwert zu sein muss.


Lösung

Es sei ein Diagonalelement und es sei der kleinste Index mit

Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor

mit

gibt. Wir zeigen die Existenz eines solchen Vektors mit

und

für . Damit sind die -ten Zeilen zu für erfüllt. Die unteren Zeilen werden (wir schreiben

und ) zum Gleichungssystem

bzw. zum linearen Gleichungssystem

Die letzte Gleichung ist stets, also insbesondere mit erfüllt. Da

ist für , ist in diesem Gleichungssystem in Dreiecksgestalt der Anfangsterm

für von verschieden. Nach Satz 5.10 kann man also zu einer Lösung ergänzen.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

über diagonalisierbar ist.


Lösung

Es ist

und

Daher sind und Eigenvektoren zu den Eigenwerten bzw. . Somit bilden sie eine Basis aus Eigenvektoren und daher ist diagonalisierbar.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die jordansche Normalform.


Lösung

Da trigonalisierbar ist, können wir Satz 26.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) anwenden. Es gibt also eine direkte Summenzerlegung

wobei die Haupträume -invariant sind. Indem wir die Situation auf den einzelnen Haupträumen analysieren, können wir davon ausgehen, dass nur einen Eigenwert besitzt und

ist. Es ist dann

nilpotent. Daher gibt es nach Korollar 27.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) eine Basis, bezüglich der die Gestalt

besitzt, wobei die gleich oder gleich sind. Bezüglich dieser Basis hat

die Gestalt


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den -Vektorräumen bzw. . Zeige, dass zu einer bijektiven affin-linearen Abbildung

auch die Umkehrabbildung affin-linear ist.


Lösung

Nach Voraussetzung gibt es eine lineare Abbildung

mit

Aus

folgt

was aufgrund der Bijektivität von direkt

also

bedeutet. Daher ist injektiv. Zu gibt es zu einem Punkt wegen der Surjektivität von ein mit

Daher ist

und ist auch surjektiv. Mit der linearen Umkehrfunktion gilt

für und . Die bijektive Abbildung ergibt nämlich die Identität