Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Teiltest/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	4	4	4	3	2	3	6	1	3	2	7	2	4	5	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Kern einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen zwei ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

2. Eine invertierbare ${}n\times n$-Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
3. Der Dualraum zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
4. Die Determinante einer ${}n\times n$- Matrix ${}M$.
5. Die Permutationsgruppe zu einer Menge ${}M$.
6. Der Grad eines Polynoms ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, über einem Körper ${}K$.

Lösung

1. Man nennt

   ${}\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$

   den Kern von ${}\varphi$.

2. Die Matrix ${}M$ heißt invertierbar, wenn es eine Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

   ${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

   gibt.

3. Unter dem Dualraum zu ${}V$ versteht man den Homomorphismenraum

   ${}{V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,.$

4. Zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{i}$ diejenige ${}(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die erste Spalte und die ${}i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von ${}M$ durch

   $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}$

5. Man nennt die Menge

   ${}\operatorname {Aut} \,(M)=\operatorname {Perm} \,(M)={\left\{\varphi :M\longrightarrow M\mid \varphi {\text{ bijektiv}}\right\}}\,$

   der bijektiven Selbstabbildungen die Permutationsgruppe zu ${}M$.

6. Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

   ${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

   mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W.$

2. Der Satz über die Dualbasis.
3. Die Leibniz-Formel für die Determinante.

Lösung

1. Unter der Bedingung, dass ${}V$ endlichdimensional ist, gilt

   ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=\dim _{K}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}+\dim _{K}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}\,.$

2. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Dann bildet die Dualbasis

   $v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}$

   eine Basis des Dualraums.
3. Für die Determinante einer ${}n\times n$-Matrix

   ${}M=(a_{ij})_{ij}\,$

   gilt

   ${}\det M=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$, die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}2&5\\3&4\end{pmatrix}}$ gegeben ist.

1. Bestimme das Bild der durch die Gleichung

   ${}3x-7y=0\,$

   gegebenen Geraden.

2. Bestimme das Urbild der durch die Gleichung

   ${}4x-3y=0\,$

   gegebenen Geraden.

Lösung

1. Die Gerade kann man auch als

   ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}={\left\{t{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

   auffassen. Das Bild des erzeugenden Vektors ist

   ${}{\begin{pmatrix}2&5\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}29\\33\end{pmatrix}}\,.$

   Alle Vielfache von ${}{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}$ werden auf Vielfache von ${}{\begin{pmatrix}29\\33\end{pmatrix}}$ abgebildet, somit ist die Bildgerade gleich

   $\mathbb {R} {\begin{pmatrix}29\\33\end{pmatrix}}.$

2. Wir schreiben die Koordinaten des ersten Raumes als ${}(x,y)$ und die Koordinaten den zweiten Raumes als ${}(u,v)$. Aus der Beziehung

   ${}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&5\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

   ergibt sich

   ${}4u-3v=4(2x+5y)-3(3x+4y)=-x+8y\,.$

   Somit wird die Urbildgerade durch die Gleichung

   ${}-x+8y=0\,$

   beschrieben.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, wir betrachten die duch die Matrix

${\begin{pmatrix}2&-1&-5\\-2&-3&1\\0&3&3\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{3}.$

a) Bestimme den Kern von ${}\varphi$.

b) Finde eine Faktorisierung von ${}\varphi$ über ${}K^{2}$, also lineare Abbildungen

$K^{3}{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}K^{2}{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}K^{3}$

mit

${}\varphi =\theta \circ \psi \,.$

Lösung

a) Wegen

${}{\begin{pmatrix}2&-1&-5\\-2&-3&1\\0&3&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\,$

gehört ${}K\cdot {\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}$ zum Kern. Da die ersten beiden Spalten linear unabhängig sind, kann der Kern nicht größer sein.

b) Es ist

$K^{3}{\stackrel {\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&1&1\end{pmatrix}}{\longrightarrow }}K^{2}{\stackrel {\begin{pmatrix}2&-1\\-2&-3\\0&3\end{pmatrix}}{\longrightarrow }}K^{3},$

es ist ja

${}{\begin{pmatrix}2&-1\\-2&-3\\0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&-1&-5\\-2&-3&1\\0&3&3\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.

Lösung

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben  ${}0\in V$  keinen weiteren Vektor  ${}v\in V$  mit  ${}\varphi (v)=0$  geben. Also ist  ${}\varphi ^{-1}(0)=\{0\}$. 
Es sei umgekehrt  ${}\operatorname {kern} \varphi =0$  und seien  ${}v_{1},v_{2}\in V$  gegeben mit  ${}\varphi (v_{1})=\varphi (v_{2})$.  Dann ist wegen der Linearität

${}\varphi (v_{1}-v_{2})=\varphi (v_{1})-\varphi (v_{2})=0\,.$

Daher ist  ${}v_{1}-v_{2}\in \operatorname {kern} \varphi$  und damit  ${}v_{1}=v_{2}$. 

Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen ${}A,B$ und ${}C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit ${}100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

1. Die Abonnenten von ${}A$ bleiben zu ${}90\%$ bei ${}A$, ${}0\%$ wechseln zu ${}B$, ${}5\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}5\%$ werden Nichtleser.
2. Die Abonnenten von ${}B$ bleiben zu ${}60\%$ bei ${}B$, ${}10\%$ wechseln zu ${}A$, ${}15\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}15\%$ werden Nichtleser.
3. Die Abonnenten von ${}C$ bleiben zu ${}70\%$ bei ${}C$, niemand wechselt zu ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}B$ und ${}20\%$ werden Nichtleser.
4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je ${}10\%$ für ein Abonnement von ${}A,B$ oder ${}C$, die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je ${}20000$ Abonnenten und es gibt ${}40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls ${}100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge ${}A,B,C$ und Nichtleser) beschreibt, ist

${\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}.$

b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ${}(20000,20000,20000,40000)$ ist

${}{\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}20000\\20000\\20000\\40000\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}24000\\18000\\22000\\36000\end{pmatrix}}\,.$

c) Die Ausgangsverteilung ist ${}(0,0,0,100000)$, daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich ${}(10000,10000,10000,70000)$.

Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung

${}{\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10000\\10000\\10000\\70000\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}17000\\14000\\16000\\53000\end{pmatrix}}\,.$

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}0,9&0,1&0&0,1\\0&0,6&0,1&0,1\\0,05&0,15&0,7&0,1\\0,05&0,15&0,2&0,7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}17000\\14000\\16000\\53000\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}22000\\15300\\19450\\43250\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&3&1\\4&1&2\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

Lösung

${}{\begin{pmatrix}1&3&1\\4&1&2\\0&1&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&3&1\\0&-11&-2\\0&1&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-4&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&3&1\\0&1&1\\0&-11&-2\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\-4&1&0\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&3&1\\0&1&1\\0&0&9\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\-4&1&11\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&3&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\{\frac {-4}{9}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{9}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}1&0&-3\\0&0&1\\{\frac {-4}{9}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{9}}\end{pmatrix}}$
${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$	${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{9}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {-5}{9}}\\{\frac {4}{9}}&{\frac {-1}{9}}&{\frac {-2}{9}}\\{\frac {-4}{9}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{9}}\end{pmatrix}}$

Die inverse Matrix ist also

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{9}}&{\frac {2}{9}}&{\frac {-5}{9}}\\{\frac {4}{9}}&{\frac {-1}{9}}&{\frac {-2}{9}}\\{\frac {-4}{9}}&{\frac {1}{9}}&{\frac {11}{9}}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine invertierbare obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass die inverse Matrix ${}M^{-1}$ ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix ist.

Lösung

Es sei  ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$  mit

${}a_{ij}=0\,$

für  ${}i>j$  und sei

${}M\circ N=E_{n}\,$

mit  ${}N={\left(b_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}$.  Es ist  ${}a_{nn}\neq 0$,  da sonst die letzte Zeile von ${}M$ die Nullzeile wäre, was im invertierbaren Fall nicht sein kann. Wir betrachten die Produkte der ${}n$-ten Zeile von ${}M$ mit den Spalten von ${}N$. Dies führt zu den Bedingungen  ${}a_{nn}\cdot b_{nj}=0$  für  ${}j<n$  und daraus folgt  ${}b_{nj}=0$  für  ${}j<n$.  Das gleiche Argument, angewendet auf die Untermatrix ${}{\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n-1}$ ergibt Zeile von Zeile das Resultat.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ der ${}K$- Vektorraum der linearen Abbildungen von ${}V$ nach ${}W$ und es sei  ${}v\in V$  ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung

$F\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W,\,\varphi \longmapsto F(\varphi ):=\varphi (v),$

${}K$-linear ist.

Lösung

Zur Additivität. Es seien  ${}\varphi ,\psi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$.  Dann ist (nach der Definition der Addition auf ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$)

${}F(\varphi +\psi )=(\varphi +\psi )(v)=\varphi (v)+\psi (v)=F(\varphi )+F(\psi )\,.$

Zur Skalarmultiplikation. Es sei  ${}\varphi \in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$  und  ${}s\in K$.  Dann ist (wieder aufgrund der Definition der Skalarmultiplikation auf ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$)

${}F(s\varphi )=(s\varphi )(v)=s\varphi (v)=sF(\varphi )\,.$

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Dr. Eisenbeis hat sich bei „Bauer sucht Frau“ beworben und verbringt die Hofwoche bei Bauer Ernst. Heute muss sie den Stall ausmisten. Im Stall befinden sich drei Kühe, fünf Schweine, ein Esel und zehn Kaninchen. Die Mistmenge (in Kilogramm pro Tag und Tier) ist der folgenden Tabelle zu entnehmen.

Tier	${}Ku$	${}S$	${}E$	${}Ka$
Mist	${}10$	${}5$	${}8$	${}0,1$

a) Wie viel Mist muss ausgemistet werden, wenn alle zwei Tage ausgemistet wird?

b) Erstelle eine Formel, die in Abhängigkeit von der Tieranzahl ${}\left(x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}\right)$ und von der Zeit ${}t$ (in Tagen) die Mistmenge berechnet.

c) Inwiefern liegt in (b) ein linearer Zusammenhang vor?

Lösung

a) Die Mistmenge ist

${}2{\left(3\cdot 10+5\cdot 5+1\cdot 8+10\cdot 0,1\right)}=2\cdot 64=128\,$

in Kilogramm.

b) Die Formel für die Mistmenge ist

${}t{\left(x_{1}\cdot 10+x_{2}\cdot 5+x_{3}\cdot 8+x_{4}\cdot 0,1\right)}=10tx_{1}+5tx_{2}+8tx_{3}+0,1tx_{4}\,.$

c) Die Formel beschreibt eine bilineare Abbildung

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die Abbildung ist bei fixierter Zeit linear in der Tieranzahl und bei fixierter Tieranzahl linear in der Zeit.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei

$\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

eine multilineare Abbildung und es seien  ${}v_{i1},\ldots ,v_{im_{i}}\in V_{i}$  und  ${}a_{ij_{i}}\in K$  zu  ${}i=1,\ldots ,n$  und  ${}j_{i}=1,\ldots ,m_{i}$.  Zeige

${}{\begin{aligned}\Phi {\left(\sum _{j=1}^{m_{1}}a_{1j}v_{1j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}&=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,m_{n}\}}a_{1j_{1}}\cdots a_{nj_{n}}\Phi {\left(v_{1j_{1}},\ldots ,v_{nj_{n}}\right)}.\,\end{aligned}}$

Lösung

Es ist ${}\Phi$ linear in jeder Komponente, wenn man die anderen Komponenten festhält. Eine lineare Abbildung ist mit beliebigen Linearkombinationen verträglich. Wir ziehen die Summen sukzessive nach vorne und verarbeiten die einzelnen geordneten Summe in eine einzige ungeordnete Summe.

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\Phi {\left(\sum _{j=1}^{m_{1}}a_{1j}v_{1j},\sum _{j=1}^{m_{2}}a_{2j}v_{2j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m_{1}}a_{1j}\Phi {\left(v_{1j},\sum _{j=1}^{m_{2}}a_{2j}v_{2j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m_{1}}a_{1j}{\left(\sum _{j=1}^{m_{2}}a_{2j}\Phi {\left(v_{1j},v_{2j},\sum _{j=1}^{m_{3}}a_{3j}v_{3j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\right)}\\&=\sum _{(j_{1},j_{2})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \{1,\ldots ,m_{2}\}}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\Phi {\left(v_{1j_{1}},v_{2j_{2}},\sum _{j=1}^{m_{3}}a_{3j}v_{3j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\\&=\sum _{(j_{1},j_{2})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \{1,\ldots ,m_{2}\}}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}{\left(\sum _{j=1}^{m_{3}}a_{3j}\Phi {\left(v_{1j_{1}},v_{2j_{2}},v_{3j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\right)}\\&=\sum _{(j_{1},j_{2},j_{3})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \{1,\ldots ,m_{2}\}\times \{1,\ldots ,m_{3}\}}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}a_{3j_{3}}\Phi {\left(v_{1j_{1}},v_{2j_{2}},v_{3j_{3}},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\\&=\ldots \\&=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,m_{n}\}}a_{1j_{1}}\cdots a_{nj_{n}}\Phi {\left(v_{1j_{1}},\ldots ,v_{nj_{n}}\right)}.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Was ist die Determinante einer Streckung auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$?

Lösung

Es sei ${}n$ die Dimension des Vektorraumes. Die beschreibende Matrix der Streckung zu ${}s$ ist (in jeder Basis) gleich

${\begin{pmatrix}s&0&\ldots &0\\0&s&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&s\end{pmatrix}},$

daher ist die Determinante gleich ${}s^{n}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}2&1&3\\0&0&1\\-1&2&1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}5&3&7\\0&4&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}.$

Lösung

Die Determinante von ${}A$ ist

${}\det {\begin{pmatrix}2&1&3\\0&0&1\\-1&2&1\end{pmatrix}}=-1-4=-5\,$

und die Determinante von ${}B$ ist

${}\det {\begin{pmatrix}5&3&7\\0&4&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}=20+5=25\,.$

Das Produkt der beiden Matrizen ist

${}AB={\begin{pmatrix}2&1&3\\0&0&1\\-1&2&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}5&3&7\\0&4&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10&7&18\\0&-1&1\\-5&4&-4\end{pmatrix}}\,.$

Die Determinante davon ist

${}{\begin{aligned}\det AB&=\det {\begin{pmatrix}10&7&18\\0&-1&1\\-5&4&-4\end{pmatrix}}\\&=40-35-90-40\\&=-125.\end{aligned}}$

Dies stimmt mit dem Produkt der beiden einzelnen Determinanten überein.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das Signum der im Bild gezeigten Permutation (die linke Hand repräsentiere den Definitionsbereich, die rechte Hand den Wertebereich).

Lösung erstellen

Aufgabe (7 (1+1+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die reelle Matrix

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\,.$

a) Skizziere die Bildvektoren ${}Me_{1}$ und ${}Me_{2}$.

b) Berechne ${}M^{2}$.

c) Berechne ${}M^{4}$ und ${}M^{8}$.

d) Berechne ${}M^{1003}$.

e) Zeige, dass die Potenzen ${}M^{i}$, ${}i=0,1,\ldots ,7$, eine Gruppe mit acht Elementen bilden.

Lösung

a) ${}\,$

b) Es ist

${}M^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{4}}-{\frac {2}{4}}&-{\frac {2}{4}}-{\frac {2}{4}}\\{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{4}}&-{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{4}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,.$

c) Es ist

${}M^{4}={\left(M^{2}\right)}^{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,$

und

${}M^{8}={\left(M^{4}\right)}^{2}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$

d) Es ist

${}M^{1003}=M^{8\cdot 125+3}={\left(M^{8}\right)}^{125}\cdot M^{3}=M\cdot M^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\,.$

e) Die Potenzen ${}M^{k}$ für  ${}k\leq 8$  stimmen mit einer Potenz ${}M^{i}$ mit

${}i=0,1,\ldots ,7\,$

überein, deshalb ist die angegebene Menge abgeschlossen unter der Multiplikation. Es sind ${}M^{1}$ und ${}M^{7}$, ${}M^{2}$ und ${}M^{6}$, ${}M^{3}$ und ${}M^{5}$ zueinander und ${}M^{4}$ zu sich selbst invers. Die Assoziativität ergibt sich aus der Assoziativität der Matrizenmultiplikation. Die acht Potenzen sind untereinander verschieden: Dies ist klar für die explizit berechneten Potenzen

$M^{0},M^{1},M^{2},M^{3}.$

Für ${}M^{i}$ mit  ${}4\leq i\leq 7$  ist

${}M^{i}=M^{4}\cdot M^{i-4}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot M^{i-4}=-M^{i-4}\,.$

Daher sind diese Potenzen untereinander und auch von den ersten vier Potenzen verschieden.

Aufgabe (2 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=8X^{3}+X-1$ und ${}T=2X^{2}+5$ durch.

Lösung

Es ist

${}8X^{3}+X-1={\left(2X^{2}+5\right)}4X-19X-1\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei  ${}P\in K[X]$  ein Polynom und  ${}a\in K$.  Zeige, dass ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ ist, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Lösung

Wenn ${}P$ ein Vielfaches von ${}X-a$ ist, so kann man

${}P=(X-a)Q\,$

mit einem weiteren Polynom ${}Q$ schreiben. Einsetzen ergibt

${}P(a)=(a-a)Q(a)=0\,.$

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

${}P=(X-a)Q+R\,,$

wobei  ${}R=0$  oder aber den Grad ${}0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

${}P(a)=R\,.$

Wenn also  ${}P(a)=0$  ist, so muss der Rest  ${}R=0$  sein, und das bedeutet, dass  ${}P=(X-a)Q$  ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei  ${}z\in \mathbb {R}$  eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es gibt ein Polynom ${}P\in \mathbb {R} [X]$, ${}P\neq 0$, mit ganzzahligen Koeffizienten und mit  ${}P(z)=0$. 
2. Es gibt ein Polynom ${}Q\in \mathbb {Q} [X]$, ${}Q\neq 0$, mit  ${}Q(z)=0$. 
3. Es gibt ein normiertes Polynom  ${}R\in \mathbb {Q} [X]$  mit  ${}R(z)=0$. 

Lösung

Die Implikation (1) ${}\Rightarrow$ (2) ist unmittelbar klar, da ganze Zahlen rational sind und man somit  ${}Q=P$  nehmen kann.

Es sei (2) erfüllt und sei

${}Q=s_{n}X^{n}+s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{2}X^{2}+s_{1}X+s_{0}\,$

mit ${}s_{i}\in \mathbb {Q}$, ${}s_{n}\neq 0$ und ${}Q(z)=0$. Wegen ${}s_{n}\neq 0$ ist auch ${}s_{n}^{-1}$ eine rationale Zahl. Wir multiplizieren ${}Q$ mit ${}s_{n}^{-1}$ und erhalten

${}{\begin{aligned}R&:=s_{n}^{-1}Q\\&=s_{n}^{-1}{\left(s_{n}X^{n}+s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{2}X^{2}+s_{1}X+s_{0}\right)}\\&=X^{n}+s_{n}^{-1}\cdot s_{n-1}X^{n-1}+\cdots +s_{n}^{-1}\cdot s_{2}X^{2}+s_{n}^{-1}\cdot s_{1}X+s_{n}^{-1}\cdot s_{0}.\end{aligned}}$

Dies ist ein normiertes Polynom, die Koeffizienten sind nach wie vor rational und es ist auch

${}R(z)=(s_{n}^{-1}Q)(z)=s_{n}^{-1}\cdot Q(z)=0\,.$

Es sei nun (3) erfüllt, und

${}R=X^{n}+t_{n-1}X^{n-1}+\cdots +t_{2}X^{2}+t_{1}X+t_{0}\,$

mit ${}t_{i}\in \mathbb {Q}$ und ${}R(z)=0$. Es ist

${}t_{i}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,$

mit ${}a_{i},b_{i}\in \mathbb {Z}$, ${}b_{i}\neq 0$. Wir setzen

${}{\begin{aligned}P&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}R\\&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}{\left(X^{n}+{\frac {a_{n-1}}{b_{n-1}}}X^{n-1}+\cdots +{\frac {a_{2}}{b_{2}}}X^{2}+{\frac {a_{1}}{b_{1}}}X+{\frac {a_{0}}{b_{0}}}\right)}\\&=b_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}X^{n}+b_{0}b_{1}\cdots b_{n-2}a_{n-1}b_{n}X^{n-1}+\cdots +b_{0}b_{1}a_{2}b_{3}\cdots b_{n-1}X^{2}+b_{0}a_{1}b_{2}\cdots b_{n-1}X+a_{0}b_{1}\cdots b_{n-1}.\end{aligned}}$

Dieses Polynom hat ganzzahlige Koeffizienten, ist nicht das Nullpolynom und es ist nach wie vor

${}P(z)=0\,.$