Kurs:Lineare Algebra/Teil II/14/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 2 3 2 0 8 2 4 3 0 3 4 3 0 42




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  2. Die Höhe in einem Dreieck.
  3. Ein normaler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt .

  4. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  5. Ein orientierter -Vektorraum.
  6. Die Äquivalenz von zwei Normen und auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Unter dem orthogonalen Komplement versteht man den Untervektorraum
  2. Zu einem Dreieck in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade durch , die senkrecht auf der Geraden durch und steht, die Höhengerade durch . Die Verbindungsstrecke von zur Geraden durch und heißt Höhe durch .
  3. Ein Endomorphismus

    heißt normal, wenn und vertauschbar sind.

  4. Man nennt

    die Quotientenmenge von .

  5. Ein reeller Vektorraum heißt orientiert, wenn er endlichdimensional und auf ihm eine Orientierung erklärt ist.
  6. Die zwei Normen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Topologie, also die gleichen offenen Mengen definieren.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
  2. Der Satz über den Abstand eines Vektors zu einem Untervektorraum in einem euklidischen Vektorraum .
  3. Der Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.


Lösung

  1. Es sei ein [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|euklidischer Vektorraum]] und eine Orthonormalbasis von . Es sei

    eine [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|lineare Abbildung]] und die [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|beschreibende Matrix]] zu bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist genau dann eine Isometrie, wenn

    ist.
  2. Die orthogonale Projektion ist derjenige Punkt auf , der unter allen Punkten auf zu den minimalen Abstand besitzt.
  3. Es sei eine spaltenstochastische Matrix mit der Eigenschaft, dass es eine Zeile gibt, in der alle Einträge positiv sind. Dann konvergiert zu jedem Verteilungsvektor mit die Folge gegen die eindeutig bestimmte stationäre Verteilung von .


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass für die Abschätzung genau dann gilt, wenn ist.


Lösung

Es ist

und

Somit ist

(und dies ist äquivalent zu wegen der Monotonie des Quadrats auf ) genau dann, wenn ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Kreuzprodukt

im .


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und sämtlichen Untervektorräumen zu .


Lösung

Der Abstand von zu den ist nach Beispiel ***** folgendermaßen.

  1. Zu ist der Abstand .
  2. Zu ist der Abstand .
  3. Zu ist der Abstand .
  4. Zu ist der Abstand .
  5. Zu ist der Abstand .
  6. Zu ist der Abstand .
  7. Zu ist der Abstand .
  8. Zu ist der Abstand .


Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe die eulersche Gerade in einem gleichschenkligen, nicht gleichseitigen Dreieck.


Lösung Gleichschenkliges Dreieck/Nicht gleichseitig/Eulersche Gerade/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.


Lösung

Da nach Voraussetzung insbesondere die Determinante der Gramschen Matrix nicht ist, ist nach Aufgabe ***** die Bilinearform nicht ausgeartet und daher hat der Typ die Form . Wir müssen zeigen, dass ist. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Dimension von , wobei der Induktionsanfang trivial ist. Die Aussage sei bis zur Dimension bewiesen und es liege ein -dimensionaler Raum mit einer Basis mit den angegebenen Eigenschaften vor. Der Untervektorraum

hat die Dimension und die Folge der Determinanten der Untermatrizen der Gramschen Matrix zur eingeschränkten Form stimmt mit der vorgegebenen Folge überein, wobei lediglich das letzte Glied

weggelassen wird. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt den Typ , wobei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

ist. Aufgrund der Definition des Typs ist

da ein -dimensionaler Untervektorraum , auf dem die Bilinearform negativ definit ist, zu einem Untervektorraum

führt, der die Dimension oder besitzt und auf dem die eingeschränkte Form ebenfalls negativ definit ist. Nach Aufgabe ***** ist das Vorzeichen von gleich und das Vorzeichen von gleich . Das bedeutet, dass zwischen und ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel (und somit ) genau dann vorliegt, wenn

ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere für einen zweidimensionalen Minkowski-Raum den Lichtkegel und die Menge der Beobachtervektoren und zeichne dabei eine Zukunftsrichtung aus.


Lösung Minkowski-Raum/2/Relevante Teilmengen/Skizze/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine Basis von . Es sei das durch

definierte Skalarprodukt auf . Zu einer linearen Abbildung bezeichne die (über ) zugehörige Sesquilinearform. Zeige, dass die Gramsche Matrix von bezüglich der Basis mit der beschreibenden Matrix von bezüglich der Basis übereinstimmt.


Lösung

Es sei

die Einträge in der beschreibenden Matrix zu sind also . Die Gramsche Matrix zu ergibt sich, indem man auf alle Paare der Basis anwendet. Dies ergibt

Also stimmen die Matrizen überein.


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten auf den komplexen Zahlen die Relation, bei der zwei Zahlen als äquivalent gelten, wenn ihre -te Potenz übereinstimmt.

  1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Wie viele Elemente beinhalten die Äquivalenzklassen (verwende, dass es komplexe Zahlen mit gibt)?


Lösung

  1. Zwei komplexe Zahlen gelten als äquivalent, wenn sie unter der Abbildung

    den gleichen Wert besitzen. In einer solchen Situation liegt stets eine Äquivalenzrelation vor.

  2. Da ein Körper ist, besteht die Äquivalenzklasse zu allein aus , sie ist also einelementig. Die Äquivalenzklasse zu besteht aus den -ten Einheitswurzeln. Für von verschiedene Zahlen ist

    genau dann, wenn

    wenn also eine -te Einheitswurzel ist. Somit besteht die Äquivalenzklasse zu aus der Elementen , wobei die -ten Einheitswurzeln durchläuft.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.


Lösung

Betrachte die Linksnebenklassen für sämtliche . Es ist

eine Bijektion zwischen und , so dass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von , so dass ein Vielfaches von sein muss.


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Doppelpyramide der Höhe über dem Quadrat mit den Eckpunkten . Wie nennt man die eigentliche Symmetriegruppe dieses Objektes? Bestimme die Matrizen bezüglich der Standardbasis, die die eigentlichen Symmetrien der Doppelpyramide beschreiben.


Lösung

Die eigentliche Symmetriegruppe ist die Diedergruppe . Sie besteht aus vier Grunddrehungen der Ebene, in der das Quadrat sich befindet, und aus vier Halbdrehungen um die beiden Diagonalen und die beiden Mittelachsen des Quadrates. Von daher ergeben sich die beschreibenden Matrizen als


Aufgabe (3 Punkte)

Finde einen Eigenvektor zur Matrix

mit

zum Eigenwert . Handelt es sich um eine Eigenverteilung?


Lösung

Wir setzen in

für den Eigenwert ein und müssen den Kern von

bestimmen. Ein Eigenvektor ist somit

Dies ist keine Eigenverteilung (und kann auch nicht zu einer solchen normiert werden), da ein Eintrag positiv und einer negativ ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung