Kurs:Lineare Algebra/Teil I/21/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 4 5 7 4 3 1 8 4 3 3 4 3 4 2 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Vereinigung zu einer Mengenfamilie , , in einer Grundmenge .
  2. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  3. Ein Untervektorraum in einem -Vektorraum .
  4. Die Spur zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .
  5. Eine Fahne in einem -dimensionalen -Vektorraum .
  6. Die baryzentrischen Koordinaten zu einem Punkt in einem affinen Raum über dem -Vektorraum bezüglich einer affinen Basis , .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für eine Basis in einem -Vektorraum .
  2. Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.
  3. Der Satz über die Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen
    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und

ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?


Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Der -Vektorraum sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme, welche der folgenden Teilmengen unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.

  1. Die Punktmenge .
  2. Die Gerade
  3. Das Achsenkreuz
  4. Die Hyperbel
  5. Die Parabel


Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)

Es sei eine -Matrix über dem Körper mit dem Rang .

  1. Zeige, dass es eine -Matrix und eine -Matrix , beide mit dem Rang , mit gibt.
  2. Sei . Zeige, dass es nicht möglich ist, mit einer -Matrix und einer -Matrix zu schreiben.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen. Bestimme die Anzahl der nicht invertierbaren -Matrizen über .


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen -Vektorraum und eine lineare Abbildung , die surjektiv, aber nicht injektiv ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, abhängig von , den Rang der Matrix


Aufgabe * (8 (3+3+2) Punkte)

  1. Beweise den Determinantenmultiplikationssatz

    für den Fall, dass eine Elementarmatrix ist.

  2. Beweise den Determinantenmultiplikationssatz

    für den Fall, dass ein Produkt aus Elementarmatrizen ist.

  3. Beweise den Determinantenmultiplikationssatz mit Hilfe von (2).


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme im Polynomring über einem Körper die invertierbaren Elemente, also Polynome , für die es ein weiteres Polynom mit gibt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

eine quadratische Gleichung über einem Körper , und es sei eine Lösung davon. Zeige, dass auch eine Lösung der Gleichung ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Diagonalisierbarkeit und Eigenräume.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien und Vektorräume über der gleichen Dimension und es seien

und

Fahnen in bzw. . Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

mit

für alle gibt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die Matrix

nilpotent ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Matrizen

zueinander ähnlich sind.