Kurs:Lineare Algebra/Teil I/21/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	4	5	7	4	3	1	8	4	3	3	4	3	4	2	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung zu einer Mengenfamilie ${}M_{i}$, ${}i\in I$, in einer Grundmenge ${}G$.
2. Die Fakultät einer natürlichen Zahl ${}n$.
3. Ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.
4. Die Spur zu einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
5. Eine Fahne in einem ${}n$- dimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
6. Die baryzentrischen Koordinaten zu einem Punkt ${}P\in E$ in einem affinen Raum ${}E$ über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$ bezüglich einer affinen Basis ${}P_{i}$, ${}i\in I$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
2. Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.
3. Der Satz über die Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Der ${}\mathbb {R}$- Vektorraum ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme, welche der folgenden Teilmengen unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.

1. Die Punktmenge ${}\{\left(0,\,0\right),\left(0,\,1\right),\left(1,\,0\right),\left(1,\,1\right)\}$.
2. Die Gerade

   ${\left\{\left(x,\,y\right)\mid y=3x\right\}}.$

3. Das Achsenkreuz

   ${\left\{\left(x,\,y\right)\mid x=0{\text{ oder }}y=0\right\}}.$

4. Die Hyperbel

   ${\left\{\left(x,\,y\right)\mid xy=1\right\}}.$

5. Die Parabel

   ${\left\{\left(x,\,y\right)\mid y=x^{2}\right\}}.$

Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix über dem Körper ${}K$ mit dem Rang ${}r$.

1. Zeige, dass es eine ${}r\times n$-Matrix ${}A$ und eine ${}m\times r$-Matrix ${}B$, beide mit dem Rang ${}r$, mit ${}M=B\circ A$ gibt.
2. Sei ${}s<r$. Zeige, dass es nicht möglich ist, ${}M=B\circ A$ mit einer ${}s\times n$-Matrix ${}A$ und einer ${}m\times s$-Matrix ${}B$ zu schreiben.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen. Bestimme die Anzahl der nicht invertierbaren ${}2\times 2$- Matrizen über ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$, die surjektiv, aber nicht injektiv ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, abhängig von ${}a,b,c,d$, den Rang der Matrix

${\begin{pmatrix}a&4b&a-c&d\\0&b&b^{2}&b^{3}\\0&0&c^{2}&a^{2}\\0&0&0&d\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (8 (3+3+2) Punkte)

1. Beweise den Determinantenmultiplikationssatz

   ${}\det \left(A\circ B\right)=\det \left(A\right)\det \left(B\right)\,$

   für den Fall, dass ${}A$ eine Elementarmatrix ist.

2. Beweise den Determinantenmultiplikationssatz

   ${}\det \left(A\circ B\right)=\det \left(A\right)\det \left(B\right)\,$

   für den Fall, dass ${}A$ ein Produkt aus Elementarmatrizen ist.

3. Beweise den Determinantenmultiplikationssatz mit Hilfe von (2).

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ die invertierbaren Elemente, also Polynome ${}P$, für die es ein weiteres Polynom ${}Q$ mit ${}PQ=1$ gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

${}x^{2}+px+q=0\,$

eine quadratische Gleichung über einem Körper ${}K$, und es sei ${}r\neq 0$ eine Lösung davon. Zeige, dass auch ${}{\frac {q}{r}}$ eine Lösung der Gleichung ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Diagonalisierbarkeit und Eigenräume.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}71894$ und ${}45327$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der gleichen Dimension ${}n$ und es seien

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

und

${}0=W_{0}\subset W_{1}\subset \ldots \subset W_{n-1}\subset W_{n}=W\,$

Fahnen in ${}V$ bzw. ${}W$. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

mit

${}\varphi (V_{i})=W_{i}\,$

für alle ${}i=0,1,\ldots ,n$ gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die Matrix

${\begin{pmatrix}1&7\\3&21\end{pmatrix}}$

nilpotent ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Matrizen

$M={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,N={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

zueinander ähnlich sind.