Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Teiltest/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	4	4	4	3	2	3	6	1	3	2	7	2	4	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Kern einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen zwei ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

2. Eine invertierbare ${}n\times n$-Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
3. Der Dualraum zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
4. Die Determinante einer ${}n\times n$- Matrix ${}M$.
5. Die Permutationsgruppe zu einer Menge ${}M$.
6. Der Grad eines Polynoms ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W.$

2. Der Satz über die Dualbasis.
3. Die Leibniz-Formel für die Determinante.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$, die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}2&5\\3&4\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

1. Bestimme das Bild der durch die Gleichung

   ${}3x-7y=0\,$

   gegebenen Geraden.

2. Bestimme das Urbild der durch die Gleichung

   ${}4x-3y=0\,$

   gegebenen Geraden.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, wir betrachten die duch die Matrix

${\begin{pmatrix}2&-1&-5\\-2&-3&1\\0&3&3\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{3}.$

a) Bestimme den Kern von ${}\varphi$.

b) Finde eine Faktorisierung von ${}\varphi$ über ${}K^{2}$, also lineare Abbildungen

$K^{3}{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}K^{2}{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}K^{3}$

mit

${}\varphi =\theta \circ \psi \,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen ${}A,B$ und ${}C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit ${}100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

1. Die Abonnenten von ${}A$ bleiben zu ${}90\%$ bei ${}A$, ${}0\%$ wechseln zu ${}B$, ${}5\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}5\%$ werden Nichtleser.
2. Die Abonnenten von ${}B$ bleiben zu ${}60\%$ bei ${}B$, ${}10\%$ wechseln zu ${}A$, ${}15\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}15\%$ werden Nichtleser.
3. Die Abonnenten von ${}C$ bleiben zu ${}70\%$ bei ${}C$, niemand wechselt zu ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}B$ und ${}20\%$ werden Nichtleser.
4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je ${}10\%$ für ein Abonnement von ${}A,B$ oder ${}C$, die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je ${}20000$ Abonnenten und es gibt ${}40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls ${}100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&3&1\\4&1&2\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine invertierbare obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass die inverse Matrix ${}M^{-1}$ ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ der ${}K$- Vektorraum der linearen Abbildungen von ${}V$ nach ${}W$ und es sei ${}v\in V$ ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung

$F\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W,\,\varphi \longmapsto F(\varphi ):=\varphi (v),$

${}K$-linear ist.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Dr. Eisenbeis hat sich bei „Bauer sucht Frau“ beworben und verbringt die Hofwoche bei Bauer Ernst. Heute muss sie den Stall ausmisten. Im Stall befinden sich drei Kühe, fünf Schweine, ein Esel und zehn Kaninchen. Die Mistmenge (in Kilogramm pro Tag und Tier) ist der folgenden Tabelle zu entnehmen.

Tier	${}Ku$	${}S$	${}E$	${}Ka$
Mist	${}10$	${}5$	${}8$	${}0,1$

a) Wie viel Mist muss ausgemistet werden, wenn alle zwei Tage ausgemistet wird?

b) Erstelle eine Formel, die in Abhängigkeit von der Tieranzahl ${}\left(x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}\right)$ und von der Zeit ${}t$ (in Tagen) die Mistmenge berechnet.

c) Inwiefern liegt in (b) ein linearer Zusammenhang vor?

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei

$\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

eine multilineare Abbildung und es seien ${}v_{1j},\ldots ,v_{m_{j}j}\in V_{j}$ und ${}a_{ij}\in K$. Zeige

${}\Phi {\left(\sum _{i=1}^{m_{1}}a_{i1}v_{i1},\ldots ,\sum _{i=1}^{m_{n}}a_{in}v_{in}\right)}=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{n})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,m_{n}\}}a_{i_{1}1}\cdots a_{i_{n}n}\Phi {\left(v_{i_{1}1},\ldots ,v_{i_{n}n}\right)}\,.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Was ist die Determinante einer Streckung auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$?

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}2&1&3\\0&0&1\\-1&2&1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}5&3&7\\0&4&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das Signum der im Bild gezeigten Permutation (die linke Hand repräsentiere den Definitionsbereich, die rechte Hand den Wertebereich).

Aufgabe * (7 (1+1+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die reelle Matrix

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\,.$

a) Skizziere die Bildvektoren ${}Me_{1}$ und ${}Me_{2}$.

b) Berechne ${}M^{2}$.

c) Berechne ${}M^{4}$ und ${}M^{8}$.

d) Berechne ${}M^{1003}$.

e) Zeige, dass die Potenzen ${}M^{i}$, ${}i=0,1,\ldots ,7$, eine Gruppe mit acht Elementen bilden.

Aufgabe * (2 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=8X^{3}+X-1$ und ${}T=2X^{2}+5$ durch.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ ist, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}z\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es gibt ein Polynom ${}P\in \mathbb {R} [X]$, ${}P\neq 0$, mit ganzzahligen Koeffizienten und mit ${}P(z)=0$.
2. Es gibt ein Polynom ${}Q\in \mathbb {Q} [X]$, ${}Q\neq 0$, mit ${}Q(z)=0$.
3. Es gibt ein normiertes Polynom ${}R\in \mathbb {Q} [X]$ mit ${}R(z)=0$.