Kurs:Lineare Algebra/Teil II/14/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	$\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	3	2	0	8	2	4	3	0	3	4	3	3	0	4	52

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum  $U\subseteq V$  in einem $𝕂$-Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
2. Die Höhe in einem Dreieck.
3. Ein normaler Endomorphismus

   $\phi :V⟶V$

   auf einem endlichdimensionalen $𝕂$-Vektorraum mit Skalarprodukt $⟨-,-⟩$.

4. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
5. Ein orientierter $ℝ$-Vektorraum.
6. Die Äquivalenz von zwei Normen $\Vert -{\Vert }_1$ und $\Vert -{\Vert }_2$ auf einem $𝕂$-Vektorraum $V$.

Lösung

1. Unter dem orthogonalen Komplement versteht man den Untervektorraum

   $U^{\perp }=\{v\in V\mid ⟨v,u⟩=0\text{ für alle }u\in U\}.$

2. Zu einem Dreieck $A,B,C$ in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade durch $A$, die senkrecht auf der Geraden durch $B$ und $C$ steht, die Höhengerade durch $A$. Die Verbindungsstrecke von $A$ zur Geraden durch $B$ und $C$ heißt Höhe durch $A$.
3. Ein Endomorphismus

   $\phi :V⟶V$

   heißt normal, wenn $\phi$ und $\hat{\phi }$ vertauschbar sind.

4. Man nennt

   $M/\sim :=\{[x]\mid x\in M\}$

   die Quotientenmenge von $\sim$.

5. Ein reeller Vektorraum $V$ heißt orientiert, wenn er endlichdimensional und auf ihm eine Orientierung erklärt ist.
6. Die beiden Normen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Topologie, also die gleichen offenen Mengen definieren.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
2. Der Satz über den Abstand eines Vektors $v$ zu einem Untervektorraum $U$ in einem euklidischen Vektorraum $V$.
3. Der Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.

Lösung

1. Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und $u_1,\dots ,u_n$ eine Orthonormalbasis von $V$. Es sei

   $\phi :V⟶V$

   eine lineare Abbildung und $M$ die beschreibende Matrix zu $\phi$ bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist $\phi$ genau dann eine Isometrie, wenn

   $M^{\text{tr}}M=E_n$

   ist.
2. Die orthogonale Projektion $p_U(v)$ ist derjenige Punkt auf $U$, der unter allen Punkten auf $U$ zu $v$ den minimalen Abstand besitzt.
3. Es sei $M$ eine spaltenstochastische Matrix mit der Eigenschaft, dass es eine Zeile gibt, in der alle Einträge positiv sind. Dann konvergiert zu jedem Verteilungsvektor $v\in {ℝ}_{\ge 0}^n$ mit  $\sum _{i=1}^n{v}_i=1$  die Folge $M^{n}v$ gegen die eindeutig bestimmte stationäre Verteilung von $M$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $V$ ein $ℝ$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Zeige, dass für $u,v\in V$ die Abschätzung  $\Vert v+u\Vert \ge \Vert v-u\Vert$  genau dann gilt, wenn  $⟨v,u⟩\ge 0$  ist.

Lösung

Es ist

$\begin{array}{cc}\Vert v+u{\Vert }^2& =⟨v+u,v+u⟩\\ & =⟨v,v⟩+2⟨v,u⟩+⟨u,u⟩\\ & =\Vert v{\Vert }^2+2⟨v,u⟩+\Vert u{\Vert }^2\end{array}$

und

$\begin{array}{cc}\Vert v-u{\Vert }^2& =⟨v-u,v-u⟩\\ & =⟨v,v⟩-2⟨v,u⟩+⟨u,u⟩\\ & =\Vert v{\Vert }^2-2⟨v,u⟩+\Vert u{\Vert }^2.\end{array}$

Somit ist

$\Vert v+u{\Vert }^2\ge \Vert v-u{\Vert }^2$

(und dies ist äquivalent zu  $\Vert v+u\Vert \ge \Vert v-u\Vert$  wegen der Monotonie des Quadrats auf ${ℝ}_{\ge 0}$) genau dann, wenn  $⟨v,u⟩\ge 0$  ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Koeffizienten zu einer Orthonormalbasis in einem Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.

Lösung

Da eine Basis vorliegt, gibt es eine eindeutige Darstellung

$v=\sum _{j\in I}{a}_j{u}_j$

(wobei alle $a_j$ bis auf endlich viele gleich $0$ sind). Die Behauptung ergibt sich somit aus

$⟨v,u_i⟩=⟨\sum _{j\in I}{a}_j{u}_j,u_i⟩=\sum _{j\in I}{a}_j⟨u_j,u_i⟩=a_i.$

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Kreuzprodukt

$\left(\begin{array}{c}3-5\mathrm{i}\\ 4+8\mathrm{i}\\ -\mathrm{i}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -6-7\mathrm{i}\\ 3-4\mathrm{i}\end{array}\right)$

im ${ℂ}^3$.

Lösung

Es ist

$\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}3-5\mathrm{i}\\ 4+8\mathrm{i}\\ -\mathrm{i}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ -6-7\mathrm{i}\\ 3-4\mathrm{i}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}(4+8\mathrm{i})(3-4\mathrm{i})-\mathrm{i}(6+7\mathrm{i})\\ -(3-5\mathrm{i})(3-4\mathrm{i})+2\mathrm{i}\\ -(3-5\mathrm{i})(6+7\mathrm{i})+2(4+8\mathrm{i})\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}12+32-16\mathrm{i}+24\mathrm{i}-6\mathrm{i}+7\\ -9+20+12\mathrm{i}+15\mathrm{i}+2\mathrm{i}\\ -18-35+30\mathrm{i}-21\mathrm{i}+8+16\mathrm{i}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}51+2\mathrm{i}\\ 11+29\mathrm{i}\\ -45+25\mathrm{i}\end{array}\right).\end{array}$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt $\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 7\end{array}\right)$ und sämtlichen Untervektorräumen  $U_I=⟨e_i,i\in I⟩$  zu  $I\subseteq \{1,2,3\}$. 

Lösung

Der Abstand von $\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 7\end{array}\right)$ zu den $U_J$ ist nach Beispiel 35.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) folgendermaßen.

1. Zu  $I=\{1,2,3\}$  ist der Abstand $0$.
2. Zu  $I=\{1,2\}$  ist der Abstand $7$.
3. Zu  $I=\{1,3\}$  ist der Abstand $5$.
4. Zu  $I=\{2,3\}$  ist der Abstand $6$.
5. Zu  $I=\{1\}$  ist der Abstand  $\sqrt{25+49}=\sqrt{74}$. 
6. Zu  $I=\{2\}$  ist der Abstand  $\sqrt{36+49}=\sqrt{85}$. 
7. Zu  $I=\{3\}$  ist der Abstand  $\sqrt{36+25}=\sqrt{61}$. 
8. Zu  $I=\mathrm{\varnothing }$  ist der Abstand  $\sqrt{36+25+49}=\sqrt{110}$. 

Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe die eulersche Gerade in einem gleichschenkligen, nicht gleichseitigen Dreieck.

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Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (8 Punkte)

Beweise das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.

Lösung

Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht $0$ ist, ist nach Aufgabe 39.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) die Bilinearform nicht ausgeartet und daher hat der Typ die Form $(n-q,q)$. Wir müssen zeigen, dass  $q=a$  ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von $V$, wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension $n-1$ bewiesen und es liege ein $n$-dimensionaler Raum mit einer Basis $v_1,\dots ,v_n$ mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der Untervektorraum

$U=⟨v_1,\dots ,v_{n-1}⟩$

hat die Dimension $n-1$ und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der Gramschen Matrix zur eingeschränkten Form $⟨-,-⟩{|}_U$ stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied

$D_n=det{M}_n=detG$

weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt $⟨-,-⟩{|}_U$ den Typ $(n-1-b,b)$, wobei $b$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

$D_0=1,D_1,\dots ,D_{n-1}$

ist. Aufgrund der Definition des Typs ist

$b\le q\le b+1,$

da ein $q$-dimensionaler Untervektorraum  $W\subseteq V$,  auf dem die Bilinearform negativ definit ist, zu einem Untervektorraum

$W^{\prime }=U\cap W\subseteq U$

führt, der die Dimension $q$ oder $q-1$ besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach Aufgabe 39.20 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist das Vorzeichen von $D_{n-1}$ gleich $(-1{)}^b$ und das Vorzeichen von $D_n$ gleich $(-1{)}^q$. Das bedeutet, dass zwischen $D_{n-1}$ und $D_n$ ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel (und somit $a=b+1$) genau dann vorliegt, wenn

$q=b+1$

ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere für einen zweidimensionalen Minkowski-Raum den Lichtkegel und die Menge der Beobachtervektoren und zeichne dabei eine Zukunftsrichtung aus.

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Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$-Vektorraum und $v_1,\dots ,v_n$ eine Basis von $V$. Es sei $⟨-,-⟩$ das durch

$⟨v_i,v_j⟩=\{\begin{array}{c}1,\text{ falls }i=j,\\ 0\text{ sonst},\end{array}$

definierte Skalarprodukt auf $V$. Zu einer linearen Abbildung $\phi :V\to V$ bezeichne ${\Psi }_{\phi }$ die (über $⟨-,-⟩$) zugehörige Sesquilinearform. Zeige, dass die Gramsche Matrix von ${\Psi }_{\phi }$ bezüglich der Basis mit der beschreibenden Matrix von $\phi$ bezüglich der Basis übereinstimmt.

Lösung

Es sei

$\phi (v_i)=\sum _{j=1}^n{a}_{ji}{v}_j,$

die Einträge in der beschreibenden Matrix zu $\phi$ sind also $a_{ji}$. Die Gramsche Matrix zu ${\Psi }_{\phi }$ ergibt sich, indem man ${\Psi }_{\phi }$ auf alle Paare der Basis anwendet. Dies ergibt

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Psi }}_{\phi }(v_i,v_j)& =⟨\phi (v_i),v_j⟩\\ & =⟨\sum _{k=1}^n{a}_{ki}{v}_k,v_j⟩\\ & =\sum _{k=1}^n{a}_{ki}⟨v_k,v_j⟩\\ & =a_{ji}.\end{array}$

Also stimmen die Matrizen überein.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten auf den komplexen Zahlen die Relation, bei der zwei Zahlen $z,w$ als äquivalent gelten, wenn ihre $17$-te Potenz übereinstimmt.

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
2. Wie viele Elemente beinhalten die Äquivalenzklassen (verwende, dass es $17$ komplexe Zahlen mit  $z^{17}=1$  gibt)?

Lösung

1. Zwei komplexe Zahlen gelten als äquivalent, wenn sie unter der Abbildung

   $ℂ⟶ℂ,z⟼z^{17},$

   den gleichen Wert besitzen. In einer solchen Situation liegt stets eine Äquivalenzrelation vor.

2. Da $ℂ$ ein Körper ist, besteht die Äquivalenzklasse zu $0$ allein aus $0$, sie ist also einelementig. Die Äquivalenzklasse zu $1$ besteht aus den $17$ $17$-ten Einheitswurzeln. Für von $0$ verschiedene Zahlen ist

   $z^{17}=w^{17}$

   genau dann, wenn

   ${\left(\frac{w}{z}\right)}^{17}=1,$

   wenn also $w/z$ eine $17$-te Einheitswurzel ist. Somit besteht die Äquivalenzklasse zu  $z\ne 0$  aus der $17$ Elementen $z\zeta$, wobei $\zeta$ die $17$-ten Einheitswurzeln durchläuft.

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.

Lösung

Betrachte die Linksnebenklassen  $gH:=\{gh\mid h\in H\}$  für sämtliche  $g\in G$.  Es ist

$H⟶gH,h⟼gh,$

eine Bijektion zwischen $H$ und $gH$, sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar $\mathrm{\#}\left(H\right)$ Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von $G$, sodass $\mathrm{\#}\left(G\right)$ ein Vielfaches von $\mathrm{\#}\left(H\right)$ sein muss.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Doppelpyramide der Höhe $5$ über dem Quadrat mit den Eckpunkten $(\pm 1,\pm 1)$. Wie nennt man die eigentliche Symmetriegruppe dieses Objektes? Bestimme die Matrizen bezüglich der Standardbasis, die die eigentlichen Symmetrien der Doppelpyramide beschreiben.

Lösung

Die eigentliche Symmetriegruppe ist die Diedergruppe $D_4$. Sie besteht aus vier Grunddrehungen der Ebene, in der das Quadrat sich befindet, und aus vier Halbdrehungen um die beiden Diagonalen und die beiden Mittelachsen des Quadrates. Von daher ergeben sich die beschreibenden Matrizen als

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ -1& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$

Aufgabe (3 Punkte)

Der Matrizenraum  ${\mathrm{Mat}}_2(ℝ)\cong {ℝ}^4$  sei mit der Maximumsnorm (bezogen auf die vier Einträge) versehen. Man gebe ein Beispiel für Matrizen $M,N$ mit

$\mid \mid M\circ N\mid {\mid }_{\max }>\mid \mid M\mid {\mid }_{\max }\cdot \mid \mid N\mid {\mid }_{\max }.$

Lösung

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

und

$N=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right),$

beide haben die Maximumsnorm $1$. Das Produkt ist

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$

Dieses hat die Maximumsnorm

$2>1\cdot 1.$

Aufgabe (3 Punkte)

Finde einen Eigenvektor zur Matrix

$\left(\begin{array}{cc}{p}_1& p_2\\ 1-p_1& 1-p_2\end{array}\right)$

mit

$0\le p_1,p_2\le 1$

zum Eigenwert $p_1-p_2$. Handelt es sich um eine Eigenverteilung?

Lösung

Wir setzen in

$\left(\begin{array}{cc}X-p_1& -p_2\\ p_1-1& X-1+p_2\end{array}\right)$

für $X$ den Eigenwert $p_1-p_2$ ein und müssen den Kern von

$\left(\begin{array}{cc}{p}_1-p_2-p_1& -p_2\\ p_1-1& p_1-p_2-1+p_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-p_2& -p_2\\ p_1-1& p_1-1\end{array}\right)$

bestimmen. Ein Eigenvektor ist somit

$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$

Dies ist keine Eigenverteilung (und kann auch nicht zu einer solchen normiert werden), da ein Eintrag positiv und einer negativ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über Orientierungen auf einem Vektorraum und dem Dachprodukt.

Lösung

Es seien $v_1,\dots ,v_n$ und $w_1,\dots ,w_n$ zwei Basen von $V$ mit der Beziehung

$\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ ⋮\\ w_n\end{array}\right).$

Dann gilt nach Fakt *****

$v_1\wedge \dots \wedge v_n=(detM)w_1\wedge \dots \wedge w_n,$

woraus die Wohldefiniertheit der Abbildung und die Aussage folgt.