Kurs:Lineare Algebra/Teil I/37/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 7 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Vereinigung} {} der Mengen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Der \stichwort {Graph} {} zu einer Abbildung \maabb {F} { L } { M } {.}
}{Die
\stichwort {Übergangsmatrix} {}
zum Basiswechsel von einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einer weiteren Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ u }
}
{ = }{ u_1 , \ldots , u_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Ein \stichwort {Eigenvektor} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} { V } { V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Eine \stichwort {trigonalisierbare} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} { V } { V } {,} wobei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ist.
}{Eine \stichwort {affine Basis} {} in einem \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} $E$ über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L \cup M
}
{ =} { { \left\{ x \mid x \in L \text{ oder } x \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt die Vereinigung der beiden Mengen.
}{Man nennt
\mathdisp {\Gamma_F= { \left\{ (x,F(x)) \mid x \in L \right\} } \subseteq L \times M} { }
den Graphen der Abbildung $F$.
}{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den Koeffizienten
\mathl{c_{ij} \in K}{.} Dann nennt man die
\mathl{n \times n}{-}\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} {(c_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ u }$.
}{Ein Element
\mathbed {v \in V} {}
{v \neq 0} {}
{} {} {} {,}
heißt ein Eigenvektor von $\varphi$,
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ =} { \lambda v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem gewissen
\mathl{\lambda \in K}{} gilt.
}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} { V } { V
} {}
heißt
trigonalisierbar,
wenn sie bezüglich einer geeigneten
\definitionsverweis {Basis}{}{}
durch eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{}
beschrieben wird.
}{Eine Familie von Punkten
\mathbed {P_i \in E} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
in einem
\definitionsverweis {affine Raum}{}{}
$E$ über einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ heißt eine
affine Basis
von $E$, wenn zu einem
\mathl{i_0 \in I}{} die Vektorfamilie
\mathbeddisp {\overrightarrow{ P_{i_0} P_i }} {}
{i \in I \setminus \{ i_0\}} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Basisaustauschsatz} {.}}{Der Satz über die \stichwort {Dimension der Homomorphismenräume} {.}}{Der \stichwort {Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms} {} über einem Körper $K$.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis
\mathdisp {b_1 , \ldots , b_n} { . }
Ferner sei
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k} { }
eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in $V$. Dann gibt es eine Teilmenge
\mathl{J=\{ i_1, i_2 , \ldots , i_k \} \subseteq \{1 , \ldots , n \} = I}{} derart, dass die Familie
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k, b_i, i \in I \setminus J} { , }
eine Basis von $V$ ist.}{Es sei $K$ ein Körper und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
endlichdimensionale $K$-Vektorräume mit den Dimensionen
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( \operatorname{Hom} { \left( V , W \right) } \right) }
}
{ =} { nm
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Um eine Bevölkerung gegen ein bestimmtes Virus zu schützen, braucht man eine Herdenimmunität von $70 \%$. Eine Impfung führt zu $95 \%$ zur Immunität. Wie viel Prozent der Bevölkerung müssen geimpft werden, um die Herdenimmunität zu erreichen?
}
{
Es sei $x$ der Anteil der Bevölkerung, der geimpft werden muss, um die Herdenimmunität zu erreichen. Es gilt dann die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x \cdot 0,95
}
{ =} { 0,7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ 0,7 }{ 0,95 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 7 }{ 10 } } }{ { \frac{ 19 }{ 20 } } } }
}
{ =} { { \frac{ 14 }{ 19 } }
}
{ =} { 0, 7368 ...
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \cong} { 0, 74
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
also ca. $74 \%$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es seien $n$ Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel \zusatzklammer {in Abhängigkeit von $n$} {} {} für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.
}
{
Die maximale Anzahl der Schnittpunkte ist
\mathl{{ \frac{ n(n-1) }{ 2 } }}{.} Dies beweisen wir durch Induktion über $n$. Bei keiner oder einer Geraden gibt es keinen Schnittpunkt, die Formel ist also richtig, und dies sichert den Induktionsanfang. Es sei die Aussage nun für $n$
Geraden bewiesen, und es komme eine neue Gerade hinzu. Diese neue Gerade hat mit jeder der vorgegebenen Geraden höchstens einen Schnittpunkt. Wenn die neue Gerade einen Richtungsvektor besitzt, der von allen Richtungsvektoren der $n$ Geraden verschieden ist, so besitzt die neue Gerade mit jeder alten Geraden einen Schnittpunkt. Da es unendlich viele Richtungsvektoren gibt, kann man stets eine neue Richtung für die neue Gerade wählen. Indem man die neue Gerade parallel verschiebt, kann man auch erreichen, dass die neuen Schnittpunkte von den alten Schnittpunkten verschieden sind. Es kann also erreicht werden, dass genau $n$ Schnittpunkte hinzukommen. Wenn die $n$ Geraden die maximale mögliche Anzahl von Schnittpunkten haben, so hat die neue Geradenkonfiguration genau
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ n(n-1) }{ 2 } } +n
}
{ =} { { \frac{ n(n-1)+2n }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ n(n+1) }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Schnittpunkte
\zusatzklammer {und wenn die $n$ Geraden weniger als \mathlk{{ \frac{ n(n-1) }{ 2 } }}{} Schnittpunkte haben, so hat auch die neue Geradenkonfiguration weniger als \mathlk{{ \frac{ (n+1)n }{ 2 } }}{} Schnittpunkte} {} {,}
was den Induktionsschritt beweist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es seien
\mathkor {} {(M,*)} {und} {(N, \circ)} {}
Mengen mit Verknüpfungen und es sei
\maabbdisp {\varphi} { M } { N
} {}
eine mit den Verknüpfungen verträgliche
\definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{,}
es gelte also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (x *y)
}
{ =} { \varphi(x) \circ \varphi(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Verknüpfung auf $M$ sei assoziativ. Zeige, dass auch die Verknüpfung auf $N$ assoziativ ist.
}
{
Es seien
\mathl{r,s,t}{} Elemente in $N$. Wegen der Surjektivität gibt es Elemente
\mathl{x,y,z \in M}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi (x)
}
{ = }{ r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (y)
}
{ = }{ s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (z)
}
{ = }{t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist unter Verwendung der Assoziativität von $*$ und der Verträglichkeit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{r \circ (s \circ t)
}
{ =} { \varphi (x) \circ ( \varphi(y) \circ \varphi (z))
}
{ =} { \varphi (x) \circ \varphi(y * z)
}
{ =} { \varphi (x * (y*z))
}
{ =} { \varphi ( (x*y)*z)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \varphi (x * y) \circ \varphi (z)
}
{ =} { ( \varphi(x) \circ \varphi (y)) \circ \varphi (z)
}
{ =} { (r \circ s) \circ t
}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge
\mathl{21,7}{} Meter beträgt. Dieser soll auf die Weltbevölkerung
\zusatzklammer {$8$ Milliarden} {} {}
gleichmäßig aufgeteilt und als Goldwürfel ausgeteilt werden. Welche Seitenlänge hat der Würfel, den jeder Mensch bekommt?
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{8 000 000 000
}
{ =} { 2 000^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
deshalb ist die Seitenlänge der zu verteilenden Würfel gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 21,7 }{ 2000 } }
}
{ =} { 0,01085
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mathl{1,085}{} Zentimeter.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^n a_{ij} 0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ i
}
{ =} { 1 , \ldots , m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist das Nulltupel
\mathl{(0 , \ldots , 0)}{} eine Lösung. Es seien
\mathl{\left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} und
\mathl{\left( y_1 , \, \ldots , \, y_n \right)}{} Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dann für jedes $i$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^n a_{ij} { \left( s x_j \right) }
}
{ =} { s \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n a_{ij} x_j \right) }
}
{ =} { s \cdot 0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Entsprechend ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{j = 1}^n a_{ij} { \left( x_j +y_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n { \left( a_{ij} x_j +a_{ij} y_j \right) }
}
{ =} { { \left( \sum_{j = 1}^n a_{ij} x_j \right) } + { \left( \sum_{j = 1}^n a_{ij} x_j \right) }
}
{ =} { 0 +0
}
{ =} { 0
}
}
{}
{}{}
für alle $i$. Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.
Der Gesamtlösungsraum ist der Durchschnitt der Lösungsräume zu den einzelnen Gleichungen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Im $\R^3$ seien die beiden
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ s \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\2\\ -2 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { { \left\{ p \begin{pmatrix} 5 \\0\\ 4 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 3 \end{pmatrix} \mid p,q \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Bestimme eine Basis für
\mathl{U \cap V}{.}
}
{
Jeder Vektor aus dem Durchschnitt
\mathl{U \cap V}{} besitzt eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\2\\ -2 \end{pmatrix}
}
{ =} { p \begin{pmatrix} 5 \\0\\ 4 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Koeffiziententupel
\mathl{(s,t,p,q)}{} bilden den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 4 & -5 & -1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -4 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s \\t\\ p\\q \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das wir lösen müssen. Wir ersetzen die zweite Gleichung durch
\mathdisp {II'=-I+3II: \, \, 2 t +5p+ 4 q = 0} { }
und die dritte Gleichung durch
\mathdisp {III'= III + II':\, \, p + q = 0} { . }
Wir wählen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ = }{ - 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sodass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein muss. Dies legt eindeutig $s$ und dann auch $t$ fest. Daher ist der Durchschnitt
\mathl{U \cap V}{} eindimensional und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 5 \\0\\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\1\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist ein Basisvektor von
\mathl{U \cap V}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation.
}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {kommutative Diagramm}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} K^p & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } } ( \psi) }{\longrightarrow} & K^n & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi) }{\longrightarrow} & K^m & \\ \!\!\!\!\! \Psi_{ \mathfrak{ u } } \downarrow & & \!\!\!\!\! \Psi_{ \mathfrak{ v } } \downarrow & & \downarrow \Psi_{ \mathfrak{ w } } \!\!\!\!\! & & \\ U & \stackrel{ \psi }{\longrightarrow} & V & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & W & \!\!\!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
wobei die Kommutativität auf der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \Psi_ \mathfrak{ v }
}
{ =} { \Psi_ \mathfrak{ w } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus
Lemma 10.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
beruht. Dabei sind die
\zusatzklammer {inversen} {} {}
\definitionsverweis {Koordinatenabbildungen}{}{}
$\psi_ \mathfrak{ u }, \psi_ \mathfrak{ v }, \psi_ \mathfrak{ w }$ jeweils bijektiv, und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)
}
{ =} { \Psi_ \mathfrak{ w }^{-1} \circ \varphi \circ \Psi_ \mathfrak{ v }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist insgesamt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi \circ \psi)
}
{ =} { \Psi_ \mathfrak{ w }^{-1} \circ ( \varphi \circ \psi) \circ \Psi_ \mathfrak{ u }
}
{ =} { { \left( \Psi_ \mathfrak{ w }^{-1} \circ \varphi \right) } \circ { \left( \Psi_ \mathfrak{ v } \circ \Psi_ \mathfrak{ v }^{-1} \right) } \circ { \left( \psi \circ \Psi_ \mathfrak{ u } \right) }
}
{ =} { { \left( \Psi_ \mathfrak{ w }^{-1} \circ \varphi \circ \Psi_ \mathfrak{ v } \right) } \circ { \left( \Psi_ \mathfrak{ v }^{-1} \circ \psi \circ \Psi_ \mathfrak{ u } \right) }
}
{ =} { M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi ) \circ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } } ( \psi)
}
}
{}
{}{,}
wobei hier überall die Abbildungsverknüpfung steht. Nach
Aufgabe 10.21 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
stimmt die letzte Verknüpfung mit dem Matrixprodukt überein.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und es seien
\mathl{L_1 , \ldots , L_m}{}
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
auf $V$. Zeige, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{i = 1}^m \operatorname{kern} L_i
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn die
\mathl{L_1 , \ldots , L_m}{} ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
des
\definitionsverweis {Dualraums}{}{}
${ V }^{ * }$ bilden.
}
{
Es sei
\mathl{L_1 , \ldots , L_m}{} ein Erzeugendensystem von ${ V }^{ * }$. Wenn der Durchschnitt der Kerne nicht der Nullraum wäre, so gäbe es einen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ \bigcap_{i = 1}^m \operatorname{kern} L_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 14.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
gibt es eine Linearform $f$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(v)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die $L_i$ ein Erzeugendensystem sind, kann man aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { \sum_{i= 1}^m a_iL_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, und dann erhält man den Widerspruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(v)
}
{ =} { \sum_{i= 1}^m a_iL_i (v)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es gelte nun
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{i = 1}^m \operatorname{kern} L_i
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und sei $f$ eine beliebige Linearform. Wir betrachten die
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{}
\maabbeledisp {L = L_1 \times \cdots \times L_m} { V } { K^m
} { v } { \left( L_1(v) , \, \ldots , \, L_m(v) \right)
} {.}
Nach Voraussetzung ist deren Kern gleich $0$. Daher ist wegen
Lemma 11.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
diese Abbildung injektiv und der Bildraum
\mathl{L(V)}{} ist ein Untervektorraum von $K^m$, der zu $V$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
ist. Die Linearform $f$ kann man als eine Linearform auf $L(V)$ auffassen, die wir $\tilde{f}$ nennen. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq} { K^m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {direktes Komplement}{}{}
von $L(V)$. Über die
\definitionsverweis {lineare Projektion}{}{}
$p_{\varphi(V)}$ kann man $\tilde{f}$ zu einer Linearform auf $K^m$ fortsetzen. Diese wird durch einen Zeilenvektor
\mathl{\left( a_1 , \, \ldots , \, a_m \right)}{} beschrieben. Daher gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a_1L_1 + \cdots + a_mL_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {inversen Matrix}{}{}
zur reellen Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \\ -3 & 2 & 4 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Die Determinante von $M$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { -30 - (-10) -3 (-10)
}
{ =} { 10
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Determinante der inversen Matrix ist daher
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{} nach
Satz 17.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & b \end{pmatrix} \mid a,b \in \R , \, b \neq 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der Gruppe der reellen
\definitionsverweis {invertierbaren}{}{}
$2 \times 2$-Matrizen ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & c \\ 0 & d \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & c+ ad \\ 0 & bd \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ bd
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Diese Menge ist also abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich die Einheitsmatrix. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & - { \frac{ a }{ b } } \\ 0 & { \frac{ 1 }{ b } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass die inversen Matrizen von der gleichen Bauart sind. Es liegt also eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe vor.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über Permutationen und Transpositionen.
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Menge $M$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \# \left( M \right) }
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nichts zu zeigen, sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \# \left( M \right) }
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Identität ist das leere Produkt aus Transpositionen. Es sei also $\pi$ nicht die Identität, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi(x)
}
{ = }{ y
}
{ \neq }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $\tau$ die Transposition, die $x$ und $y$ vertauscht. Dann ist $y$ ein
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
von $\pi \tau$, und man kann $\pi \tau$ auffassen als eine Permutation auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M'
}
{ = }{ M \setminus \{y\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach Induktionsvoraussetzung gibt es dann Transpositionen $\tau_j$ auf $M'$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\pi \tau
}
{ = }{ \prod_j \tau_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $M'$. Dies gilt dann auch auf $M$, und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ = }{ { \left( \prod_j \tau_j \right) } \tau
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $d$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ = }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei $a$ eine Nullstelle von $P$
\zusatzklammer {falls $P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig} {} {.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ Q(X-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
und $Q$ hat den Grad
\mathl{d-1}{,} sodass wir auf $Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom $Q$ hat also maximal
\mathl{d-1}{} Nullstellen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(b)
}
{ = }{ Q(b)(b-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies kann nach
Satz . (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (5)
nur dann $0$ sein, wenn einer der Faktoren $0$ ist, sodass eine Nullstelle von $P$ gleich $a$ ist oder aber eine Nullstelle von $Q$ ist. Es gibt also maximal $d$ Nullstellen von $P$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (1+2)}
{
\aufzaehlungzweiabc{Finde eine quadratische Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 +px+q
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p,q
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für die $17$ die einzige Lösung ist.
}{Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 +px+q
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p,q
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für die $17$ eine Lösung ist.
}
}
{
Für jede ganze Zahl $k$ ist generell
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x-17)(x-k)
}
{ =} { x^2 -(k+17)x +17k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies führt zu einer quadratischen Gleichung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{-(k+17)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ 17k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn man darin $x$ gleich $17$ setzt, ergibt sich $0$ wegen dem ersten Faktor. Somit sind unendlich viele quadratische Gleichungen mit Koeffizienten aus $\Z$ gefunden, die $17$ als Lösung besitzen. Wenn man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{k
}
{ =} { 17
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
setzt, so erhält man die quadratische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-17)(x-17)
}
{ =} { x^2-34x +289
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für diese ist nur $17$ eine Lösung.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (1+3+2)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei $K[X]_{\leq d}$ der
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
aller Polynome vom Grad $\leq d$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichne
\mathl{\operatorname{Ev}_z}{} die Auswertung an $z$, also die Abbildung
\maabbeledisp {\operatorname{Ev}_z} { K[X]_{\leq d} } { K
} { P} { P(z)
} {.}
\aufzaehlungdreiabc{Zeige, dass
\mathl{\operatorname{Ev}_z}{}
\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}{Es seien
\mathl{d+1}{} Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_1,z_2 , \ldots , z_{d+1}
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass
\mathl{\operatorname{Ev}_{z_1 } , \ldots , \operatorname{Ev}_{z_{d+1} }}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des
\definitionsverweis {Dualraumes}{}{}
\mathl{{ \left( K[X]_{\leq d} \right) }^{ * }}{} ist.
}{Zeige, dass nicht jede Linearform auf
\mathl{K[X]_{\leq d}}{} eine Auswertung an einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{
\aufzaehlungdreiabc{Für Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ K[X]_{\leq d }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Skalare
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{Ev}_z (rP+sQ)
}
{ =} { (rP+sQ) (z)
}
{ =} { r P(z) + s Q(z)
}
{ =} { r \operatorname{Ev}_z (P) + s\operatorname{Ev}_z (Q)
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
was die Linearität bedeutet.
}{Wir betrachten die Familie von Polynomen vom Grad $d$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P_j
}
{ =} { (X-z_1) \cdots (X-z_{j-1}) (X-z_{j+1}) \cdots (X-z_{d+1})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Die Evaluationen
\mathl{\operatorname{Ev}_{z_i}}{} haben an diesen Polynomen den Wert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Ev}_{z_i} (P_j)
}
{ =} { P_j(z_i)
}
{ =} { \begin{cases} 0 , \text{ falls } i \neq j \, , \\ \prod_{k \neq i} (z_i-z_k) \neq 0 , \text{ falls } i = j \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Mit
Lemma 14.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
folgt, dass die gegebenen $d+1$ Auswertungen linear unabhängig sind. Da der Raum $K[X]_{\leq d}$ die Dimension $d+1$ besitzt und der Dualraum nach
Korollar 13.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ebenfalls diese Dimension hat, bilden die Auswertungen nach
Korollar 8.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
eine Basis des Dualraumes.
}{Wir betrachten die Nullform auf
\mathl{K[X]_{\leq 1}}{.} Zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein lineares Polynom, beispielsweise
\mathl{X-w+1}{,} das an der Stelle $w$ nicht den Wert $0$ besitzt. Daher kann die Nullform nicht die Auswertung an einem Punkt sein.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ \varphi }
}
{ =} { P \cdot Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Faktorzerlegung des
\definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
in
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der zugehörigen
\definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { \operatorname{kern} P(\varphi) \oplus \operatorname{kern} Q(\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianten Untervektorräumen}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $\varphi$-invarianter Untervektorraum. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left( U \cap \operatorname{kern} P(\varphi) \right) } \oplus { \left( U \cap \operatorname{kern} Q(\varphi) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Da $U$ invariant unter $\varphi$ ist, ist nach
Aufgabe 23.31 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
$U$ auch invariant unter $P(\varphi)$ für jedes Polynom $P$. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T
}
{ \in }{ K[T]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{SP+TQ
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die es nach
dem Lemma von Bezout
gibt. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { P(\varphi) ( S(\varphi) (v)) + Q(\varphi) (T (\varphi) (v) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Zerlegung von $v$ in die beiden Räume. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { v_1 \oplus v_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Sinne von
Lemma 26.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
Es ist zu zeigen, dass $v_1$ ebenfalls zu $U$ gehört. Dies folgt aber direkt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_1
}
{ =} { P(\varphi) ( S(\varphi) (v))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Invarianz von $U$ bezüglich $(P S)(\varphi)$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über dem
$n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixierter Punkt und es sei
\maabbeledisp {\varphi} { V } { E
} { v } { P+v
} {,}
die zugehörige bijektive Abbildung. Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ und
\mathl{P,P+v_1 , \ldots , P+v_n}{} die zugehörige
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
von $E$. Wie hängen die Koordinaten eines Vektors
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezüglich der Vektorraumbasis mit den
\definitionsverweis {baryzentrischen Koordinaten}{}{}
von $P+v$ bezüglich der affinen Basis zusammen?
}
{
Es seien
\mathl{\left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} die Koordinaten von $v$ bezüglich
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.} Wir behaupten, dass
\mathl{\left( 1- \sum_{i = 1}^n x_i , \, x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} die baryzentrischen Koordinaten von $P+v$ bezüglich
\mathl{P,P+v_1 , \ldots , P+v_n}{} sind.
Der durch diese baryzentrischen Koordinaten gegebene Punkt ist ja
\zusatzklammer {mit $P$ als Startpunkt} {} {}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P + { \left( 1- \sum_{i = 1}^n x_i \right) } \overrightarrow{ P P } + \sum_{i = 1}^n x_i \overrightarrow{ P P+v_i }
}
{ =} { P + \sum_{i = 1}^n x_i v_i
}
{ =} { P+ v
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}