Kurs:Lineare Algebra/Teil II/1/Teiltest/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	1	2	6	3	5	8	2	5	2	6	8	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Norm zu einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}\mathbb {R}$- Vektorraum ${}V$.
2. Orthogonale Vektoren ${}v,w\in V$ in einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.
3. Eine winkeltreue Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

4. Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
5. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$.
6. Ein normaler Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beschreibung von eigentlichen Isometrien im ${}\mathbb {R} ^{3}$.
2. Der Trägheitssatz von Sylvester.
3. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).

Aufgabe * (2 Punkte)

Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an.

Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne das Kreuzprodukt

${\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-4\\6\\-5\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit ${}A,B,C$ zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester.

Aufgabe (3 Punkte)

Was versteht man in der Mathematik unter Klassifikation? Welche Ergebnisse aus der linearen Algebra kann man als Klassifikationsergebnisse auffassen?

Aufgabe * (5 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu ${}z\in \mathbb {R}$, ${}z\neq 0$, die Vektoren

${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}$

Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.

Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

${}V=V_{1}\oplus V_{2}\,$

die direkte Summe der Untervektorräume ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$. Es seien

$\varphi _{1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{1}$

und

$\varphi _{2}\colon V_{2}\longrightarrow V_{2}$

lineare Abbildungen und

${}\varphi =\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\,$

die Summe davon.

a) Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h. ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ stehen senkrecht aufeinander. Zeige

${}{\hat {\varphi }}={\hat {\varphi _{1}}}\oplus {\hat {\varphi _{2}}}\,.$

b) Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}2-3{\mathrm {i} }&4+5{\mathrm {i} }\\11-3{\mathrm {i} }&6+9{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung ${}{\mathbb {C} }^{2}\rightarrow {\mathbb {C} }^{2}$ eine Orthonormalbasis des ${}{\mathbb {C} }^{2}$ aus Eigenvektoren gibt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bringe das reelle quadratische Polynom

$X^{2}-4Y^{2}+6XY+2$

auf eine Standardgestalt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

${}x\sim y\,,$

wenn

${}f(x)=f(y)\,,$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert wird.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und  ${}U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Es sei ${}u_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}U$ und ${}v_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige, dass die Gesamtfamilie ${}u_{i},i\in I,v_{j},j\in J$, genau dann eine Basis von ${}V$ ist, wenn ${}[v_{j}]$, ${}j\in J$, eine Basis des Restklassenraumes ${}V/U$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{3}$,

${\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\-5\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\7\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-6\\0\\11\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.