Kurs:Lineare Algebra/Teil I/29/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 1 5 3 8 3 5 4 3 6 2 4 2 0 3 3 60




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Körper .
  2. Ein inverses Element zu einem Element bezüglich einer Verknüpfung

    mit einem neutralen Element .

  3. Ähnliche Matrizen .
  4. Eine Determinantenfunktion

    wobei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper ist.

  5. Die Permutationsgruppe zu einer Menge .
  6. Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Ein Körper ist ein kommutativer Ring, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element in ein multiplikatives Inverses besitzt.
  2. Zu heißt inverses Element, wenn die Gleichheit

    gilt.

  3. Die Matrizen heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix mit gibt.
  4. Die Abbildung

    heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

    1. ist multilinear.
    2. ist alternierend.
  5. Man nennt die Menge

    der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu .

  6. Ein Element heißt ein Eigenwert zu , wenn es einen von verschiedenen Vektor mit

    gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Elimination auf Dreiecksgestalt für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper .
  2. Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung mit Linearformen.
  3. Der Satz von Cayley-Hamilton.


Lösung

  1. Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper lässt sich durch elementare Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform
    überführen, bei dem alle Startkoeffizienten von verschieden sind.
  2. Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über , wobei endlichdimensional sei. Es sei

    eine lineare Abbildung. Dann gibt es Vektoren und Linearformen auf mit

  3. Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Es sei

    das charakteristische Polynom zu . Dann gilt


Aufgabe (2 Punkte)

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie , die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?


Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass als erstes eine U-Bahn nach Konsau kommt, muss viermal so groß sein wie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine U-Bahn nach Heinsheim kommt. Deshalb muss in einem Zehn-Minuten-Intervall acht Minuten lang eine U-Bahn nach Konsau die nächste sein (und zwei Minuten lang eine U-Bahn nach Heinsheim). Die U-Bahnen nach Konsau fahren also etc. ab.


Aufgabe (1 Punkt)

Was bedeutet das Wort „linear“ in der Linearen Algebra?


Lösung Lineare Algebra/Linear/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

  1. Löse das folgende Minisudoku
  2. Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
  3. Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?


Lösung

  1. Wir gehen von

    aus. In der dritten Stelle der zweiten Zeile muss eine sein und somit muss rechts oben eine stehen. Dies ergibt

    An der vierten Stelle der dritten Zeile muss eine stehen. In der vierten Zeile muss an der dritten Stelle eine und somit in der vierten Zeile an der ersten Stelle eine stehen. Dies ergibt

    Dies erzwingt

    An der zweiten Stelle der ersten Zeile muss eine stehen, dies ergibt dann die eindeutige Lösung

    1. Direkter Beweis: Durch Betrachten der schon gefundenen Zahlen erschließt man, welche Zahl in ein bestimmtes Feld gesetzt werden muss.
    2. Beweis durch Fallunterscheidung: Man weiß, dass in einem gewissen Feld nur noch zwei Zahlen, sagen wir oder möglich sind. Wenn man nun in beiden Fällen, dass es sich um oder um handelt, jeweils erschließen kann, dass in einem bestimmten anderen Feld die Zahl stehen muss, so steht diese Zahl fest.
    3. Beweis durch Widerspruch: Man weiß, dass in einem gewissen Feld nur noch zwei Zahlen, sagen wir oder möglich sind. Man nimmt nun an, dass es sich um handelt. Wenn man nun erschließen kann, dass sich daraus an irgendeiner Stelle ein Widerspruch ergibt, so kann die Belegung durch nicht gelten und ist richtig.


Aufgabe (3 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der zweiten Gleichung die Variable aus der ersten und dritten Gleichung. Das resultierende System ist

Wir eliminieren nun die Variable , aus der dritten Gleichung

Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist

und

Also ist


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise das Basisaustauschlemma.


Lösung

Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen

und den Vektor als

schreiben. Sei nun beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben


Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung an. Es sei

eine Darstellung der Null. Dann ist
Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere , und wegen ergibt sich . Deshalb ist und daher gilt für alle .


Aufgabe (3 Punkte)

Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit (16 Stunden pro Tag) zu verteilen. Ihr Kalorienbedarf liegt bei kcal und Gramm Heidelbeeren enthalten kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?


Lösung

Heidi muss pro Tag mal Gramm Heidelbeeren essen, also Kilogramm. Wegen sind das Heidelbeeren pro Tag. Die Stunden haben Sekunden. Es ist . Sie muss also alle Sekunden eine Heidelbeere essen.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme eine Basis des Urbildes von

zur linearen Abbildung


Lösung

Wir betrachten das inhomogene lineare Gleichungssystem

Wir ersetzen die dritte Gleichung durch -4I-7II+III und erhalten das äquivalente System

Daraus sieht man insbesondere, dass die Lösungsmenge zweidimensional ist. Man sieht außerdem, dass der Kern der Abbildung selbst eindimensional ist und aus der Dimensionsformel folgt, dass die Abbildung surjektiv ist, insbesondere liegt also jeder Punkt von im Bild. Um linear unabhängige Elemente der Lösungsmenge zu erhalten setzen wir zunächst und und erhalten ,

und .

Wenn wir und setzen, erhalten wir ,

und .

Eine Basis des Urbildes ist daher durch die beiden Vektoren und gegeben.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Zeige, dass und genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.


Lösung

Wir nehmen zunächst an, dass und isomorph sind, dass also eine bijektive lineare Abbildung
existiert.

Sei eine Basis von . Aufgrund der Surjektivität von existieren Elemente in mit .

Sei eine Darstellung der 0. Dann ist

weil linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass linear unabhängig sind und wegen Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))  (4) ist die Dimension von damit mindestens so hoch wie die von . Mithilfe der Umkehrabbildung zu können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von mindestens so hoch ist, wie die von . Also sind die Vektorräume gleichdimensional.

Nehmen wir umgekehrt an, dass die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen, und seien Basen von und von gegeben. Dann werden durch die Zuordnungen bzw. gemäß Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) lineare Abbildungen definiert. Diese sind zueinander invers (man kann dies auf Basen nachprüfen und auf den gewählten Basen ist dies trivial), also sind und isomorph.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen


Lösung

Die Determinante von ist

und die Determinante von ist

Das Produkt der beiden Matrizen ist

Die Determinante davon ist

Dies stimmt mit dem Produkt der beiden einzelnen Determinanten überein.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.


Lösung

Sei . Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien

Die Koeffizienten des Produktes sind

Bei ist dies , da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der -ten Spalte handelt. Sei und es sei die Matrix, die aus entsteht, wenn man in die -te Spalte durch die -te Spalte ersetzt. Wenn man nach der -ten Spalte entwickelt, so ist dies

Also sind diese Koeffizienten , und damit stimmt die erste Gleichung.
Die zweite Geichung ergibt sich ebenso, wobei man die Entwicklung der Determinante nach den verschiedenen Zeilen ausnutzen muss.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

Bestimme .


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und seien lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von bestimmen?


Lösung

Das kann man nicht. Wir betrachten die beiden nilpotenten -Matrizen

Ihr charakteristisches Polynom ist jeweils . Ihre Summe ist

und das charakteristische Polynom davon ist . Wenn man dagegen zweimal nimmt, also , so ist dies ebenfalls nilpotent, und das charakteristische Polynom ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Lösung

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 wird mit dem Euklidischen Algorithmus wie folgt berechnet:

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 ist somit 21.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.


Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Den vorderen Faktor schreiben wir als

Daran erkennt man, dass dieses Polynom keine reelle Nullstelle besitzt und somit nicht in Linearfaktoren zerfällt. Also ist die Matrix nicht trigonalisierbar und somit auch nicht diagonalisierbar.


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die affine Gerade

als Urbild über einer affinen Abbildung .


Lösung

Der Richtungsvektor gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen und . Daher machen wir den Ansatz

Für den Aufpunkt ergibt sich die Bedingung

also ist und . Somit ist

eine affine Abbildung mit Urbild über 1 wie gewünscht.